Теория Брана – Дике

Предлагаемая теория гравитации

В физике теория гравитации Бранса-Дикке (иногда называемая теорией Джордана-Бранса-Дикке ) является конкурентом общей теории относительности Эйнштейна . Это пример скалярно-тензорной теории , теории гравитации, в которой гравитационное взаимодействие опосредовано скалярным полем , а также тензорным полем общей теории относительности. Гравитационная постоянная не предполагается постоянной, а вместо этого заменяется скалярным полем , которое может меняться от места к месту и со временем. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 1/G}$ ${\displaystyle \phi }$

Теория была разработана в 1961 году Робертом Дике и Карлом Брансом ^[1] на основе, среди прочего, более ранней работы Паскуаля Джордана 1959 года . В настоящее время считается, что и теория Бранса-Дикке, и общая теория относительности согласуются с наблюдениями. Теория Бранса-Дикке представляет точку зрения меньшинства в физике.

Сравнение с общей теорией относительности

И теория Бранса-Дикке, и общая теория относительности являются примерами класса релятивистских классических теорий поля гравитации , называемых метрическими теориями . В этих теориях пространство-время снабжено метрическим тензором , , а гравитационное поле представлено (полностью или частично) тензором кривизны Римана , который определяется метрическим тензором. ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle R_{abcd}}$

Все метрические теории удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна , который на современном геометрическом языке гласит, что в очень маленькой области (слишком маленькой, чтобы демонстрировать измеримые эффекты кривизны ) все законы физики, известные в специальной теории относительности , действительны в локальных системах Лоренца . Это, в свою очередь, означает, что все метрические теории демонстрируют эффект гравитационного красного смещения .

Как и в общей теории относительности, источником гравитационного поля считается тензор энергии-импульса или тензор вещества . Однако способ, которым непосредственное присутствие массы-энергии в некоторой области влияет на гравитационное поле в этой области, отличается от общей теории относительности. То же самое касается и того, как кривизна пространства-времени влияет на движение материи. В теории Бранса–Дикке, помимо метрики, представляющей собой тензорное поле второго ранга , существует скалярное поле , которое имеет физический эффект изменения эффективной гравитационной постоянной от места к месту. (Эта особенность на самом деле была ключевым требованием Дике и Брана; см. цитируемую ниже статью Бранса, в которой обрисованы истоки теории.) ${\displaystyle \phi }$

Уравнения поля теории Бранса-Дикке содержат параметр , , называемый константой связи Бранса-Дикке . Это настоящая безразмерная константа , которую необходимо выбрать раз и навсегда. Однако его можно выбрать в соответствии с наблюдениями. Такие параметры часто называют настраиваемыми параметрами . Кроме того, в качестве граничного условия необходимо выбрать текущее значение эффективной гравитационной постоянной окружающей среды . Общая теория относительности вообще не содержит безразмерных параметров, и поэтому ее легче фальсифицировать ( показать, является ли она ложной), чем теорию Брана – Дике. Теории с настраиваемыми параметрами иногда отвергаются на том основании, что из двух теорий, обе из которых согласуются с наблюдениями, предпочтительнее более экономная . С другой стороны, кажется, что они являются необходимой особенностью некоторых теорий, таких как слабый угол смешивания Стандартной модели . ${\displaystyle \omega }$

Теория Бранса-Дикке «менее строга», чем общая теория относительности, в другом смысле: она допускает больше решений. В частности, точные вакуумные решения уравнения поля Эйнштейна общей теории относительности, дополненные тривиальным скалярным полем , становятся точными вакуумными решениями в теории Бранса-Дикке, но некоторые пространства-времени, которые не являются вакуумными решениями уравнения поля Эйнштейна, становятся с соответствующими выбор скалярного поля, вакуумные решения теории Бранса–Дикке. Точно так же важный класс пространства-времени, метрики pp-волн , также являются точными решениями для нулевой пыли как общей теории относительности, так и теории Бранса-Дикке, но и здесь теория Бранса-Дикке допускает дополнительные волновые решения , имеющие геометрию, несовместимую с общей теорией относительности. . ${\displaystyle \phi =1}$

Как и общая теория относительности, теория Брана-Дикке предсказывает отклонение света и прецессию перигелий планет , вращающихся вокруг Солнца. Однако точные формулы, которые управляют этими эффектами, согласно теории Бранса-Дикке, зависят от значения константы связи . Это означает, что можно установить наблюдательную нижнюю границу возможного значения на основе наблюдений Солнечной системы и других гравитационных систем. Ценность соответствия эксперименту со временем возросла. В 1973 году это соответствовало известным данным. К 1981 году это соответствовало известным данным. В 2003 году данные, полученные в результате эксперимента Кассини-Гюйгенс , показали, что значение должно превышать 40 000. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega >5}$ ${\displaystyle \omega >30}$ ${\displaystyle \omega }$

Также часто учат ^[2] , что общая теория относительности получается из теории Бранса–Дикке в пределе . Но Фараони ^[3] утверждает, что это нарушается, когда исчезает след импульса энергии-напряжения, т. е . примером чего является решение кротовой норы Кампанелли - Лусто . ^[4] Некоторые утверждали, ^{[ кто? ]} что только общая теория относительности удовлетворяет строгому принципу эквивалентности . ${\displaystyle \omega \rightarrow \infty }$ ${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }=0}$

Уравнения поля

Уравнения поля теории Брана – Дике имеют вид

${\displaystyle G_{ab}={\frac {8\pi }{\phi }}T_{ab}+{\frac {\omega }{\phi ^{2}}}\left(\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\frac {1}{2}}g_{ab}\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \right)+{\frac {1}{\phi }}(\nabla _{a}\nabla _{b}\phi -g_{ab}\Box \phi ),}$

${\displaystyle \Box \phi ={\frac {8\pi }{3+2\omega }}T,}$

где

${\displaystyle \omega }$– безразмерная константа связи Дике;

${\displaystyle g_{ab}}$– метрический тензор ;

${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}Rg_{ab}}$– тензор Эйнштейна , разновидность средней кривизны;

${\displaystyle R_{ab}=R^{m}{}_{amb}}$– тензор Риччи , своего рода след тензора кривизны;

${\displaystyle R=R^{m}{}_{m}}$– скаляр Риччи , след тензора Риччи;

${\displaystyle T_{ab}}$– тензор энергии-импульса ;

${\displaystyle T=T_{a}^{a}}$– след тензора энергии-импульса;

${\displaystyle \phi }$– скалярное поле;

${\displaystyle \Box }$– оператор Лапласа–Бельтрами или ковариантный волновой оператор, . ${\displaystyle \Box \phi =\phi ^{;a}{}_{;a}}$

Первое уравнение описывает, как тензор энергии-напряжения и скалярное поле вместе влияют на кривизну пространства-времени. Левую часть, тензор Эйнштейна , можно рассматривать как своего рода среднюю кривизну. Это вопрос чистой математики, что в любой метрической теории тензор Римана всегда можно записать как сумму кривизны Вейля (или тензора конформной кривизны ) и куска, построенного из тензора Эйнштейна. ${\displaystyle \phi }$

Второе уравнение говорит, что след тензора энергии-импульса действует как источник скалярного поля . Поскольку электромагнитные поля вносят в тензор энергии-напряжения лишь незначительный член, это означает, что в области пространства-времени, содержащей только электромагнитное поле (плюс гравитационное поле), правая часть исчезает и подчиняется волне (искривленного пространства-времени) уравнение . Поэтому изменения в распространяются по электровакуумным областям; в этом смысле мы говорим, что это дальнодействующее поле . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

Для сравнения, уравнение поля общей теории относительности выглядит просто:

${\displaystyle G_{ab}=8\pi GT_{ab}.}$

Это означает, что в общей теории относительности кривизна Эйнштейна в каком-то событии полностью определяется тензором энергии-импульса в этом событии; другая часть, кривизна Вейля, представляет собой часть гравитационного поля, которая может распространяться как гравитационная волна через область вакуума. Но в теории Бранса-Дикке тензор Эйнштейна определяется частично непосредственным наличием массы-энергии и импульса, а частично дальнодействующим скалярным полем . ${\displaystyle \phi }$

Уравнения вакуумного поля обеих теорий получаются при обращении в нуль тензора энергии-импульса. Это моделирует ситуации, в которых отсутствуют негравитационные поля.

Принцип действия

Следующий лагранжиан содержит полное описание теории Бранса–Дикке: ^[5]

${\displaystyle S={\frac {1}{16\pi }}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left(\phi R-{\frac {\omega }{\phi }}\partial _{a}\phi \partial ^{a}\phi \right)+\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\,{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} },}$

где – определитель метрики, – четырехмерная форма объема , – член материи , или лагранжева плотность материи . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$

Термин материя включает вклад обычной материи (например, газообразной материи), а также электромагнитных полей. В вакуумной области материальный член тождественно исчезает; оставшийся член является гравитационным членом . Чтобы получить уравнения вакуумного поля, мы должны варьировать гравитационный член в лагранжиане по метрике ; это дает первое уравнение поля, приведенное выше. При изменении относительно скалярного поля мы получаем второе уравнение поля. ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle \phi }$

Обратите внимание, что, в отличие от уравнений поля Общей теории относительности, этот член не обращается в нуль, поскольку результат не является полной производной. Можно показать, что ${\displaystyle \delta R_{ab}/\delta g_{cd}}$

${\displaystyle {\frac {\delta (\phi R)}{\delta g^{ab}}}=\phi R_{ab}+g_{ab}g^{cd}\phi _{;c;d}-\phi _{;a;b}.}$

Для доказательства этого результата используйте

${\displaystyle \delta (\phi R)=R\delta \phi +\phi R_{mn}\delta g^{mn}+\phi \nabla _{s}(g^{mn}\delta \Gamma _{nm}^{s}-g^{ms}\delta \Gamma _{rm}^{r}).}$

При оценке s в нормальных римановых координатах 6 отдельных членов исчезают. Еще 6 членов объединяются при использовании теоремы Стокса для получения желаемого . ${\displaystyle \delta \Gamma }$ ${\displaystyle (g_{ab}g^{cd}\phi _{;c;d}-\phi _{;a;b})\delta g^{ab}}$

Для сравнения: лагранжиан, определяющий общую теорию относительности, равен

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\,\left({\frac {R}{16\pi G}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right).}$

Варьирование гравитационного члена по отношению к дает уравнение вакуумного поля Эйнштейна. ${\displaystyle g_{ab}}$

В обеих теориях полные уравнения поля могут быть получены путем вариаций полного лагранжиана.

Смотрите также

• Физический портал

• Классические теории гравитации
• Дилатон
• Общая теория относительности
• Принцип Маха
• Научное значение GW170817

Примечания

1. Бранс, Швейцария; Дике, Р.Х. (1 ноября 1961 г.). «Принцип Маха и релятивистская теория гравитации». Физический обзор . 124 (3): 925–935. Бибкод : 1961PhRv..124..925B. дои : 10.1103/PhysRev.124.925.
2. Вайнберг, Стивен (1971). Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности . Уайли. п. 160. ИСБН 0471925675.
3. Фарони, Валерио (1999). «Иллюзии общей теории относительности в гравитации Бранса-Дикке». Физ. Преподобный . D59 (8): 084021. arXiv : gr-qc/9902083 . Бибкод : 1999PhRvD..59h4021F. doi : 10.1103/PhysRevD.59.084021. S2CID  7558104.
4. М. Кампанелли, штат Колорадо Лусто, Int. Дж. Мод. Физ. Д 02, 451 (1993) https://doi.org/10.1142/S0218271893000325
5. Георгиос Кофинас, Минас Цукалас: О действии полных теорий Бранса-Дикке, на arXiv:1512.04786 [gr-qc], 28 ноября 2016 г., DOI:10.1140/epjc/s10052-016-4505-y, уравнение ( 2.9) на стр. 2. Некоторые авторы используют

   ${\displaystyle S_{M}=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\;{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$

   соответствующий термин см. в разделе «Теория Бранса-Дике: Определение» (немецкий).

Рекомендации

• Бергманн, Питер Г. (май 1968 г.). «Комментарии к скалярно-тензорной теории». Межд. Дж. Теория. Физ. 1 (1): 25–36. Бибкод : 1968IJTP....1...25B. дои : 10.1007/BF00668828. ISSN  0020-7748. S2CID  119985328.
• Вагонер, Роберт В. (июнь 1970 г.). «Скалярно-тензорная теория и гравитационные волны». Физ. Преподобный Д. Американское физическое общество . 1 (12): 3209–3216. Бибкод : 1970PhRvD...1.3209W. doi : 10.1103/PhysRevD.1.3209.
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman . ISBN 0-7167-0344-0.См. вставку 39.1 .
• Уилл, Клиффорд М. (1986). «Глава 8: Взлет и падение теории Брана-Дике». Был ли прав Эйнштейн?: Проверка общей теории относительности . Нью-Йорк: Основные книги . ISBN 0-19-282203-9.
• Фараони, Валерио (2004). Космология в скалярно-тензорной гравитации . Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic . ISBN 1-4020-1988-2.

Внешние ссылки

• Статья Карла Х. Бранса в Scholarpedia на эту тему.
• Бранс, Карл Х. (2005). «Корни скалярно-тензорной теории: приблизительная история». arXiv : gr-qc/0506063 .