Мощность переменного тока

Мощность в системах переменного тока

На этом размытом от движения с длинной выдержкой показано мерцание городских огней, не являющихся лампами накаливания. Характер переменного тока в сети раскрывается пунктирным видом следов движущихся огней.

В электрической цепи мгновенная мощность — это скорость потока энергии через заданную точку цепи. В цепях переменного тока элементы хранения энергии, такие как катушки индуктивности и конденсаторы, могут приводить к периодическим изменениям направления потока энергии. Ее единицей СИ является ватт .

Часть мгновенной мощности, которая, усредненная по полному циклу формы волны переменного тока , приводит к чистой передаче энергии в одном направлении, известна как мгновенная активная мощность, а ее среднее по времени известно как активная мощность или действительная мощность . ^{[1] : 3} Часть мгновенной мощности, которая не приводит к чистой передаче энергии, а вместо этого колеблется между источником и нагрузкой в ​​каждом цикле из-за накопленной энергии, известна как мгновенная реактивная мощность, а ее амплитуда является абсолютным значением реактивной мощности . ^{[2] [1] : 4}

Активная, реактивная, полная и комплексная мощность в синусоидальном установившемся режиме

В простой цепи переменного тока (AC), состоящей из источника и линейной постоянной во времени нагрузки, как ток, так и напряжение являются синусоидальными на одной и той же частоте. ^[3] Если нагрузка чисто резистивная , две величины меняют свою полярность одновременно. Следовательно, мгновенная мощность, заданная произведением напряжения и тока, всегда положительна, так что направление потока энергии не меняется и всегда направлено к резистору. В этом случае передается только активная мощность.

Если нагрузка чисто реактивная , то напряжение и ток сдвинуты по фазе на 90 градусов. В течение двух четвертей каждого цикла произведение напряжения и тока положительно, но в течение двух других четвертей произведение отрицательно, что указывает на то, что в среднем в нагрузку поступает ровно столько же энергии, сколько и вытекает обратно. Чистого потока энергии за каждую половину цикла нет. В этом случае течет только реактивная мощность: Чистой передачи энергии в нагрузку нет; однако электрическая мощность течет по проводам и возвращается, протекая в обратном направлении по тем же проводам. Ток, необходимый для этого потока реактивной мощности, рассеивает энергию в сопротивлении линии, даже если идеальное нагрузочное устройство само по себе не потребляет энергию. Практические нагрузки имеют сопротивление, а также индуктивность или емкость, поэтому как активная, так и реактивная мощность будут течь к нормальным нагрузкам.

Полная мощность является произведением среднеквадратических значений напряжения и тока. Полная мощность учитывается при проектировании и эксплуатации энергосистем, поскольку, хотя ток, связанный с реактивной мощностью, не выполняет работу на нагрузке, он все равно должен подаваться источником питания. Проводники, трансформаторы и генераторы должны быть рассчитаны на передачу полного тока, а не только тока, который выполняет полезную работу. Недостаточная реактивная мощность может снизить уровень напряжения в электросети и, при определенных условиях эксплуатации, привести к разрушению сети ( отключению электроэнергии ). Другим следствием является то, что сложение полной мощности для двух нагрузок не даст точной общей мощности, если только они не имеют одинаковой разности фаз между током и напряжением (одинаковый коэффициент мощности ).

Традиционно конденсаторы рассматриваются так, как будто они генерируют реактивную мощность, а индукторы рассматриваются так, как будто они ее потребляют. Если конденсатор и индуктор размещены параллельно, то токи, протекающие через конденсатор и индуктор, имеют тенденцию к погашению, а не к добавлению. Это фундаментальный механизм управления коэффициентом мощности при передаче электроэнергии; конденсаторы (или индукторы) вставляются в цепь для частичной компенсации реактивной мощности, «потребляемой» («генерируемой») нагрузкой. Чисто емкостные цепи поставляют реактивную мощность с формой волны тока, опережающей форму волны напряжения на 90 градусов, в то время как чисто индуктивные цепи поглощают реактивную мощность с формой волны тока, отстающей от формы волны напряжения на 90 градусов. Результатом этого является то, что емкостные и индуктивные элементы цепи имеют тенденцию к погашению друг друга. ^[4]

Треугольник мощности
Комплексная мощность — это векторная сумма активной и реактивной мощности. Полная мощность — это величина комплексной мощности.
   Активная мощность , P
  Реактивная мощность , Q
  Комплексная мощность , S
  Полная мощность , |S|
  Фаза напряжения относительно тока , ${\displaystyle \varphi }$

Инженеры используют следующие термины для описания потока энергии в системе (и присваивают каждому из них отдельную единицу измерения, чтобы различать их):

• Активная мощность , ^[5] P , или реальная мощность : ^[6] ватт (Вт);
• Реактивная мощность , Q : вольт-ампер реактивный (вар);
• Комплексная мощность , S : вольт-ампер (ВА);
• Полная мощность , | S |: величина комплексной мощности S : вольт-ампер (ВА);
• Фаза напряжения относительно тока , φ : угол разности (в градусах) между током и напряжением; Текущее отстающее напряжение ( вектор квадранта I), текущее опережающее напряжение (вектор квадранта IV). ${\displaystyle \varphi =\arg(V)-\arg(I)}$

Все они обозначены на соседней диаграмме (называемой треугольником мощностей).

На диаграмме P — активная мощность, Q — реактивная мощность (в данном случае положительная), S — комплексная мощность, а длина S — полная мощность. Реактивная мощность не совершает никакой работы, поэтому она представлена ​​как мнимая ось векторной диаграммы. Активная мощность совершает работу, поэтому она является действительной осью.

Единицей измерения мощности является ватт (символ: Вт). Полная мощность часто выражается в вольт-амперах (ВА), поскольку она является произведением среднеквадратичного напряжения и среднеквадратичного тока . Единицей измерения реактивной мощности является вар, что означает вольт-ампер реактивный . Поскольку реактивная мощность не передает чистую энергию нагрузке, ее иногда называют «безваттной» мощностью. Однако она выполняет важную функцию в электрических сетях , и ее отсутствие было названо существенным фактором в отключении электроэнергии на северо-востоке в 2003 году . ^[7] Понимание взаимосвязи между этими тремя величинами лежит в основе понимания электротехники. Математическая взаимосвязь между ними может быть представлена ​​векторами или выражена с использованием комплексных чисел , S  =  P  +  j Q (где j — мнимая единица ).

Мгновенная мощность в системах переменного тока, когда ток отстает от напряжения на 50 градусов.

Расчеты и уравнения в синусоидальном установившемся режиме

Формула для комплексной мощности (единицы измерения: ВА) в векторной форме имеет вид:

${\displaystyle S=VI^{*}=|S|\angle \varphi }$,

где V обозначает напряжение в форме вектора с амплитудой как RMS , а I обозначает ток в форме вектора с амплитудой как RMS. Также по соглашению используется комплексное сопряжение I , которое обозначается (или ), а не само I. Это делается потому, что в противном случае использование произведения VI для определения S привело бы к величине, которая зависит от опорного угла, выбранного для V или I, но определение S как VI* приводит к величине, которая не зависит от опорного угла и позволяет связать S с P и Q. ^[8] ${\displaystyle I^{*}}$ ${\displaystyle {\overline {I}}}$

Другие формы комплексной мощности (единицы измерения — вольт-амперы, ВА) выводятся из Z , сопротивления нагрузки (единицы измерения — омы, Ом).

${\displaystyle S=|I|^{2}Z={\frac {|V|^{2}}{Z^{*}}}}$.

Следовательно, применительно к треугольнику мощности, действительная мощность (единицы измерения в ваттах, Вт) выводится как:

${\displaystyle P=|S|\cos {\varphi }=|I|^{2}R={\frac {|V|^{2}}{|Z|^{2}}}\times {R}}$.

Для чисто резистивной нагрузки активную мощность можно упростить до:

${\displaystyle P={\frac {|V|^{2}}{R}}}$.

R обозначает сопротивление (единицы измерения — Омы, Ом) нагрузки.

Реактивная мощность (единицы измерения: вольт-ампер-реактивная, вар) вычисляется по формуле:

${\displaystyle Q=|S|\sin {\varphi }=|I|^{2}X={\frac {|V|^{2}}{|Z|^{2}}}\times {X}}$.

Для чисто реактивной нагрузки реактивную мощность можно упростить до:

${\displaystyle Q={\frac {|V|^{2}}{X}}}$,

где X обозначает реактивное сопротивление (единицы измерения в омах, Ω) нагрузки.

Комбинируя, комплексная мощность (единицы в вольт-амперах, ВА) выводится обратно как

${\displaystyle S=P+jQ}$,

и полная мощность (единицы в вольт-амперах, ВА) как

${\displaystyle |S|={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}}$.

Схематически они упрощенно представлены в виде треугольника мощностей.

Коэффициент мощности

Отношение активной мощности к полной мощности в цепи называется коэффициентом мощности . Для двух систем, передающих одинаковое количество активной мощности, система с меньшим коэффициентом мощности будет иметь более высокие циркулирующие токи из-за энергии, которая возвращается к источнику из хранилища энергии в нагрузке. Эти более высокие токи производят более высокие потери и снижают общую эффективность передачи. Цепь с меньшим коэффициентом мощности будет иметь более высокую полную мощность и более высокие потери для того же количества активной мощности. Коэффициент мощности равен 1,0, когда напряжение и ток находятся в фазе . Он равен нулю, когда ток опережает или отстает от напряжения на 90 градусов. Когда напряжение и ток находятся в противофазе на 180 градусов, коэффициент мощности отрицателен, и нагрузка подает энергию в источник (примером может служить дом с солнечными батареями на крыше, которые подают электроэнергию в электросеть, когда светит солнце). Коэффициенты мощности обычно указываются как «опережающие» или «отстающие», чтобы показать знак фазового угла тока по отношению к напряжению. Напряжение обозначается как база, с которой сравнивается угол тока, то есть ток рассматривается как «опережающее» или «отстающее» напряжение. Если формы волн чисто синусоидальные, коэффициент мощности равен косинусу фазового угла ( ) между синусоидальными формами волн тока и напряжения. По этой причине в технических паспортах и ​​на заводских табличках оборудования коэффициент мощности часто обозначается как « ». ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \cos \phi }$

Пример: Активная мощность составляет 700 Вт , а фазовый угол между напряжением и током составляет 45,6°. Коэффициент мощности равен cos(45,6°) = 0,700 . Тогда полная мощность составляет: 700 Вт / cos(45,6°) = 1000 ВА . Концепция рассеивания мощности в цепи переменного тока объясняется и иллюстрируется на примере.

Например, коэффициент мощности 0,68 означает, что только 68 процентов от общего тока, подаваемого (по величине), фактически выполняют работу; оставшийся ток не выполняет никакой работы на нагрузке. Коэффициент мощности очень важен на подстанциях сектора электроэнергетики. От подсекторов национальной сети требуется минимальный коэффициент мощности. В противном случае будет много потерь. В основном требуемый коэффициент варьируется от 0,90 до 0,96 или более. Лучше, если коэффициент мощности будет меньше потерь.

Реактивная мощность

В цепи постоянного тока мощность, протекающая к нагрузке, пропорциональна произведению тока через нагрузку и падения потенциала на нагрузке. Мощность, которая возникает из-за конденсатора или индуктора, называется реактивной мощностью. Это происходит из-за природы переменного тока таких элементов, как индукторы и конденсаторы. Энергия течет в одном направлении от источника к нагрузке. В цепи переменного тока напряжение и ток изменяются приблизительно по синусоидальному закону. Когда в цепи есть индуктивность или емкость, формы волн напряжения и тока не выстраиваются идеально. Поток мощности состоит из двух компонентов: один компонент течет от источника к нагрузке и может выполнять работу на нагрузке; другая часть, известная как «реактивная мощность», возникает из-за задержки между напряжением и током, известной как фазовый угол, и не может выполнять полезную работу на нагрузке. Ее можно рассматривать как ток, который поступает в неправильное время (слишком поздно или слишком рано). Чтобы отличить реактивную мощность от активной мощности, ее измеряют в единицах « вольт-ампер реактивных », или вар. Эти единицы можно упростить до ватт, но оставить как вар, чтобы обозначить, что они не представляют фактической выходной работы.

Энергия, запасенная в емкостных или индуктивных элементах сети, приводит к возникновению потока реактивной мощности. Поток реактивной мощности сильно влияет на уровни напряжения в сети. Уровни напряжения и поток реактивной мощности должны тщательно контролироваться, чтобы энергосистема могла работать в приемлемых пределах. Метод, известный как реактивная компенсация, используется для уменьшения кажущегося потока мощности к нагрузке путем уменьшения реактивной мощности, подаваемой от линий электропередачи, и предоставления ее локально. Например, для компенсации индуктивной нагрузки шунтирующий конденсатор устанавливается близко к самой нагрузке. Это позволяет поставлять всю реактивную мощность, необходимую нагрузке, конденсатором и не передавать ее по линиям электропередачи. Такая практика экономит энергию, поскольку она уменьшает количество энергии, которое требуется вырабатывать коммунальному предприятию для выполнения того же объема работы. Кроме того, она позволяет создавать более эффективные конструкции линий электропередачи с использованием меньших проводников или меньшего количества связанных проводников и оптимизировать конструкцию опор линий электропередачи.

Емкостные и индуктивные нагрузки

Сохраненная энергия в магнитном или электрическом поле нагрузочного устройства, такого как двигатель или конденсатор, вызывает смещение между формой волны тока и напряжения. Конденсатор — это устройство, которое хранит энергию в форме электрического поля. Когда ток проходит через конденсатор, накопление заряда вызывает возникновение противоположного напряжения на конденсаторе. Это напряжение увеличивается до некоторого максимума, диктуемого структурой конденсатора. В сети переменного тока напряжение на конденсаторе постоянно меняется. Конденсатор противодействует этому изменению, заставляя ток опережать напряжение по фазе. Говорят, что конденсаторы «источники» реактивной мощности и, таким образом, вызывают опережающий коэффициент мощности.

Индукционные машины являются одними из наиболее распространенных типов нагрузок в электроэнергетической системе сегодня. Эти машины используют индукторы , или большие катушки провода, для хранения энергии в форме магнитного поля. Когда напряжение изначально подается на катушку, индуктор сильно сопротивляется этому изменению тока и магнитного поля, что вызывает задержку по времени для достижения током своего максимального значения. Это заставляет ток отставать от напряжения по фазе. Говорят, что индукторы «поглощают» реактивную мощность и, таким образом, вызывают отстающий коэффициент мощности. Индукционные генераторы могут быть источником или поглотителем реактивной мощности и обеспечивать операторам системы меру контроля над потоком реактивной мощности и, следовательно, напряжением. ^[9] Поскольку эти устройства оказывают противоположное влияние на фазовый угол между напряжением и током, их можно использовать для «компенсации» эффектов друг друга. Обычно это принимает форму конденсаторных батарей, используемых для противодействия отстающему коэффициенту мощности, вызванному асинхронными двигателями.

Регулирование реактивной мощности

Генераторы, подключенные к передаче, как правило, должны поддерживать поток реактивной мощности. Например, в системе передачи Соединенного Королевства генераторы должны, согласно требованиям Grid Code Requirements, поставлять свою номинальную мощность в пределах отстающего коэффициента мощности 0,85 и опережающего коэффициента мощности 0,90 на назначенных терминалах. Системный оператор будет выполнять действия по переключению для поддержания безопасного и экономичного профиля напряжения, поддерживая уравнение баланса реактивной мощности:

${\displaystyle \mathrm {Generator\ MVARs+System\ gain+Shunt\ capacitors=MVAR\ Demand+Reactive\ losses+Shunt\ reactors} }$

« Системный коэффициент усиления » является важным источником реактивной мощности в приведенном выше уравнении баланса мощности, который генерируется емкостной природой самой сети передачи. Выполняя решительные действия по переключению рано утром до увеличения спроса, системный коэффициент усиления может быть максимизирован на ранней стадии, помогая обеспечить безопасность системы в течение всего дня. Для балансировки уравнения потребуется использование некоторого предаварийного реактивного генератора. Другие источники реактивной мощности, которые также будут использоваться, включают шунтирующие конденсаторы, шунтирующие реакторы, статические компенсаторы реактивной мощности и схемы управления напряжением.

Несбалансированные синусоидальные полифазные системы

В то время как активная мощность и реактивная мощность хорошо определены в любой системе, определение полной мощности для несбалансированных многофазных систем считается одной из самых спорных тем в энергетике. Первоначально полная мощность возникла просто как показатель качества. Основные очертания концепции приписываются Стэнли « Явления запаздывания в индукционной катушке» (1888) и Штейнмецу « Теоретические элементы инженерии» (1915). Однако с развитием трехфазного распределения электроэнергии стало ясно, что определение полной мощности и коэффициента мощности не может быть применено к несбалансированным многофазным системам . В 1920 году «Специальный объединенный комитет AIEE и Национальной ассоциации электрического освещения» собрался, чтобы решить этот вопрос. Они рассмотрели два определения.

${\displaystyle S_{A}=|S_{\mathrm {a} }|+|S_{\mathrm {b} }|+|S_{\mathrm {c} }|}$

${\displaystyle \mathrm {pf} _{A}={P_{\mathrm {a} }+P_{\mathrm {b} }+P_{\mathrm {c} } \over S_{A}}}$,

то есть арифметическая сумма фазовых кажущихся мощностей; и

${\displaystyle S_{V}=|P_{\mathrm {a} }+P_{\mathrm {b} }+P_{\mathrm {c} }+j(Q_{\mathrm {a} }+Q_{\mathrm {b} }+Q_{\mathrm {c} })|}$

${\displaystyle \mathrm {pf} _{V}={P_{\mathrm {a} }+P_{\mathrm {b} }+P_{\mathrm {c} } \over S_{V}}}$,

то есть величина полной трехфазной комплексной мощности.

Комитет 1920 года не нашел консенсуса, и эта тема продолжала доминировать в обсуждениях. В 1930 году был сформирован другой комитет, который снова не смог решить этот вопрос. Стенограммы их обсуждений являются самыми длинными и противоречивыми из когда-либо опубликованных AIEE. ^[10] Дальнейшее разрешение этого спора произошло только в конце 1990-х годов.

Новое определение, основанное на теории симметричных составляющих, было предложено в 1993 году Александром Эмануэлем для неуравновешенной линейной нагрузки, питаемой несимметричными синусоидальными напряжениями:

${\displaystyle S={\sqrt {\left(|V_{\mathrm {a} }^{2}|+|V_{\mathrm {b} }^{2}|+|V_{\mathrm {c} }^{2}|\right)\left(|I_{\mathrm {a} }^{2}|+|I_{\mathrm {b} }^{2}|+|I_{\mathrm {c} }^{2}|\right)}}}$

${\displaystyle \mathrm {pf} ={P^{+} \over S}}$,

то есть корень из квадратов сумм линейных напряжений, умноженный на корень из квадратов сумм линейных токов. обозначает мощность прямой последовательности: ${\displaystyle P^{+}}$

${\displaystyle P^{+}=3|V^{+}||I^{+}|\cos {(\arg {(V^{+})}-\arg {(I^{+})})}}$

${\displaystyle V^{+}}$обозначает вектор напряжения прямой последовательности, а обозначает вектор тока прямой последовательности. ^[10] ${\displaystyle I^{+}}$

Формулы действительных чисел

Идеальный резистор не хранит энергию; поэтому ток и напряжение находятся в фазе. Следовательно, реактивной мощности нет и (используя правило пассивного знака ). Следовательно, для идеального резистора ${\displaystyle P=S}$

${\displaystyle P=S=V_{\mathrm {RMS} }I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {RMS} }^{2}R={\frac {V_{\mathrm {RMS} }^{2}}{R}}\,\!}$.

Для идеального конденсатора или катушки индуктивности нет чистой передачи мощности; поэтому вся мощность является реактивной. Таким образом, для идеального конденсатора или катушки индуктивности:

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=0\\Q&=|S|=V_{\mathrm {RMS} }I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {RMS} }^{2}|X|={\frac {V_{\mathrm {RMS} }^{2}}{|X|}}\end{aligned}}}$.

где - реактивное сопротивление конденсатора или катушки индуктивности. ${\displaystyle X}$

Если определено как положительное для катушки индуктивности и отрицательное для конденсатора, то знаки модуля можно убрать из S и X и получить ${\displaystyle X}$

${\displaystyle Q=I_{\mathrm {RMS} }^{2}X={\frac {V_{\mathrm {RMS} }^{2}}{X}}}$.

Мгновенная мощность определяется как:

${\displaystyle p(t)=v(t)\,i(t)}$,

где и — изменяющиеся во времени формы напряжения и тока. ${\displaystyle v(t)}$ ${\displaystyle i(t)}$

Это определение полезно, поскольку оно применимо ко всем формам волн, будь они синусоидальными или нет. Это особенно полезно в силовой электронике, где несинусоидальные формы волн являются обычным явлением.

В общем, инженеры интересуются активной мощностью, усредненной за период времени, будь то цикл линии низкой частоты или период переключения преобразователя высокой частоты. Самый простой способ получить этот результат — взять интеграл мгновенного расчета за требуемый период:

${\displaystyle P_{\text{avg}}={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\,i(t)\,\mathrm {d} t}$.

Этот метод расчета средней мощности дает активную мощность независимо от гармонического содержания формы волны. В практических приложениях это будет сделано в цифровой области, где расчет становится тривиальным по сравнению с использованием среднеквадратичного значения и фазы для определения активной мощности:

${\displaystyle P_{\text{avg}}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}V[k]I[k]}$.

Многочастотные системы

Поскольку среднеквадратичное значение может быть рассчитано для любой формы волны, кажущаяся мощность может быть рассчитана из этого. Для активной мощности на первый взгляд может показаться, что необходимо вычислить много терминов продукта и усреднить их все. Однако, более детальное рассмотрение одного из этих терминов продукта дает очень интересный результат.

${\displaystyle {\begin{aligned}&A\cos(\omega _{1}t+k_{1})\cos(\omega _{2}t+k_{2})\\={}&{\frac {A}{2}}\cos \left[\left(\omega _{1}t+k_{1}\right)+\left(\omega _{2}t+k_{2}\right)\right]+{\frac {A}{2}}\cos \left[\left(\omega _{1}t+k_{1}\right)-\left(\omega _{2}t+k_{2}\right)\right]\\={}&{\frac {A}{2}}\cos \left[\left(\omega _{1}+\omega _{2}\right)t+k_{1}+k_{2}\right]+{\frac {A}{2}}\cos \left[\left(\omega _{1}-\omega _{2}\right)t+k_{1}-k_{2}\right]\end{aligned}}}$

Однако среднее по времени функции вида cos( ωt + k ) равно нулю при условии, что ω не равно нулю. Следовательно, единственными членами произведения, имеющими ненулевое среднее значение, являются те, где частота напряжения и тока совпадают. Другими словами, можно вычислить активную (среднюю) мощность, просто обрабатывая каждую частоту отдельно и складывая ответы. Кроме того, если предположить, что напряжение сетевого питания имеет одну частоту (что обычно и есть), это показывает, что гармонические токи — это плохо. Они увеличат среднеквадратичный ток (поскольку будут добавлены ненулевые члены) и, следовательно, кажущуюся мощность, но они не окажут никакого влияния на передаваемую активную мощность. Следовательно, гармонические токи уменьшат коэффициент мощности. Гармонические токи можно уменьшить с помощью фильтра, размещенного на входе устройства. Обычно он будет состоять либо из простого конденсатора (полагаясь на паразитное сопротивление и индуктивность в источнике), либо из конденсаторно-индукционной сети. Активная схема коррекции коэффициента мощности на входе, как правило, дополнительно снижает гармонические токи и поддерживает коэффициент мощности ближе к единице.

Смотрите также

• Энергетический портал

• Война течений
• Передача электроэнергии
• Трансформатор
• Электричество от сети
• Деформированная сила

Ссылки

1. Стандартные определения IEEE для измерения величин электрической мощности при синусоидальных, несинусоидальных, сбалансированных или несбалансированных условиях . IEEE. 2010. doi :10.1109/IEEESTD.2010.5439063. ISBN 978-0-7381-6058-0.
2. Томас, Роланд Э.; Роза, Альберт Дж.; Туссен, Грегори Дж. (2016). Анализ и проектирование линейных цепей (8-е изд.). Wiley. С. 812–813. ISBN 978-1-119-23538-5.
3. Das, JC (2015). Гармоники энергосистемы и пассивная конструкция фильтра . Wiley, IEEE Press. стр. 2. ISBN 978-1-118-86162-2Чтобы различать линейные и нелинейные нагрузки , можно сказать, что линейные неизменяемые во времени нагрузки характеризуются тем, что приложение синусоидального напряжения приводит к синусоидальному потоку тока.
4. "Важность реактивной мощности для системы". 21 марта 2011 г. Архивировано из оригинала 2015-05-12 . Получено 2015-04-29 .
5. Определение активной мощности в Международном электротехническом словаре. Архивировано 23 апреля 2015 г. на Wayback Machine .
6. IEEE 100: авторитетный словарь терминов стандартов IEEE.-7-е изд. ISBN 0-7381-2601-2 , стр. 23 
7. "Отключение 14 августа 2003 г. – Последовательность событий" (PDF) . FERC . 2003-09-12. Архивировано из оригинала (PDF) 2007-10-20 . Получено 2008-02-18 .
8. Клоуз, Чарльз М. Анализ линейных цепей . С. 398 (раздел 8.3).
9. "Дифференциация нагрузки". Архивировано из оригинала 2015-10-25 . Получено 2015-04-29 .
10. Эмануэль, Александр (июль 1993 г.). «Об определении коэффициента мощности и полной мощности в неуравновешенных многофазных цепях с синусоидальным напряжением и токами». Труды IEEE по доставке электроэнергии . 8 (3): 841–852. doi :10.1109/61.252612.

Внешние ссылки

• «Java-апплет переменного тока»