Группа примитивных перестановок

Группа перестановок, не сохраняющая нетривиальных разбиений

В математике группа перестановок G, действующая на непустом конечном множестве X, называется примитивной , если G действует транзитивно на X и единственными разбиениями, которые сохраняет действие G , являются тривиальные разбиения либо на одно множество, либо на | X | одноэлементные множества. В противном случае, если G транзитивна и G сохраняет нетривиальное разбиение, G называется импримитивной .

Хотя примитивные группы перестановок транзитивны, не все транзитивные группы перестановок примитивны. Простейшим примером является четверная группа Клейна, действующая на вершинах квадрата, которая сохраняет разбиение на диагонали. С другой стороны, если группа перестановок сохраняет только тривиальные разбиения, она транзитивна, за исключением случая тривиальной группы, действующей на множестве из 2 элементов. Это происходит потому, что для нетранзитивного действия либо орбиты G образуют нетривиальное разбиение, сохраняемое G , либо действие группы тривиально, и в этом случае все нетривиальные разбиения X (которые существуют для | X | ≥ 3) сохраняются G .

Эта терминология была введена Эваристом Галуа в его последнем письме, в котором он использовал французский термин équationprimite для уравнения, группа Галуа которого примитивна. ^[1]

Характеристики

В том же письме, в котором он ввел термин «примитивный», Галуа сформулировал следующую теорему: ^[2]

Если G — примитивная разрешимая группа, действующая на конечном множестве X , то порядок X является степенью простого числа p . Далее, X можно отождествить с аффинным пространством над конечным полем с p элементами, а G действует на X как подгруппа аффинной группы .

Если множество X, на котором действует G , конечно, то его мощность называется степенью G.

Следствием этого результата Галуа является то, что если p — нечетное простое число, то порядок разрешимой транзитивной группы степени p является делителем Фактически, каждая транзитивная группа простой степени является примитивной (поскольку число элементов разбиения, фиксируемого G, должно быть делителем p ), и является мощностью аффинной группы аффинного пространства с p элементами. ${\displaystyle p(p-1).}$ ${\displaystyle p(p-1)}$

Отсюда следует, что если p — простое число, большее 3, то симметрическая группа и знакопеременная группа степени p неразрешимы, поскольку их порядок больше, чем Из этого и из того факта, что существуют многочлены с симметрической группой Галуа, следует теорема Абеля–Руффини . ${\displaystyle p(p-1).}$

Эквивалентное определение примитивности основывается на том факте, что каждое транзитивное действие группы G изоморфно действию, возникающему из канонического действия G на множестве смежных классов G / H для H подгруппы G. Действие группы является примитивным, если оно изоморфно G / H для максимальной подгруппы H группы G , и импримитивным в противном случае (то есть, если существует собственная подгруппа K группы G , собственной подгруппой которой является H ). Эти импримитивные действия являются примерами индуцированных представлений .

Численность примитивных групп малой степени была указана Робертом Кармайклом в 1937 году:

Существует большое количество примитивных групп степени 16. Как отмечает Кармайкл, ^{[ необходимо страниц ]} все эти группы, за исключением симметрической и знакопеременной группы, являются подгруппами аффинной группы в 4-мерном пространстве над 2-элементным конечным полем .

Примеры

• Рассмотрим симметрическую группу, действующую на множестве , и перестановку ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}.}$

Оба и группа, созданная ими, являются примитивными. ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle \eta }$

• Теперь рассмотрим симметрическую группу, действующую на множестве , и перестановку ${\displaystyle S_{4}}$ ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}.}$

Группа, порожденная , не является примитивной, поскольку разбиение , где и сохраняется при , т.е. и . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$ ${\displaystyle X_{1}=\{1,3\}}$ ${\displaystyle X_{2}=\{2,4\}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma (X_{1})=X_{2}}$ ${\displaystyle \sigma (X_{2})=X_{1}}$

• Каждая транзитивная группа простой степени является примитивной.
• Симметрическая группа, действующая на множестве, примитивна для каждого n , а знакопеременная группа, действующая на множестве, примитивна для каждого  n  > 2. ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$

Смотрите также

• Блок (теория групп перестановок)
• Теорема Жордана (симметричная группа)
• Теорема О'Нана–Скотта , классификация конечных примитивных групп по различным типам

Ссылки

1. Последнее письмо Галуа: http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/lettres/lettre-testament
2. Галуа использовал другую терминологию, поскольку большая часть терминологии в этом заявлении была введена позже, отчасти для пояснения концепций, введенных Галуа.

• Рони-Дугал, Колва М. Примитивные группы перестановок степени меньше 2500 , Журнал алгебры 292 (2005), № 1, 154–183.
• Библиотека данных GAP «Примитивные группы перестановок».
• Кармайкл, Роберт Д., Введение в теорию групп конечного порядка. Ginn, Бостон, 1937. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1956.
• Тодд Роуленд. «Примитивное групповое действие». MathWorld .