Рациональное число

Частное двух целых чисел

Рациональные числа ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ входят в действительные числа ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , которые входят в состав комплексных чисел ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , а рациональные числа включают целые числа ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , которые, в свою очередь, включают натуральные числа ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ .

В математике рациональное число — это число , которое можно выразить как частное или дробь ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ двух целых чисел , числителя p и ненулевого знаменателя q . ^[1] Например, ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$ — рациональное число, как и любое целое число (например, ). Множество всех рациональных чисел, также называемых « рациональными числами », ^[2] поле рациональных чисел ^[3] или поле рациональных чисел обычно обозначается жирным шрифтом Q или жирным шрифтом на доске ⁠ ⁠ ${\displaystyle -5={\tfrac {-5}{1}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Рациональное число – это действительное число . Рациональными действительными числами являются те, десятичное разложение которых либо заканчивается после конечного числа цифр (пример: 3/4 = 0,75 ), либо в конечном итоге начинает повторять одну и ту же конечную последовательность цифр снова и снова (пример: 9/44 = 0,20454545... ). ^[4] Это утверждение верно не только для десятичной системы счисления , но и для любой другой целочисленной системы счисления , например, двоичной и шестнадцатеричной (см. раздел Повторение десятичной дроби § Расширение до других оснований ).

Действительное число , не являющееся рациональным, называется иррациональным . ^[5] Иррациональные числа включают квадратный корень из 2 ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ), π , e и золотое сечение ( φ ). Поскольку множество рациональных чисел счетно , а множество действительных чисел неисчислимо , почти все действительные числа иррациональны. ^[1]

Рациональные числа можно формально определить как классы эквивалентности пар целых чисел ( p, q ) с q ≠ 0 , используя отношение эквивалентности , определенное следующим образом:

${\displaystyle (p_{1},q_{1})\sim (p_{2},q_{2})\iff p_{1}q_{2}=p_{2}q_{1}.}$

Дробь ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ тогда обозначает класс эквивалентности ( p, q ) . ^[6]

Рациональные числа вместе со сложением и умножением образуют поле , содержащее целые числа , и содержится в любом поле, содержащем целые числа. Другими словами, поле рациональных чисел является простым полем , и поле имеет нулевую характеристику тогда и только тогда, когда оно содержит рациональные числа в качестве подполя. Конечные расширения ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ называются полями алгебраических чисел , а алгебраическое замыкание ⁠ ⁠ является ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ полем алгебраических чисел . ^[7]

В математическом анализе рациональные числа образуют плотное подмножество действительных чисел. Действительные числа могут быть построены из рациональных чисел путем завершения , используя последовательности Коши , разрезы Дедекинда или бесконечные десятичные дроби (см. Построение действительных чисел ).

Терминология

Термин «рациональное» по отношению к множеству ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ относится к тому факту, что рациональное число представляет собой отношение двух целых чисел. В математике слово «рациональное» часто используется как существительное, сокращающее «рациональное число». Прилагательное рациональное иногда означает, что коэффициенты являются рациональными числами. Например, рациональная точка — это точка с рациональными координатами (т. е. точка, координаты которой являются рациональными числами); рациональная матрица — матрица рациональных чисел; рациональный многочлен может быть многочленом с рациональными коэффициентами, хотя термин «полином над рациональными числами» обычно предпочтительнее, чтобы избежать путаницы между « рациональным выражением » и « рациональной функцией » ( многочлен — это рациональное выражение и определяет рациональную функцию, даже если его коэффициенты не являются рациональными числами). Однако рациональная кривая — это не кривая, определенная над рациональными числами, а кривая, которую можно параметризовать рациональными функциями.

Этимология

Хотя в настоящее время рациональные числа определяются в терминах отношений , термин «рациональный» не является производным от отношения . Напротив, именно отношение является производным от рационального : первое использование отношения в его современном значении было засвидетельствовано в английском языке около 1660 года, ^[8] тогда как использование рационального для определения чисел появилось почти на столетие раньше, в 1570 году ^{. 9]} Это значение слова «рациональный» произошло от математического значения слова «иррациональное» , которое впервые было использовано в 1551 году и использовалось в «переводах Евклида (после его своеобразного использования ἄλογος )». ^{[10] [11]}

Эта необычная история возникла из-за того, что древние греки «избежали ереси, запретив себе думать об этих [иррациональных] длинах как о числах». ^[12] Таким образом, такие длины были иррациональны , в смысле нелогичны , то есть «нельзя говорить о них» ( ἄλογος по-гречески). ^[13]

Арифметика

Несократимая дробь

Каждое рациональное число можно выразить уникальным образом в виде неприводимой дроби ⁠ ⁠, ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}},}$ где a и b — взаимно простые целые числа и b > 0 . Это часто называют канонической формой рационального числа.

Начиная с рационального числа ⁠ ⁠, ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}},}$ его каноническую форму можно получить, разделив a и b на их наибольший общий делитель и, если b < 0 , изменив знак полученных числителя и знаменателя.

Встраивание целых чисел

Любое целое число n можно выразить как рациональное число ⁠ ⁠, ${\displaystyle {\tfrac {n}{1}},}$ которое является его канонической формой рационального числа.

Равенство

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$если и только если ${\displaystyle ad=bc}$

Если обе дроби имеют каноническую форму, то:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$тогда и только тогда и только тогда и ^[6] ${\displaystyle a=c}$ ${\displaystyle b=d}$

Заказ

Если оба знаменателя положительны (особенно если обе дроби имеют каноническую форму):

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$если и только если ${\displaystyle ad<bc.}$

С другой стороны, если любой из знаменателей отрицательный, то каждую дробь с отрицательным знаменателем необходимо сначала преобразовать в эквивалентную форму с положительным знаменателем — изменив знаки как ее числителя, так и знаменателя. ^[6]

Добавление

Две фракции складываются следующим образом:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$

Если обе дроби находятся в канонической форме, результат будет в канонической форме тогда и только тогда, когда b, d — взаимно простые целые числа . ^{[6] [14]}

Вычитание

${\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.}$

Если обе дроби находятся в канонической форме, результат будет в канонической форме тогда и только тогда, когда b, d — взаимно простые целые числа . ^[14]

Умножение

Правило умножения следующее:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}$

где результатом может быть сокращаемая дробь , даже если обе исходные дроби имеют каноническую форму. ^{[6] [14]}

Обратный

Каждое рациональное число ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ имеет аддитивное обратное число , часто называемое его противоположностью .

${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}.}$

Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ находится в канонической форме, то же самое верно и для его противоположности.

Ненулевое рациональное число ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ имеет мультипликативное обратное , также называемое обратным ,

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}.}$

Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ находится в канонической форме, то каноническая форма его обратной величины равна либо ⁠ ⁠, ${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}$ либо ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {-b}{-a}},}$ в зависимости от знака a .

Разделение

Если b, c, d не равны нулю, правило деления следующее:

${\displaystyle {\frac {\,{\dfrac {a}{b}}\,}{\dfrac {c}{d}}}={\frac {ad}{bc}}.}$

Таким образом, деление ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ на ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$ эквивалентно умножению ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ на обратную величину ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}:}$^[14]

${\displaystyle {\frac {ad}{bc}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}.}$

Возведение в степень в целую степень

Если n — целое неотрицательное число, то

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}.}$

Результат имеет каноническую форму, если то же самое верно для ⁠ ⁠. ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}.}$ В частности,

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{0}=1.}$

Если а ≠ 0 , то

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}={\frac {b^{n}}{a^{n}}}.}$

Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ находится в канонической форме, каноническая форма результата равна ⁠ ⁠, ${\displaystyle {\tfrac {b^{n}}{a^{n}}}}$ если a > 0 или n четно. В противном случае каноническая форма результата будет ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {-b^{n}}{-a^{n}}}.}$

Представление непрерывной дроби

Конечная цепная дробь — это такое выражение, как

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}},}$

где n _— целые числа. Каждое рациональное число ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ можно представить как конечную цепную дробь, коэффициенты которой a _n можно определить, применив алгоритм Евклида к ( a, b ) .

Другие представления

• обыкновенная дробь : ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {8}{3}}}$
• смешанное числительное : ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2{\tfrac {2}{3}}}$
• повторение десятичной дроби с помощью винкулума : ${\displaystyle 2.{\overline {6}}}$
• повторение десятичной дроби с использованием круглых скобок : ${\displaystyle 2.(6)}$
• непрерывная дробь с использованием традиционной типографики: ${\displaystyle 2+{\tfrac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}}}}$
• непрерывная дробь в сокращенном обозначении: ${\displaystyle [2;1,2]}$
• Египетская фракция : ${\displaystyle 2+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}}$
• разложение по основным степеням : ${\displaystyle 2^{3}\times 3^{-1}}$
• обозначение цитаты : ${\displaystyle 3'6}$

Это разные способы представления одной и той же рациональной ценности.

Формальная конструкция

Диаграмма, показывающая представление эквивалентных классов пар целых чисел.

Рациональные числа могут быть построены как классы эквивалентности упорядоченных пар целых чисел . ^{[6] [14]}

Точнее, пусть ⁠ ⁠ ${\displaystyle (\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\}))}$ будет набором пар ( m, n ) целых чисел таких n ≠ 0 . Отношение эквивалентности определяется на этом множестве формулой

${\displaystyle (m_{1},n_{1})\sim (m_{2},n_{2})\iff m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$^{[6] [14]}

Сложение и умножение можно определить по следующим правилам:

${\displaystyle (m_{1},n_{1})+(m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2}),}$

${\displaystyle (m_{1},n_{1})\times (m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}m_{2},n_{1}n_{2}).}$^[6]

Это отношение эквивалентности является отношением конгруэнтности , что означает, что оно совместимо с определенными выше операциями сложения и умножения; набор рациональных чисел ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ определяется как фактормножество по этому отношению эквивалентности, ⁠ ⁠ ${\displaystyle (\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \backslash \{0\}))/\sim ,}$ снабжено сложением и умножением, вызванными вышеуказанными операциями. (Эта конструкция может быть осуществлена ​​с любой областью целочисленности и дает ее поле частных .) ^[6]

Класс эквивалентности пары ( m, n ) обозначается ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}.}$ Две пары ( m ₁ , n ₁ ) и ( m ₂ , n ₂ ) принадлежат одному и тому же классу эквивалентности (т.е. эквивалентны) тогда и только тогда, когда

${\displaystyle m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$

Это значит, что

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}={\frac {m_{2}}{n_{2}}}}$

тогда и только тогда, когда ^{[6] [14]}

${\displaystyle m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$

Каждый класс эквивалентности ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$ может быть представлен бесконечным числом пар, поскольку

${\displaystyle \cdots ={\frac {-2m}{-2n}}={\frac {-m}{-n}}={\frac {m}{n}}={\frac {2m}{2n}}=\cdots .}$

Каждый класс эквивалентности содержит уникальный канонический представительный элемент . Канонический представитель — это единственная пара ( m, n ) в классе эквивалентности такая, что m и n взаимно просты и n > 0 . Это называется представлением в низших терминах рационального числа.

Целые числа можно рассматривать как рациональные числа, отождествляющие целое число n с рациональным числом ⁠ ⁠. ${\displaystyle {\tfrac {n}{1}}.}$

Для рациональных чисел можно определить общий порядок , расширяющий естественный порядок целых чисел. Надо

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}\leq {\frac {m_{2}}{n_{2}}}}$

Если

${\displaystyle {\begin{aligned}&(n_{1}n_{2}>0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2})\\&\qquad {\text{or}}\\&(n_{1}n_{2}<0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}).\end{aligned}}}$

Характеристики

Множество ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ всех рациональных чисел вместе с показанными выше операциями сложения и умножения образует поле . ^[6]

⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ не имеет полевого автоморфизма, кроме единицы. (Полевой автоморфизм должен фиксировать 0 и 1; поскольку он должен фиксировать сумму и разность двух фиксированных элементов, он должен фиксировать каждое целое число; поскольку он должен фиксировать частное двух фиксированных элементов, он должен фиксировать каждое рациональное число и является отсюда и тождество.)

⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — простое поле , то есть поле, не имеющее других подполей, кроме самого себя. ^[15] Рациональные числа — это наименьшее поле с нулевой характеристикой . Каждое поле нулевой характеристики содержит единственное подполе, изоморфное ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

С порядком, определенным выше, ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ является упорядоченным полем ^{[14] , которое не имеет никаких подполей} , кроме самого себя, и является наименьшим упорядоченным полем в том смысле, что каждое упорядоченное поле содержит уникальное подполе, изоморфное ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — поле частных целых чисел. ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$^[16] Алгебраическое замыкание ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ , т . е . поле корней рациональных многочленов, — это поле алгебраических чисел .

Рациональные числа представляют собой плотно упорядоченное множество: между любыми двумя рациональными числами находится еще одно и, следовательно, бесконечно много других. ^[6] Например, для любых двух дробей таких, что

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$

(где положительные), имеем ${\displaystyle b,d}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}.}$

Любое полностью упорядоченное множество, которое счетно, плотно (в указанном выше смысле) и не имеет наименьшего или наибольшего элемента, по порядку изоморфно рациональным числам. ^[17]

Счетность

Иллюстрация счетности положительных рациональных чисел

Множество всех рациональных чисел счетно , как показано на рисунке справа. Поскольку рациональное число может быть выражено как отношение двух целых чисел, можно присвоить два целых числа любой точке квадратной решетки , как в декартовой системе координат , так что любая точка сетки соответствует рациональному числу. Однако этот метод демонстрирует некоторую избыточность, поскольку одному и тому же рациональному числу будут соответствовать несколько разных точек сетки; на представленном рисунке они выделены красным цветом. Очевидный пример можно увидеть в линии, идущей по диагонали в правый нижний угол; такие отношения всегда будут равны 1, поскольку любое ненулевое число, разделенное само на себя, всегда будет равно единице.

Можно сгенерировать все рациональные числа без такой избыточности: примеры включают дерево Калкина-Уилфа и дерево Штерна-Броко .

Поскольку множество всех рациональных чисел счетно, а множество всех действительных чисел (как и множество иррациональных чисел) несчетно, то множество рациональных чисел представляет собой нулевое множество , то есть почти все действительные числа иррациональны, в смысле меры Лебега .

Действительные числа и топологические свойства

Рациональные числа представляют собой плотное подмножество действительных чисел ; каждое действительное число имеет сколь угодно близкие к нему рациональные числа. ^[6] Связанное с этим свойство заключается в том, что рациональные числа — единственные числа с конечными разложениями в виде регулярных цепных дробей . ^[18]

В обычной топологии действительных чисел рациональные числа не являются ни открытым , ни закрытым множеством . ^[19]

В силу своего порядка рациональные числа несут топологию порядка . Рациональные числа, как подпространство действительных чисел, также имеют топологию подпространства . Рациональные числа образуют метрическое пространство , используя метрику абсолютной разности , и это дает третью топологию на ⁠ ⁠. Все три топологии совпадают и превращают рациональные числа в топологическое поле . Рациональные числа являются важным примером пространства, которое не является локально компактным . Рациональные числа топологически характеризуются как единственное счетное метризуемое пространство без изолированных точек . Пространство также полностью отключено . Рациональные числа не образуют полного метрического пространства , а действительные числа являются пополнением ⁠ ⁠ при указанной выше метрике . ^[14] ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

п-адические числа

Помимо упомянутой выше метрики абсолютного значения, существуют и другие метрики, которые превращают ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ в топологическое поле:

Пусть p — простое число и для любого ненулевого целого числа a пусть где p ⁿ — высшая степень числа p , делящая a . ${\displaystyle |a|_{p}=p_{-n},}$

Кроме того, установите Для любого рационального числа ⁠ ⁠ положим ${\displaystyle |0|_{p}=0.}$ ${\displaystyle {\frac {a}{b}},}$

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}.}$

Затем

${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}}$

определяет метрику на ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$^[20]

Метрическое пространство ⁠ ⁠ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,d_{p})}$ не является полным, и его пополнением является поле p -адических чисел ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$ Теорема Островского утверждает, что любое нетривиальное абсолютное значение рациональных чисел ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ эквивалентно либо обычному вещественному абсолютному значению, либо p - адическая абсолютная величина.

Смотрите также

• Диадический рациональный
• Плавающая запятая
• Фордовые круги
• Гауссово рациональное
• Наивная высота - высота рационального числа в наименьшем члене.
• Теорема Нивена
• Рациональный тип данных
• Божественные пропорции: от рациональной тригонометрии к универсальной геометрии

Рекомендации

1. Розен, Кеннет (2007). Дискретная математика и ее приложения (6-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
2. Девушка, Гарри (2009). Элементы чистой и прикладной математики (иллюстрированное изд.). Курьерская корпорация. п. 382. ИСБН 978-0-486-47186-0.Выдержка со страницы 382
3. Робинсон, Джулия (1996). Собрание сочинений Джулии Робинсон. Американское математическое соц. п. 104. ИСБН 978-0-8218-0575-6.Выдержка со страницы 104
4. «Рациональное число». Британская энциклопедия . Проверено 11 августа 2020 г.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Рациональное число». Вольфрам Математический мир . Проверено 11 августа 2020 г.
6. Биггс, Норман Л. (2002). Дискретная математика . Индия: Издательство Оксфордского университета. стр. 75–78. ISBN 978-0-19-871369-2.
7. Гилберт, Джимми; Линда, Гилберт (2005). Элементы современной алгебры (6-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс/Коул. стр. 243–244. ISBN 0-534-40264-Х.
8. Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 1989.Коэффициент входа , n. , смысл 2.а.
9. Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 1989.Вступление рациональное , а. (нареч.) и сущ. ¹ , смысл 5.а.
10. Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 1989.Вход иррационален , а. и н. , смысл 3.
11. Шор, Питер (9 мая 2017 г.). «Разумное происходит от соотношения или соотношение происходит от рационального». Обмен стеками . Проверено 19 марта 2021 г.
12. Кулман, Роберт (29 января 2016 г.). «Как математическое суеверие сводило на нет алгебру на протяжении более тысячи лет» . Проверено 20 марта 2021 г.
13. Крамер, Эдна (1983). Природа и развитие современной математики . Издательство Принстонского университета. п. 28.
14. «Дробь - Математическая энциклопедия». энциклопедияofmath.org . Проверено 17 августа 2021 г.
15. Сугаккай, Нихон (1993). Энциклопедический словарь математики, том 1. Лондон, Англия: MIT Press. п. 578. ИСБН 0-2625-9020-4.
16. Бурбаки, Н. (2003). Алгебра II: Главы 4–7 . Springer Science & Business Media. п. А.VII.5.
17. Гизе, Мартин; Шёнегге, Арно (декабрь 1995 г.). Любые два счетных плотно упорядоченных множества без концов изоморфны — формальное доказательство с помощью KIV (PDF) (Технический отчет) . Проверено 17 августа 2021 г.
18. Энтони Ваззана; Дэвид Гарт (2015). Введение в теорию чисел (2-е, исправленное изд.). ЦРК Пресс. п. 1. ISBN 978-1-4987-1752-6.Выдержка из страницы 1
19. Ричард А. Холмгрен (2012). Первый курс дискретных динамических систем (2-е, иллюстрированное изд.). Springer Science & Business Media. п. 26. ISBN 978-1-4419-8732-7.Выдержка со страницы 26
20. Вайсштейн, Эрик В. «p-адическое число». Вольфрам Математический мир . Проверено 17 августа 2021 г.

Примечания

Внешние ссылки

• «Рациональное число», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Рациональное число» из MathWorld – веб-ресурса Wolfram