Перпендикуляр

Соотношение между двумя линиями, которые встречаются под прямым углом (90 градусов)

Отрезок AB перпендикулярен отрезку CD, поскольку два угла, которые он создает (обозначены оранжевым и синим), составляют по 90 градусов. Отрезок AB можно назвать перпендикуляром из A к отрезку CD , используя «перпендикулярный» как существительное. Точка B называется основанием перпендикуляра из A к отрезку CD или просто основанием A на CD . ^[1]

В геометрии два геометрических объекта перпендикулярны , если их пересечение образует прямые углы ( углы шириной 90 градусов или π/2 радиан) в точке пересечения, называемой стопой . Условие перпендикулярности можно представить графически с помощью символа перпендикуляра , ⟂. Перпендикулярные пересечения могут происходить между двумя линиями (или двумя отрезками линий), между линией и плоскостью и между двумя плоскостями.

Перпендикулярность — это частный случай более общей математической концепции ортогональности ; перпендикулярность — это ортогональность классических геометрических объектов. Таким образом, в высшей математике слово «перпендикулярный» иногда используется для описания гораздо более сложных геометрических условий ортогональности, таких как между поверхностью и ее нормальным вектором .

Говорят, что линия перпендикулярна другой линии, если две линии пересекаются под прямым углом. ^[2] Явно, первая линия перпендикулярна второй линии, если (1) две линии встречаются; и (2) в точке пересечения прямой угол с одной стороны первой линии разрезается второй линией на два равных угла . Можно показать, что перпендикулярность симметрична , то есть если первая линия перпендикулярна второй линии, то вторая линия также перпендикулярна первой. По этой причине мы можем говорить о двух линиях как о перпендикулярных (друг другу), не указывая порядок. Отличный пример перпендикулярности можно увидеть в любом компасе, обратите внимание на стороны света: Север, Восток, Юг, Запад (NESW). Линия NS перпендикулярна линии WE, а углы NE, ES, SW и WN составляют 90° друг к другу.

Перпендикулярность легко распространяется на сегменты и лучи . Например, отрезок прямой перпендикулярен отрезку прямой , если при продолжении каждого из них в обоих направлениях с образованием бесконечной линии эти две полученные линии перпендикулярны в указанном выше смысле. В символах означает, что отрезок AB перпендикулярен отрезку CD. ^[3] ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}\perp {\overline {CD}}}$

Говорят, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой в плоскости, которую она пересекает. Это определение зависит от определения перпендикулярности между прямыми.

Две плоскости в пространстве называются перпендикулярными, если двугранный угол, под которым они пересекаются, является прямым углом.

Основание перпендикуляра

Слово « стопа» часто используется в связи с перпендикулярами. Это использование проиллюстрировано на верхней диаграмме выше и в ее подписи. Диаграмма может быть в любой ориентации. Стопа не обязательно находится внизу.

Точнее, пусть A — точка, а m — прямая. Если B — точка пересечения m и единственной прямой, проходящей через A и перпендикулярной m , то B называется основанием этого перпендикуляра, проходящего через A.

Построение перпендикуляра

Чтобы провести перпендикуляр к линии AB через точку P с помощью циркуля и линейки , выполните следующие действия (см. рисунок слева):

• Шаг 1 (красный): постройте окружность с центром в точке P, чтобы создать точки A' и B' на линии AB, которые равноудалены от P.
• Шаг 2 (зеленый): построить окружности с центрами в точках A' и B' и равным радиусом. Пусть Q и P будут точками пересечения этих двух окружностей.
• Шаг 3 (синий): соедините Q и P, чтобы построить требуемый перпендикуляр PQ.

Чтобы доказать, что PQ перпендикулярен AB, используйте теорему о конгруэнтности SSS для QPA' и QPB', чтобы заключить, что углы OPA' и OPB' равны. Затем используйте теорему о конгруэнтности SAS для треугольников OPA' и OPB', чтобы заключить, что углы POA и POB равны.

Чтобы построить перпендикуляр к линии g в точке P или через нее, используя теорему Фалеса , смотрите анимацию справа.

Теорема Пифагора может быть использована в качестве основы методов построения прямых углов. Например, путем подсчета звеньев можно сделать три куска цепи с длинами в соотношении 3:4:5. Их можно выложить так, чтобы получился треугольник, у которого будет прямой угол напротив его самой длинной стороны. Этот метод полезен для разметки садов и полей, где размеры большие, а большая точность не требуется. Цепи можно использовать многократно, когда это необходимо.

По отношению к параллельным линиям

Стрелки указывают на то, что линии a и b , пересекаемые поперечной линией c , параллельны.

Если две прямые ( a и b ) перпендикулярны третьей прямой ( c ), то все углы, образованные вдоль третьей прямой, являются прямыми. Следовательно, в евклидовой геометрии любые две прямые, которые обе перпендикулярны третьей прямой, параллельны друг другу из-за постулата параллельности . И наоборот, если одна прямая перпендикулярна второй прямой, то она также перпендикулярна любой прямой, параллельной этой второй прямой.

На рисунке справа все углы, закрашенные оранжевым, конгруэнтны друг другу, и все углы, закрашенные зеленым, конгруэнтны друг другу, поскольку вертикальные углы конгруэнтны, а накрест лежащие внутренние углы, образованные секущей параллельной линией, конгруэнтны. Поэтому, если линии a и b параллельны, любой из следующих выводов приводит ко всем остальным:

• Один из углов на диаграмме — прямой угол.
• Один из углов, закрашенных оранжевым цветом, равен одному из углов, закрашенных зеленым цветом.
• Прямая c перпендикулярна прямой a .
• Прямая c перпендикулярна прямой b .
• Все четыре угла равны.

При вычислении расстояний

В геометрии перпендикулярное расстояние между двумя объектами — это расстояние от одного до другого, измеренное вдоль линии , перпендикулярной одному или обоим объектам.

Расстояние от точки до прямой — это расстояние до ближайшей точки на этой прямой. То есть до точки, в которой отрезок от нее до данной точки перпендикулярен прямой.

Аналогично, расстояние от точки до кривой измеряется отрезком прямой, перпендикулярным касательной к кривой в ближайшей точке на кривой.

Расстояние от точки до плоскости измеряется как длина от точки вдоль отрезка, перпендикулярного плоскости, то есть перпендикулярного всем линиям на плоскости, проходящим через ближайшую к данной точке точку на плоскости.

Другие примеры включают:

• Точка на плоскости, ближайшая к началу координат , для перпендикулярного расстояния от начала координат до плоскости в трехмерном пространстве
• Ближайшее расстояние между скрещивающимися прямыми , для перпендикулярного расстояния между двумя непараллельными прямыми в трехмерном пространстве

Перпендикулярная регрессия подгоняет линию к точкам данных, минимизируя сумму квадратов перпендикулярных расстояний от точек данных до линии. Существуют и другие геометрические методы подгонки кривой, использующие перпендикулярное расстояние для измерения качества подгонки, как в методе наименьших квадратов .

Понятие перпендикулярного расстояния можно обобщить следующим образом:

• ортогональное расстояние между более абстрактными негеометрическими ортогональными объектами, как в линейной алгебре (например, анализ главных компонент );
• нормальное расстояние, включающее нормаль поверхности , между произвольной точкой и ее основанием на поверхности. Его можно использовать для подгонки поверхности и для определения смещенных поверхностей .

График функций

Две перпендикулярные прямые имеют наклоны m ₁ = Δ y ₁ /Δ x ₁ и m ₂ = Δ y ₂ /Δ x _{2 ,} удовлетворяющие соотношению m ₁ m ₂ = −1 .

В двумерной плоскости прямые углы могут быть образованы двумя пересекающимися прямыми, если произведение их наклонов равно −1. Таким образом, для двух линейных функций и графики функций будут перпендикулярны, если ${\displaystyle y_{1}(x)=m_{1}x+b_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}(x)=m_{2}x+b_{2}}$ ${\displaystyle m_{1}m_{2}=-1.}$

Скалярное произведение векторов также можно использовать для получения того же результата: Сначала сдвиньте координаты так, чтобы начало координат оказалось в месте пересечения линий. Затем определите два смещения вдоль каждой линии, для Теперь воспользуйтесь тем фактом, что скалярное произведение обращается в нуль для перпендикулярных векторов: ${\displaystyle {\vec {r}}_{j}}$ ${\displaystyle (j=1,2).}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{1}=x_{1}{\hat {x}}+y_{1}{\hat {y}}=x_{1}{\hat {x}}+m_{1}x_{1}{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{2}=x_{2}{\hat {x}}+y_{2}{\hat {y}}=x_{2}{\hat {x}}+m_{2}x_{2}{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2}=\left(1+m_{1}m_{2}\right)x_{1}x_{2}=0}$

${\displaystyle \therefore m_{1}m_{2}=-1}$(если только или не исчезнет.) ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Оба доказательства справедливы для горизонтальных и вертикальных линий в той мере, в которой мы можем позволить одному наклону быть и принять предел, что если один наклон стремится к нулю, другой стремится к бесконечности. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0.}$

В кругах и других кониках

Круги

Каждый диаметр окружности перпендикулярен касательной к этой окружности в точке пересечения диаметра с окружностью.

Отрезок прямой, проходящий через центр окружности и делящий хорду пополам , перпендикулярен хорде.

Если пересечение любых двух перпендикулярных хорд делит одну хорду на длины a и b , а другую — на длины c и d , то a ² + b ² + c ² + d ² равно квадрату диаметра. ^[4]

Сумма квадратов длин любых двух перпендикулярных хорд, пересекающихся в данной точке, такая же, как и сумма квадратов длин любых других двух перпендикулярных хорд, пересекающихся в той же точке, и определяется как 8 r ² – 4 p ² (где r – радиус окружности, а p – расстояние от центральной точки до точки пересечения). ^[5]

Теорема Фалеса утверждает, что две прямые, проходящие через одну и ту же точку окружности, но через противоположные концы диаметра, перпендикулярны. Это эквивалентно утверждению, что любой диаметр окружности стягивает прямой угол в любой точке окружности, за исключением двух концов диаметра.

Эллипсы

Большая и малая оси эллипса перпендикулярны друг другу и касательным линиям к эллипсу в точках пересечения осей с эллипсом.

Большая ось эллипса перпендикулярна директрисе и каждой прямой ширине бедра .

Параболы

В параболе ось симметрии перпендикулярна каждой из прямых линий, директрисе и касательной в точке, где ось пересекает параболу.

Из точки на касательной к вершине параболы другая касательная к параболе перпендикулярна линии, проходящей через эту точку и фокус параболы .

Ортоптическое свойство параболы заключается в том, что если две касательные к параболе перпендикулярны друг другу, то они пересекаются по директрисе. И наоборот, две касательные, пересекающиеся по директрисе, перпендикулярны. Это означает, что, если смотреть из любой точки на ее директрисе, любая парабола образует прямой угол.

Гиперболы

Поперечная ось гиперболы перпендикулярна сопряженной оси и каждой направляющей .

Произведение перпендикулярных расстояний от точки P на гиперболе или на сопряженной ей гиперболе до асимптот является константой, не зависящей от местоположения точки P.

Прямоугольная гипербола имеет асимптоты , перпендикулярные друг другу. Она имеет эксцентриситет, равный ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$

В многоугольниках

Треугольники

Катеты прямоугольного треугольника перпендикулярны друг другу.

Высоты треугольника перпендикулярны соответствующим основаниям . Перпендикулярные биссектрисы сторон также играют важную роль в геометрии треугольника.

Линия Эйлера равнобедренного треугольника перпендикулярна основанию треугольника.

Теорема Дро-Фарни о прямой касается свойства двух перпендикулярных прямых, пересекающихся в ортоцентре треугольника .

Теорема Харкорта касается взаимосвязи отрезков прямой, проходящих через вершину и перпендикулярных любой прямой, касательной к вписанной окружности треугольника .

Четырехугольники

В квадрате или другом прямоугольнике все пары смежных сторон перпендикулярны. Прямая трапеция — это трапеция , у которой две пары смежных сторон перпендикулярны.

Каждая из четырех высот четырехугольника является перпендикуляром к стороне, проходящим через середину противоположной стороны.

Ортодиагональный четырёхугольник — это четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны. К ним относятся квадрат , ромб и воздушный змей . По теореме Брахмагупты , в ортодиагональном четырёхугольнике, который также является вписанным , прямая, проходящая через середину одной стороны и через точку пересечения диагоналей, перпендикулярна противоположной стороне.

По теореме ван Обеля , если на сторонах четырехугольника снаружи построены квадраты, то отрезки прямых, соединяющие центры противоположных квадратов, перпендикулярны и равны по длине.

Линии в трех измерениях

До трех линий в трехмерном пространстве могут быть попарно перпендикулярны, как показано на примере осей x, y и z трехмерной декартовой системы координат .

Смотрите также

• Ортогональная проекция
• Тангенциальные и нормальные компоненты

Примечания

1. Кей (1969, стр. 114)
2. Кей (1969, стр. 91)
3. Кей (1969, стр. 91)
4. Посаментье и Салкинд, Сложные задачи по геометрии , Довер, 2-е издание, 1996: стр. 104–105, № 4–23.
5. College Mathematics Journal 29(4), сентябрь 1998 г., стр. 331, задача 635.

Ссылки

• Альтшиллер-Корт, Натан (1952) [1-е изд. 1925], College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble
• Кей, Дэвид С. (1969), College Geometry , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , LCCN  69-12075

Внешние ссылки

• Определение: перпендикуляр с интерактивной анимацией.
• Как построить перпендикуляр к прямой с помощью циркуля и линейки (анимированная демонстрация).
• Как построить перпендикуляр в конечной точке луча с помощью циркуля и линейки (анимированная демонстрация).