Пертурбативная квантовая хромодинамика

Применение методов теории возмущений к квантовой хромодинамике, изучение сильного взаимодействия

Пертурбативная квантовая хромодинамика (также пертурбативная КХД ) — это подраздел физики элементарных частиц, в котором теория сильных взаимодействий, квантовая хромодинамика (КХД), изучается с использованием того факта, что константа сильной связи мала при высоких энергиях или взаимодействиях на коротких расстояниях, что позволяет применять методы теории возмущений . В большинстве случаев делать проверяемые предсказания с помощью КХД чрезвычайно сложно из-за бесконечного числа возможных топологически неэквивалентных взаимодействий. На коротких расстояниях связь достаточно мала, чтобы это бесконечное число членов можно было точно аппроксимировать конечным числом членов. Хотя этот подход применим только при высоких энергиях, он привел к наиболее точным на сегодняшний день тестам КХД ^{[ требуется ссылка ]} . ${\displaystyle \alpha _{s}}$

Важным тестом пертурбативной КХД является измерение отношения скоростей образования и . Поскольку рассматривается только общая скорость образования, суммирование по всем адронам конечного состояния отменяет зависимость от конкретного типа адрона, и это отношение можно вычислить в пертурбативной КХД. ${\displaystyle e^{+}e^{-}\to {\text{hadrons}}}$ ${\displaystyle e^{+}e^{-}\to \mu ^{+}\mu ^{-}}$

Большинство процессов сильного взаимодействия не могут быть рассчитаны напрямую с помощью пертурбативной КХД, поскольку невозможно наблюдать свободные кварки и глюоны из-за ограничения цвета . Например, структура адронов имеет непертурбативную природу. Чтобы учесть это, физики ^{[ кто? ]} разработали теорему о факторизации КХД, которая разделяет сечение на две части: зависящее от процесса пертурбативно вычисляемое короткое партонное сечение и универсальные функции дальнего действия. Эти универсальные функции дальнего действия могут быть измерены с помощью глобальной подгонки к экспериментам и включают функции распределения партонов , функции фрагментации , многопартонные корреляционные функции, обобщенные распределения партонов , обобщенные амплитуды распределения и многие виды форм-факторов . Существует несколько коллабораций для каждого вида универсальных функций дальнего действия. Они стали важной частью современной физики элементарных частиц .

Математическая формулировка КХД

Квантовая хромодинамика формулируется в терминах плотности Лагранжа

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=-{\frac {1}{4}}{\text{tr}}(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu })+{\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m\right)\psi }$

Выражения в лагранжиане

Содержание материи

Содержанием материи лагранжиана являются спинорное поле и калибровочное поле , также известное как глюонное поле. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A_{\mu }}$

Спинорное поле имеет индексы спина, на которые действуют гамма-матрицы , а также индексы цвета, на которые действует ковариантная производная . Формально спинорное поле тогда является функцией пространства-времени, оцененной как тензорное произведение вектора спина и вектора цвета. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle \psi (x)}$

Квантовая хромодинамика является калибровочной теорией и поэтому имеет связанную калибровочную группу , которая является компактной группой Ли . Цветовой вектор является элементом некоторого пространства представления . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Калибровочное поле оценивается в алгебре Ли . Подобно спинорному полю, калибровочное поле также имеет пространственно-временной индекс , и поэтому оценивается как ковектор, тензоризированный с элементом . В теории Ли всегда можно найти базис такой, что . В дифференциальной геометрии называется связностью . ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle t^{a}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\text{tr}}(t^{a}t^{b})=\delta ^{ab}}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$

Диаграммы Фейнмана для пропагаторов и взаимодействий в КХД

Калибровочное поле не появляется явно в лагранжиане, но через кривизну, определяемую Это известно как тензор напряженности глюонного поля или геометрически как форма кривизны . Параметром является константа связи для КХД. ${\displaystyle F_{\mu \nu },}$ $${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+ig[A_{\mu },A_{\nu }].}$$ ${\displaystyle g}$

Раскрывая и используя нотацию Фейнмана с косой чертой , лагранжиан можно записать схематически в более элегантной форме ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{a})^{2}+{\bar {\psi }}\left(iD\!\!\!\!/-m\right)\psi }$

Калибровочно-фиксированный лагранжиан

Хотя это выражение математически элегантно, с явной инвариантностью к калибровочным преобразованиям, для пертурбативных вычислений необходимо зафиксировать калибровку. Процедура фиксации калибровки была разработана Фаддеевым и Поповым . Она требует введения духовых полей , которые оцениваются в После процедуры фиксации калибровки лагранжиан записывается ${\displaystyle c(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{a})^{2}-{\frac {1}{2\xi }}(\partial ^{\mu }A_{\mu })^{2}+{\bar {\psi }}\left(iD\!\!\!\!/-m\right)\psi -{\bar {c}}^{a}\partial ^{\mu }(D_{\mu }c)^{a}}$

Где - параметр фиксации калибровки. Выбор известен как калибровка Фейнмана . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi =1}$

После раскрытия кривизны и ковариантных производных правила Фейнмана для КХД могут быть выведены с помощью методов интеграла по траекториям .

Все диаграммы 1PI (взаимодействующие одной частицы) с одной петлей в КХД, которые вносят вклад в собственные энергии кварков или глюонов . Интеграл петли, соответствующий каждой диаграмме, можно найти с помощью правил Фейнмана. Затем интегралы оцениваются с помощью схемы регуляризации, такой как размерная регуляризация.

Перенормировка

Методы перенормировки калибровочных теорий и КХД были разработаны и реализованы 'т Хоофтом . Для небольшого числа типов частиц (аромат кварков) КХД имеет отрицательную бета-функцию и, следовательно, проявляет асимптотическую свободу .

Однопетлевая перенормировка

Демонстрация того, что КХД перенормируема в однопетлевом порядке, требует оценки петлевых интегралов , которые можно вывести из правил Фейнмана и оценить с помощью размерной регуляризации .

Внешние ссылки

• Факторизация жестких процессов в КХД

Ссылки

• Пескин, М. Э., Шредер, Д. В. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Westview Press.