Пифагорейская запятая

Небольшой интервал между музыкальными нотами

Пифагорейская запятая (531441:524288) на C

Пифагорейская запятая на C с использованием нотации Бена Джонстона . Нота, изображенная на нотном стане как более низкая (B ♯ +++ ), немного выше по тону (чем C ♮ ).

Пифагорейская комма ( ПК ) определяется в пифагорейском строе как разница между полутонами (A1 – m2) или интервал между энгармонически эквивалентными нотами (от D ♭ до C ♯ ). Уменьшенная секунда имеет ту же ширину, но противоположное направление (от до C ♯ до D ♭ ).

В музыкальной настройке пифагорейская комма (или дитоническая комма ^[a] ), названная в честь древнего математика и философа Пифагора , представляет собой небольшой интервал (или комму ), существующий в пифагорейской настройке между двумя энгармонически эквивалентными нотами, такими как C и B ♯ , или D ♭ и C ♯ . ^[1] Он равен отношению частот (1,5) ¹² ⁄ 2 ⁷ = 531441 ⁄ 524288 ≈ 1,01364, или около 23,46 центов , примерно четверть полутона ( между 75:74 и 74:73 ^[2] ). Комма, которую музыкальные темперации часто «темперируют», — это пифагорейская комма. ^[3]

Пифагорейскую комму можно также определить как разницу между пифагорейским апотомом и пифагорейской лиммой ^[4] (т. е. между хроматическим и диатоническим полутоном , как определено в пифагорейской настройке); разницу между 12 чистыми квинтами и семью октавами ; или разницу между тремя пифагорейскими дитонами и одной октавой. (Вот почему пифагорейскую комму также называют дитонической коммой .)

Уменьшенная секунда в пифагорейском строе определяется как разница между лиммой и апотомой. Она совпадает, таким образом, с противоположностью пифагорейской коммы и может рассматриваться как нисходящая пифагорейская комма (например, от C ♯ до D ♭ ), равная примерно −23,46 цента.

Вывод

Как описано во введении, пифагорейская запятая может быть получена несколькими способами:

• Разница между двумя энгармонически эквивалентными нотами в пифагорейской гамме, такими как C и B ♯ или D ♭ и C ♯ (см. ниже).
• Разница между пифагорейским апотомом и пифагорейской лиммой .
• Разница между 12 чистыми квинтами и семью октавами .
• Разница между тремя пифагорейскими дитонами ( большими терциями ) и одной октавой.

Чистая квинта имеет частотное отношение 3:2. Она используется в пифагорейской настройке вместе с октавой как мерка для определения, относительно данной начальной ноты, частоты любой другой ноты.

Апотома и лимма — это два вида полутонов, определенных в пифагорейском строе. А именно, апотома (около 113,69 центов, например от C до C ♯ ) — это хроматический полутон, или увеличенный унисон (A1), тогда как лимма (около 90,23 центов, например от C до D ♭ ) — это диатонический полутон, или малая секунда (m2).

Дитон (или большая терция ) — интервал, образованный двумя большими тонами . В пифагорейском строе большая тональность имеет размер около 203,9 центов (соотношение частот 9:8), таким образом пифагорейский дитон составляет около 407,8 центов.

Размер

Пифагорейская запятая показана как пробел (справа), который заставляет 12-конечную звезду не закрыться, эта звезда представляет пифагорейскую шкалу; каждая линия представляет собой чистую квинту. Этот пробел имеет центральный угол 7,038 градуса, что составляет 23,46% от 30 градусов.

Размер пифагорейской запятой, измеряемый в центах , составляет

${\displaystyle {\hbox{apotome}}-{\hbox{limma}}\approx 113.69-90.23\approx 23.46~{\hbox{cents}}\!}$

или точнее, в терминах частотных соотношений :

${\displaystyle {\frac {\hbox{apotome}}{\hbox{limma}}}={\frac {3^{7}/2^{11}}{2^{8}/3^{5}}}={\frac {3^{12}}{2^{19}}}={\frac {531441}{524288}}=1.0136432647705078125\!}$

Квинтовый круг и энгармоническое изменение

Пифагорейская комма как двенадцать точно настроенных чистых квинт в нотации Бена Джонстона

Пифагорейскую комму можно также рассматривать как несоответствие между 12 правильно настроенными чистыми квинтами (соотношение 3:2) и семью октавами (соотношение 2:1):

${\displaystyle {\frac {\hbox{twelve fifths}}{\hbox{seven octaves}}}=\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{12}\!\!{\Big /}\,2^{7}={\frac {3^{12}}{2^{19}}}={\frac {531441}{524288}}=1.0136432647705078125\!}$

В следующей таблице музыкальных гамм в квинтовом круге пифагорейская комма видна как небольшой интервал между, например, F ♯ и G ♭ . Обход квинтового круга только с интервалами приводит к кома-насосу пифагорейской коммы.

Гаммы 6 ♭ и 6 ♯ ^[i] не идентичны, хотя они и находятся на клавиатуре фортепиано , но гаммы ♭ на одну пифагорейскую запятую ниже. Игнорирование этой разницы приводит к энгармоническому изменению .

1. Гаммы 7 ♭ и 5 ♯ , соответственно 5 ♭ и 7 ♯ , отличаются таким же образом одной пифагорейской запятой. Гаммы с семью знаками альтерации используются редко, ^[5] поскольку энгармонические гаммы с пятью знаками альтерации считаются эквивалентными.

Этот интервал имеет серьезные последствия для различных схем настройки хроматической шкалы , потому что в западной музыке 12 чистых квинт и семь октав рассматриваются как один и тот же интервал. Равномерная темперация , сегодня самая распространенная система настройки на Западе, примирила это, сгладив каждую квинту на двенадцатую пифагорейской коммы (приблизительно 2 цента), таким образом создавая чистые октавы.

Другой способ выразить это заключается в том, что чистая квинта имеет соотношение частот (по сравнению с тоникой) 3:2 или 1,5 к 1, тогда как седьмой полутон (основанный на 12 равных логарифмических делениях октавы) равен седьмой степени двенадцатого корня из двух или 1,4983... к 1, что не совсем то же самое (разница около 0,1%). Возьмите чистую квинту в двенадцатой степени, затем вычтите семь октав, и вы получите пифагорейскую запятую (разница около 1,4%).

История

Первым, кто упомянул пропорцию коммы 531441:524288, был Евклид , который взял за основу целый тон пифагорейского строя с отношением 9:8, октаву с отношением 2:1 и число A = 262144. Он пришел к выводу, что повышение этого числа на шесть целых тонов дает значение G, которое больше, чем то, которое получается при повышении его на октаву (дважды A). Он дает G = 531441. ^[6] Необходимые вычисления гласят:

Расчет G:

${\displaystyle 262144\cdot \left(\textstyle {\frac {9}{8}}\right)^{6}=531441}$

Расчет двойного числа А:

${\displaystyle 262144\cdot \left(\textstyle {\frac {2}{1}}\right)^{1}=524288}$

Китайские математики знали о пифагорейской комме еще в 122 г. до н. э. (ее расчет подробно описан в Хуайнаньцзы ), а около 50 г. до н. э. Цин Фан обнаружил, что если бы цикл чистых квинт был продолжен за пределами 12 до 53, то разница между этим 53-м тоном и начальным тоном была бы намного меньше, чем у пифагорейской коммы. Этот гораздо меньший интервал позже был назван коммой Меркатора ( см.: история 53 равномерной темперации ).

В «Лидийской хроматической концепции тональной организации» Джорджа Рассела (1953) полушаг между лидийской тоникой и ♭ 2 в его измененных мажорных и минорных вспомогательных уменьшенных блюзовых гаммах теоретически основан на пифагорейской комме. ^[7]

Смотрите также

• запятая Холдриана
• Схизма

Примечания

1. не путать с диатонической запятой, более известной как синтоническая запятая , равная частотному соотношению 81:80, или около 21,51 цента. См.: Джонстон, Бен (2006). "Maximum Clarity" и другие сочинения о музыке , под редакцией Боба Гилмора . Урбана: Издательство Иллинойсского университета. ISBN  0-252-03098-2 .

Ссылки

1. Апель, Вилли (1969). Гарвардский словарь музыки , стр. 188. ISBN 978-0-674-37501-7 . "...разница между двумя полутонами пифагорейской шкалы..." 
2. Гинзбург, Джекутиэль (2003). Скрипта Математика , с. 287. ISBN 978-0-7661-3835-3 . 
3. Койн, Ричард (2010). Настройка места: социальные пространства и всепроникающие цифровые медиа , стр. 45. ISBN 978-0-262-01391-8 . 
4. Коттик, Эдвард Л. (1992). Руководство владельца клавесина , стр. 151. ISBN 0-8078-4388-1 . 
5. «Полный обзор композиций с семью знаками случайности», Ульрих Рейнхардт
6. Евклид : Katatome kanonos (лат. Sectio canonis ). Англ. перевод в: Andrew Barker (ред.): Greek Musical Writings. Vol. 2: Harmonic and Acoustic Theory , Кембридж, Массачусетс: Cambridge University Press, 2004, стр. 190–208, здесь: стр. 199.
7. Рассел, Джордж (2001) [1953]. Лидийская хроматическая концепция тональной организации Джорджа Рассела . Том первый: Искусство и наука тональной гравитации (Четвертое (второе издание, исправленное, 2008) изд.). Бруклин, Массачусетс: Concept Publishing Company. стр. 17, 57–59. ISBN 0-9703739-0-2 .