В алгебре пифагоровым полем называется поле , в котором каждая сумма двух квадратов является квадратом: эквивалентно, что оно имеет пифагоровое число, равное 1. Пифагоровое расширение поля — это расширение, полученное присоединением элемента для некоторого из . Таким образом, пифагоровое поле — это поле, замкнутое относительно взятия пифагоровых расширений. Для любого поля существует минимальное пифагоровое поле, содержащее его, единственное с точностью до изоморфизма , называемое его пифагоровым замыканием . [1] Гильбертово поле — это минимальное упорядоченное пифагоровое поле. [2]
Каждое евклидово поле ( упорядоченное поле, в котором все неотрицательные элементы являются квадратами) является упорядоченным пифагоровым полем, но обратное неверно. [3] Квадратично замкнутое поле является пифагоровым полем, но не наоборот ( является пифагоровым); однако формально не действительное пифагоровое поле является квадратично замкнутым. [4]
Кольцо Витта пифагорейского поля имеет порядок 2, если поле формально не является действительным , и не имеет кручения в противном случае. [1] Для поля существует точная последовательность, включающая кольца Витта
где — фундаментальный идеал кольца Витта из [5] , а — его подгруппа кручения (которая является просто нильрадикалом ). [6]
Следующие условия на поле F эквивалентны тому, что F является пифагорейским:
Пифагоровые поля могут быть использованы для построения моделей для некоторых аксиом Гильберта для геометрии (Iyanaga & Kawada 1980, 163 C). Координатная геометрия, заданная для пифагорейского поля, удовлетворяет многим аксиомам Гильберта, таким как аксиомы инцидентности, аксиомы конгруэнтности и аксиомы параллельности. Однако, в общем случае, эта геометрия не обязана удовлетворять всем аксиомам Гильберта, если только поле F не имеет дополнительных свойств: например, если поле также упорядочено, то геометрия будет удовлетворять аксиомам упорядочения Гильберта, а если поле также полно, то геометрия будет удовлетворять аксиоме полноты Гильберта.
Пифагорово замыкание неархимедова упорядоченного поля , такое как пифагорово замыкание поля рациональных функций от одной переменной над рациональными числами, может быть использовано для построения неархимедовых геометрий, которые удовлетворяют многим аксиомам Гильберта, но не его аксиоме полноты. [10] Ден использовал такое поле для построения двух плоскостей Дена , примеров нелегендровой геометрии и полуевклидовой геометрии соответственно, в которых существует много прямых, проходящих через точку, не пересекающих заданную прямую, но где сумма углов треугольника составляет по крайней мере π. [11]
Эта теорема утверждает, что если E / F — конечное расширение поля , а E — пифагорейское, то и F — пифагорейское . [12] Как следствие, ни одно алгебраическое числовое поле не является пифагорейским, поскольку все такие поля конечны над Q , которое не является пифагорейским. [13]
Суперпифагорейское поле F — это формально вещественное поле со свойством, что если S — подгруппа индекса 2 в F ∗ и не содержит −1, то S определяет упорядочение на F . Эквивалентное определение состоит в том, что F — формально вещественное поле, в котором множество квадратов образует веер . Суперпифагорейское поле обязательно является пифагорейским. [12]
Аналог теоремы Диллера–Дресса имеет место: если E / F — конечное расширение и E — суперпифагорово, то и F — суперпифагорово . [14] В противоположном направлении, если F — суперпифагорово, а E — формально вещественное поле, содержащее F и содержащееся в квадратичном замыкании F , то E — суперпифагорово. [15]
