Планиметр

Инструмент для измерения площади

Планиметр , также известный как платометр , — это измерительный прибор, используемый для определения площади произвольной двумерной фигуры.

Строительство

Существует несколько видов планиметров, но все они работают схожим образом. Точный способ их построения различается, при этом основными типами механических планиметров являются полярные, линейные и планиметры Притца или «топора». Швейцарский математик Якоб Амслер-Лаффон построил первый современный планиметр в 1854 году, а концепция была впервые предложена Иоганном Мартином Германом в 1818 году. ^[1] За знаменитым планиметром Амслера последовало множество разработок, включая электронные версии.

Различные типы планиметров

• 
  Полярный планиметр
• 
  Планиметр (1908), измеряющий указанную площадь путем обведения ее периметра
• 
  Амслер полярный планиметр
• 
  Линейный планиметр. Колеса позволяют измерять длинные площади без ограничений.
• 
  Три планиметра: цифровой, Притца (топорный) и Амслера (полярный)
• 
  Планиметр Притца с колесом слева

Тип Амслера (полярный) состоит из двухзвенной тяги. На конце одной тяги находится указатель, используемый для обводки границы измеряемой формы. Другой конец тяги свободно вращается на грузе, который удерживает его от перемещения. Рядом с соединением двух тяг находится измерительное колесо калиброванного диаметра со шкалой для отображения точного вращения и червячной передачей для вспомогательной шкалы счетчика оборотов. По мере обводки контура области это колесо катится по поверхности чертежа. Оператор устанавливает колесо, поворачивает счетчик на ноль, а затем обводит указателем периметр формы. Когда обводка завершена, шкалы на измерительном колесе показывают площадь формы.

Когда измерительное колесо планиметра движется перпендикулярно своей оси, оно катится, и это движение регистрируется. Когда измерительное колесо движется параллельно своей оси, колесо скользит без качения, поэтому это движение игнорируется. Это означает, что планиметр измеряет расстояние, которое проходит его измерительное колесо, спроецированное перпендикулярно оси вращения измерительного колеса. Площадь фигуры пропорциональна числу оборотов, на которые вращается измерительное колесо.

Полярный планиметр по своей конструкции ограничен измерением областей в пределах, определяемых его размером и геометрией. Однако линейный тип не имеет ограничений в одном измерении, поскольку он может катиться. Его колеса не должны проскальзывать, поскольку движение должно быть ограничено прямой линией.

Разработки планиметра позволяют установить положение первого момента площади ( центра масс ) и даже второго момента площади .

Различные типы планиметров

• 
  Линейный планиметр
• 
  Полярный планиметр

На рисунках показаны принципы линейного и полярного планиметра. Указатель M на одном конце планиметра следует контуру C измеряемой поверхности S. Для линейного планиметра движение «локтя» E ограничено осью y . Для полярного планиметра «локоть» соединен с рычагом, другой конец которого O находится в фиксированном положении. К рычагу ME присоединено измерительное колесо с осью вращения, параллельной ME. Движение рычага ME можно разложить на движение, перпендикулярное ME, заставляющее колесо вращаться, и движение, параллельное ME, заставляющее колесо скользить, не внося никакого вклада в его показания.

Принцип

Принцип действия линейного планиметра

Работа линейного планиметра может быть объяснена измерением площади прямоугольника ABCD (см. изображение). Двигаясь с указателем от A к B, рычаг EM движется через желтый параллелограмм, площадь которого равна PQ×EM. Эта площадь также равна площади параллелограмма A"ABB". Измерительное колесо измеряет расстояние PQ (перпендикулярно EM). Двигаясь от C к D, рычаг EM движется через зеленый параллелограмм, площадь которого равна площади прямоугольника D"DCC". Теперь измерительное колесо движется в противоположном направлении, вычитая это показание из предыдущего. Движения по BC и DA одинаковы, но противоположны, поэтому они отменяют друг друга, не оказывая никакого чистого влияния на показания колеса. Чистым результатом является измерение разницы желтой и зеленой областей, которая является площадью ABCD.

Математическое выведение

Работа линейного планиметра может быть обоснована путем применения теоремы Грина к компонентам векторного поля N, заданного формулой:

${\displaystyle \!\,N(x,y)=(b-y,x),}$

где b — координата y локтя E.

Это векторное поле перпендикулярно измерительному плечу ЭМ:

${\displaystyle {\overrightarrow {EM}}\cdot N=xN_{x}+(y-b)N_{y}=0}$

и имеет постоянный размер, равный длине измерительного плеча m :

${\displaystyle \!\,\|N\|={\sqrt {(b-y)^{2}+x^{2}}}=m}$

Затем:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}(N_{x}\,dx+N_{y}\,dy)=\iint _{S}\left({\frac {\partial N_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial N_{x}}{\partial y}}\right)\,dx\,dy\\[8pt]={}&\iint _{S}\left({\frac {\partial x}{\partial x}}-{\frac {\partial (b-y)}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{S}\,dx\,dy=A,\end{aligned}}}$

потому что:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}(y-b)={\frac {\partial }{\partial y}}{\sqrt {m^{2}-x^{2}}}=0,}$

Левая часть приведенного выше уравнения, равная площади A, заключенной в контур, пропорциональна расстоянию, измеренному измерительным колесом, с коэффициентом пропорциональности m , длиной измерительного рычага.

Обоснование приведенного выше вывода заключается в том, что линейный планиметр регистрирует только движение, перпендикулярное его измерительному рычагу, или когда

${\displaystyle N\cdot (dx,dy)=N_{x}dx+N_{y}dy}$не равен нулю. Когда эта величина интегрируется по замкнутой кривой C, теорема Грина и площадь следуют.

Полярные координаты

Связь с теоремой Грина можно понять с точки зрения интегрирования в полярных координатах : в полярных координатах площадь вычисляется с помощью интеграла , где интегрируемая форма является квадратичной по r, что означает, что скорость изменения площади по отношению к изменению угла изменяется квадратично с радиусом. ${\textstyle \int _{\theta }{\tfrac {1}{2}}(r(\theta ))^{2}\,d\theta ,}$

Для параметрического уравнения в полярных координатах, где и r , и θ изменяются как функции времени, это становится $${\displaystyle \int _{t}{\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}\,d(\theta (t))=\int _{t}{\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}\,{\dot {\theta }}(t)\,dt.}$$

Для полярного планиметра полный поворот колеса пропорционален, поскольку поворот пропорционален пройденному расстоянию, которое в любой момент времени пропорционально радиусу и изменению угла, как в окружности ( ). ${\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}$ ${\textstyle \int r\,d\theta =2\pi r}$

Последнее подынтегральное выражение можно распознать как производную предыдущего подынтегрального выражения (по r ), и оно показывает, что полярный планиметр вычисляет интеграл площади через производную , что отражено в теореме Грина, которая приравнивает линейный интеграл функции на (1-мерном) контуре к (2-мерному) интегралу производной. ${\textstyle r(t)\,{\dot {\theta }}(t)}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}{\dot {\theta }}(t)}$

Смотрите также

• Курвиметр
• Точечный планиметр
• Математический инструмент
• Интеграграф
• Формула шнурка

Ссылки

1. «Планиметры».

Источники

• Брайант, Джон; Сангвин, Крис (2007), «Глава 8: В погоне за вешалками», Насколько круглый ваш круг?: Где встречаются инженерия и математика , Princeton University Press, стр. 138–171, ISBN 978-0-691-13118-4
• Гаттердам, РВ (1981), «Планиметр как пример теоремы Грина», The American Mathematical Monthly , 88 (9): 701–704, doi :10.2307/2320679, JSTOR  2320679
• Ходжсон, Джон Л. (1 апреля 1929 г.), «Интеграция диаграмм расходомеров», Журнал научных приборов , 6 (4): 116–118, Bibcode : 1929JScI....6..116H, doi : 10.1088/0950-7671/6/4/302
• Хорсбург, Э.М. (1914), Празднование трехсотлетия Нейпира: Справочник выставки реликвий Нейпира и книг, инструментов и устройств для облегчения вычислений, Королевское общество Эдинбурга
• Дженнингс, Г. (1985), Современная геометрия и ее приложения , Springer
• Лоуэлл, LI (1954), «Комментарии к полярному планиметру», The American Mathematical Monthly , 61 (7): 467–469, doi :10.2307/2308082, JSTOR  2308082
• Уитли, Дж. Й. (1908), Полярный планиметр, Нью-Йорк: Keuffel & Esser, ISBN 9785878586351

Внешние ссылки

• Планиметр Hatchet ^{[ мертвая ссылка ]}
• П. Кункель: Уистлерэлли, Планиметр
• Планиметрическая тарелка Ларри
• Страница планиметра Вюрцбурга
• Страница планиметра Роберта Фута
• Компьютерная модель планиметра
• Объяснения Тани Лейз по планиметру и «Как вращается колесо планиметра»
• Сделать простой планиметр
• Фото: Географы с планиметрами (1940–1941)
• О. Книлл и Д. Винтер: Теорема Грина и планиметр