Орбита (динамика)

В математике , особенно при изучении динамических систем , орбита — это совокупность точек, связанных функцией эволюции динамической системы. Его можно понимать как подмножество фазового пространства , охватываемое траекторией динамической системы при определенном наборе начальных условий по мере развития системы. Поскольку траектория фазового пространства однозначно определяется для любого заданного набора координат фазового пространства, различные орбиты не могут пересекаться в фазовом пространстве, поэтому набор всех орбит динамической системы является разделом фазового пространства. Понимание свойств орбит с помощью топологических методов — одна из задач современной теории динамических систем.

Для динамических систем с дискретным временем орбиты представляют собой последовательности ; для реальных динамических систем орбиты представляют собой кривые ; а для голоморфных динамических систем орбиты представляют собой римановы поверхности .

Определение

Схема, показывающая периодическую орбиту системы масса-пружина в простом гармоническом движении . (Здесь оси скорости и положения поменялись местами по сравнению со стандартным соглашением, чтобы совместить две диаграммы)

Дана динамическая система ( T , M , Φ) с T группой , M набором и Φ функцией эволюции

${\displaystyle \Phi :U\to M}$где с ${\displaystyle U\subset T\times M}$ ${\displaystyle \Phi (0,x)=x}$

мы определяем

${\displaystyle I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\},}$

тогда набор

${\displaystyle \gamma _{x}:=\{\Phi (t,x):t\in I(x)\}\subset M}$

называется орбитой через x . Орбита, состоящая из одной точки, называется постоянной орбитой . Непостоянная орбита называется замкнутой или периодической , если существует такое , что ${\displaystyle t\neq 0}$ ${\displaystyle I(x)}$

${\displaystyle \Phi (t,x)=x}$.

Реальная динамическая система

Учитывая действительную динамическую систему ( R , M , Φ), I ( x ) является открытым интервалом в действительных числах , то есть . Для любого x из M ${\displaystyle I(x)=(t_{x}^{-},t_{x}^{+})}$

${\displaystyle \gamma _{x}^{+}:=\{\Phi (t,x):t\in (0,t_{x}^{+})\}}$

называется положительной полуорбитой через x и

${\displaystyle \gamma _{x}^{-}:=\{\Phi (t,x):t\in (t_{x}^{-},0)\}}$

называется отрицательной полуорбитой через x .

Дискретно-временная динамическая система

Для динамической системы с дискретным временем и неизменной во времени функцией эволюции : ${\displaystyle f}$

Передняя орбита x - это набор:

${\displaystyle \gamma _{x}^{+}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\geq 0\}}$

Если функция обратима, обратной орбитой x является множество:

${\displaystyle \gamma _{x}^{-}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\leq 0\}}$

и орбита x - это набор:

${\displaystyle \gamma _{x}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \gamma _{x}^{-}\cup \gamma _{x}^{+}}$

где :

• ${\displaystyle f}$это функция эволюции ${\displaystyle f:X\to X}$
• set — это динамическое пространство , ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle t}$- номер итерации, который является натуральным числом и ${\displaystyle t\in T}$
• ${\displaystyle x}$– начальное состояние системы и ${\displaystyle x\in X}$

Общая динамическая система

Для общей динамической системы, особенно в однородной динамике, когда имеется «хорошая» группа, действующая на вероятностное пространство сохраняющим меру способом, орбита будет называться периодической (или, что то же самое, замкнутой), если стабилизатор представляет собой решетку внутри . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G.x\subset X}$ ${\displaystyle Stab_{G}(x)}$ ${\displaystyle G}$

Кроме того, родственный термин — это ограниченная орбита, когда множество предкомпактно внутри . ${\displaystyle G.x}$ ${\displaystyle X}$

Классификация орбит может привести к интересным вопросам, связанным с другими математическими областями, например, гипотеза Оппенгейма (доказанная Маргулисом) и гипотеза Литтлвуда (частично доказанная Линденштраусом) касаются вопроса, каждая ли ограниченная орбита некоторого естественного действия на однородное пространство действительно является периодическим, это наблюдение принадлежит Рагунатану и, другими словами, Касселсу и Суиннертон-Дайеру. Такие вопросы тесно связаны с теоремами о глубокой классификации мер. ${\displaystyle SL_{3}(\mathbb {R} )\backslash SL_{3}(\mathbb {Z} )}$

Примечания

Часто бывает, что под функцией эволюции можно понимать состав элементов группы , и в этом случае теоретико-групповые орбиты действия группы — это то же самое, что и динамические орбиты.

Примеры

• 
  Критическая орбита дискретной динамической системы на основе комплексного квадратичного многочлена . Он имеет тенденцию слабо притягивать фиксированную точку с множителем = 0,99993612384259.
• 
  Критическая орбита стремится к слабо притягивающей точке. Видна спираль от притяжения фиксированной точки к отталкиванию фиксированной точки (z= 0), которая является местом с высокой плотностью кривых уровня.

• Орбита точки равновесия является постоянной орбитой.

Стабильность орбит

Основная классификация орбит:

• постоянные орбиты или фиксированные точки
• периодические орбиты
• непостоянные и непериодические орбиты

Орбита может не замкнуться двумя способами. Это может быть асимптотически периодическая орбита, если она сходится к периодической орбите. Такие орбиты не являются замкнутыми, поскольку они никогда по-настоящему не повторяются, но они становятся сколь угодно близкими к повторяющейся орбите. Орбита также может быть хаотичной . Эти орбиты подходят сколь угодно близко к начальной точке, но никогда не сходятся к периодической орбите. Они демонстрируют чувствительную зависимость от начальных условий , а это означает, что небольшие различия в начальном значении вызовут большие различия в будущих точках орбиты.

Есть и другие свойства орбит, которые позволяют проводить различные классификации. Орбита может быть гиперболической, если близлежащие точки приближаются или расходятся от орбиты экспоненциально быстро.

Смотрите также

• Блуждающий набор
• Метод фазового пространства
• Сюжет паутины или диаграмма Ферхюльста
• Периодические точки комплексных квадратичных отображений и множитель орбиты
• Орбитальный портрет

Рекомендации

• Хейл, Джек К .; Кочак, Хусейн (1991). «Периодические орбиты». Динамика и бифуркации . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 365–388. ISBN 0-387-97141-6.
• Каток, Анатоль; Хассельблатт, Борис (1996). Введение в современную теорию динамических систем . Кембридж. ISBN 0-521-57557-5.
• Перко, Лоуренс (2001). «Периодические орбиты, предельные циклы и сепаратрисные циклы». Дифференциальные уравнения и динамические системы (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 202–211. ISBN 0-387-95116-4.