Плотность (многогранник)

Число витков многогранника вокруг его центра симметрии

Граница правильной эннеаграммы {9/4} обвивается вокруг ее центра 4 раза, поэтому ее плотность равна 4.

В геометрии плотность звездчатого многогранника является обобщением понятия числа витков из двух измерений в более высокие измерения , представляя количество витков многогранника вокруг центра симметрии многогранника. Его можно определить, проведя луч от центра до бесконечности, проходя только через грани многогранника , а не через какие-либо элементы более низкой размерности, и подсчитав, через сколько граней он проходит. Для многогранников, у которых это количество не зависит от выбора луча и у которых центральная точка сама не находится ни на одной грани, плотность определяется этим количеством скрещенных граней.

Тот же расчет можно выполнить для любого выпуклого многогранника , даже без симметрии, выбрав любую точку внутри многогранника в качестве его центра. Для этих многогранников плотность будет равна 1. В более общем смысле, для любого несамопересекающегося (акоптического) многогранника плотность может быть вычислена как 1 с помощью аналогичного расчета, который выбирает луч из внутренней точки, который проходит только через грани многогранника, прибавляет единицу, когда этот луч проходит из внутренней части многогранника во внешнюю, и вычитает единицу, когда этот луч проходит из внешней во внутреннюю часть многогранника. Однако такое присвоение знаков пересечениям вообще не применимо к звездчатым многогранникам, поскольку они не имеют четко выраженной внутренней и внешней части.

Тесселяции с перекрывающимися гранями могут аналогичным образом определять плотность как количество покрытий граней в любой заданной точке. ^[1]

Полигоны

Плотность многоугольника — это количество раз, которое граница многоугольника оборачивается вокруг его центра. Для выпуклых многоугольников и, в более общем смысле, простых многоугольников (не самопересекающихся) плотность равна 1 по теореме Жордана о кривой .

Плотность многоугольника также можно назвать числом его поворота ; сумма углов поворота всех вершин, деленная на 360°. Это будет целое число для всех уникурсальных путей на плоскости.

Плотность составного многоугольника равна сумме плотностей составляющих его многоугольников.

Правильные звездчатые многоугольники

Для правильного звездчатого многоугольника { p / q } плотность равна q . Его можно определить визуально, посчитав минимальное количество пересечений ребер луча от центра до бесконечности.

Примеры

• 
  Многоугольник с одним пересечением, такой как этот равносторонний пятиугольник , имеет плотность 0.
• 
  Правильный пятиугольник {5} имеет плотность 1.
• 
  Изотоксальный тетрадекагон {(7/2) _α } имеет плотность 2, как и обычный {7/2}.
• 
  Гептаграмма {7/3} имеет плотность 3.
• 
  Изотоксальная гексаграмма (соединение) 2{(3/2) _α } имеет плотность 4.
• 
  Изотоксальная додекаграмма {(6/5) _α } имеет плотность 5, как и обычная {12/5}.

Многогранники

Многогранник и его двойник имеют одинаковую плотность.

Полная кривизна

Многогранник можно рассматривать как поверхность с гауссовой кривизной , сосредоточенной в вершинах и определяемой угловым дефектом . Плотность многогранника равна общей кривизне (суммированной по всем его вершинам), деленной на 4π. ^[2]

Например, куб имеет 8 вершин, в каждой из которых по 3 квадрата , поэтому дефект угла равен π/2. 8×π/2=4π. Значит, плотность куба равна 1.

Простые многогранники

Плотность многогранника с простыми гранями и фигурами вершин равна половине эйлеровой характеристики χ. Если его род g , его плотность равна 1 - g .

χ знак равно V - E + F знак равно 2 D знак равно 2(1- г ).

• 
  Плотность топологической сферы многогранника равна единице , как и у куба .
  v=8, е=12, f=6.
• 
  Плотность тороидального многогранника рода 1 равна нулю , как и у этой шестиугольной формы: v=24, e=48, f=24.
  
• 
  Плотность тороида рода 5 равна -4 , как у этого Stewart_toroid :
  v=72, e=168, f=88.

Правильные звездчатые многогранники

Артур Кэли использовал плотность как способ изменить формулу многогранника Эйлера ( V − E + F = 2) для работы с правильными звездчатыми многогранниками , где d _v — плотность вершинной фигуры , d _f грани и D многогранника. в целом:

${\displaystyle d_{v}v-e+d_{f}f=2D}$^[3]

Например, большой икосаэдр {3, 5/2} имеет 20 треугольных граней ( d _f  = 1), 30 ребер и 12 пентаграммных вершинных фигур ( d _v  = 2), что дает

2 · 12 - 30 + 1 · 20 знак равно 14 знак равно 2 Д .

Это подразумевает плотность 7. Немодифицированная формула многогранника Эйлера не работает для малого звездчатого додекаэдра {5/2, 5} и его двойственного большого додекаэдра {5, 5/2}, для которых V - E + F = -6.

Правильные звездчатые многогранники существуют в двух двойственных парах, причем каждая фигура имеет ту же плотность, что и ее двойник: одна пара (малый звездчатый додекаэдр — большой додекаэдр) имеет плотность 3, а другая ( большой звездчатый додекаэдр — большой икосаэдр) имеет плотность 7.

Общие звездчатые многогранники

Эдмунд Гесс обобщил формулу звездчатых многогранников с разными типами граней, некоторые из которых могут складываться назад по отношению к другим. Полученное значение плотности соответствует количеству раз, когда соответствующий сферический многогранник покрывает сферу.

${\displaystyle \sum _{i}d_{vi}v_{i}-e+\sum _{i}d_{fi}f_{i}=2D}$

Это позволило Кокстеру и соавт. определить плотности большинства однородных многогранников , имеющих один тип вершин и несколько типов граней. ^[4]

• 
  Плотность восьмиугольной призмы , завернутой дважды, равна 2 , {8/2}×{}, она показана здесь со смещенными вершинами для ясности.
  v=16, e=24
  f ₁ =8 {4}, f ₂ =2 {8/2}
  с d _f1 =1, d _f2 =2, d _v =1.
• 
  Плотность пентаграммной призмы {5/2}×{} равна 2 .
  v=10, e=15,
  f ₁ =5 {4}, f ₂ =2 {5/2},
  d _f1 =1, d _f2 =2.

Неориентируемые многогранники

Для полумногогранников , часть граней которых проходит через центр, плотность определить невозможно. Неориентируемые многогранники также не имеют четко определенных плотностей.

Правильные 4-многогранники

Большой звёздчатый 120-клеточный имеет плотность 191.

Существует 10 правильных звездчатых 4-многогранников (называемых 4-многогранниками Шлефли – Гесса ), которые имеют плотности между 4, 6, 20, 66, 76 и 191. Они бывают двойственными парами, за исключением самодуального. Цифры плотность-6 и плотность-66.

Примечания

1. Коксетер, HS M; Красота геометрии: двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN  99-35678, ISBN  0-486-40919-8 (206–214, Плотность правильных сот в гиперболическом пространстве)
2. Геометрия и воображение в Миннеаполисе 17. Угловой дефект многогранника; 20. Кривизна поверхностей; 21. Гауссова кривизна; 27.3.1 Кривизна многогранников стр. 32-51
3. Кромвель, П.; Многогранники, КУП хбк (1997), пбк. (1999). (Страница 258)
4. Коксетер, 1954 (Раздел 6, Плотность и Таблица 7, Однородные многогранники)

Рекомендации

• Коксетер, HSM; Правильные многогранники (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 
• Коксетер, HSM ; Лонге-Хиггинс, MS; Миллер, JCP (1954), «Равномерные многогранники», Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки , 246 (916): 401–450, номер документа : 10.1098/rsta.1954.0003, ISSN  0080-4614, JSTOR  91532, MR  0062446.
• Веннингер, Магнус Дж. (1979), «Введение в понятие многогранной плотности», Сферические модели , Архив CUP, стр. 132–134, ISBN 978-0-521-22279-2

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Плотность полигонов». Математический мир .