Площадь поверхности

Мера двумерной поверхности

Сфера радиуса r имеет площадь поверхности 4 πr ² .

Площадь поверхности (символ A ) твердого объекта является мерой общей площади , которую занимает поверхность объекта. ^[1] Математическое определение площади поверхности при наличии искривленных поверхностей значительно сложнее, чем определение длины дуги одномерных кривых или площади поверхности для многогранников (т. е. объектов с плоскими многоугольными гранями ), для которых площадь поверхности равна сумме площадей ее граней. Гладким поверхностям, таким как сфера , присваивается площадь поверхности с использованием их представления в виде параметрических поверхностей . Это определение площади поверхности основано на методах исчисления бесконечно малых и включает частные производные и двойное интегрирование .

Общее определение площади поверхности было предложено Анри Лебегом и Германом Минковским на рубеже двадцатого века. Их работа привела к развитию геометрической теории меры , которая изучает различные представления о площади поверхности объектов неправильной формы любого размера. Важным примером является состав поверхности по Минковскому.

Определение

Хотя площади многих простых поверхностей известны с древности, строгое математическое определение площади требует большой осторожности. Это должно обеспечить функцию

${\displaystyle S\mapsto A(S)}$

который присваивает положительное действительное число определенному классу поверхностей , удовлетворяющему нескольким естественным требованиям. Наиболее фундаментальным свойством площади поверхности является ее аддитивность : площадь целого представляет собой сумму площадей частей . Более строго, если поверхность S представляет собой объединение конечного числа частей S1 _, ..., Sr _, которые перекрываются только на своих границах, то

${\displaystyle A(S)=A(S_{1})+\cdots +A(S_{r}).}$

Площади поверхностей плоских многоугольных фигур должны соответствовать их геометрически заданной площади . Поскольку площадь поверхности — понятие геометрическое, то площади конгруэнтных поверхностей должны быть одинаковыми и площадь должна зависеть только от формы поверхности, но не от ее положения и ориентации в пространстве. Это означает, что площадь поверхности инвариантна относительно группы евклидовых движений . Эти свойства однозначно характеризуют площадь поверхности широкого класса геометрических поверхностей, называемых кусочно-гладкими . Такие поверхности состоят из конечного числа частей, которые можно представить в параметрической форме

${\displaystyle S_{D}:{\vec {r}}={\vec {r}}(u,v),\quad (u,v)\in D}$

с непрерывно дифференцируемой функцией. Площадь отдельного куска определяется по формуле ${\displaystyle {\vec {r}}.}$

${\displaystyle A(S_{D})=\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv.}$

Таким образом, площадь SD получается путем интегрирования длины вектора нормали к поверхности по соответствующей области D в параметрической uv- _{плоскости} . Затем площадь всей поверхности получается путем сложения площадей частей с использованием аддитивности площади поверхности. Основная формула может быть специализирована для разных классов поверхностей, давая, в частности, формулы для площадей графов z = f ( x , y ) и поверхностей вращения . ${\displaystyle {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}}$

Шварцевый фонарь с осевыми срезами и радиальными вершинами. Граница площади как и стремление к бесконечности не сходится. В частности, он не сходится к площади цилиндра. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Одна из тонкостей площади поверхности по сравнению с длиной дуги кривых заключается в том, что площадь поверхности нельзя определить просто как предел площадей многогранных фигур, аппроксимирующих данную гладкую поверхность. Герман Шварц продемонстрировал , что уже для цилиндра различный выбор аппроксимации плоских поверхностей может привести к разным предельным значениям площади; этот пример известен как фонарь Шварца . ^{[2] [3]}

Различные подходы к общему определению площади поверхности были разработаны в конце девятнадцатого и начале двадцатого века Анри Лебегом и Германом Минковским . Хотя для кусочно-гладких поверхностей существует уникальное естественное понятие площади поверхности, если поверхность очень неровная или шероховатая, то присвоить ей площадь вообще невозможно. Типичным примером является поверхность с плотно расположенными по всей поверхности шипами. Многие поверхности этого типа встречаются при изучении фракталов . В геометрической теории меры изучаются расширения понятия площади, которые частично выполняют его функцию и могут быть определены даже для очень сильно нерегулярных поверхностей . Конкретным примером такого расширения является содержание поверхности по Минковскому.

Общие формулы

Отношение площадей поверхности сферы и цилиндра одинакового радиуса и высоты

Конус, сфера и цилиндр радиуса r и высоты h .

Приведенные ниже формулы можно использовать, чтобы показать, что площади поверхности сферы и цилиндра одинакового радиуса и высоты находятся в соотношении 2: 3 следующим образом.

Пусть радиус равен r , а высота равна h (что для сферы составляет 2 r ).

$${\displaystyle {\begin{array}{rlll}{\text{Sphere surface area}}&=4\pi r^{2}&&=(2\pi r^{2})\times 2\\{\text{Cylinder surface area}}&=2\pi r(h+r)&=2\pi r(2r+r)&=(2\pi r^{2})\times 3\end{array}}}$$

Открытие этого соотношения приписывают Архимеду . ^[4]

По химии

Площадь поверхности частиц разного размера.

Площадь поверхности важна в химической кинетике . Увеличение площади поверхности вещества обычно увеличивает скорость химической реакции . Например, железо в мелкодисперсном порошке горит , а в твердых блоках оно достаточно стабильно, чтобы его можно было использовать в конструкциях. Для различных применений может потребоваться минимальная или максимальная площадь поверхности.

В биологии

Внутренняя мембрана митохондрии имеет большую площадь поверхности из-за складок, что обеспечивает более высокую скорость клеточного дыхания (электронная микрофотография ).

Площадь поверхности организма важна по нескольким причинам, например, для регуляции температуры тела и пищеварения . Животные используют свои зубы , чтобы измельчать пищу на более мелкие частицы, увеличивая площадь поверхности, доступную для переваривания. Эпителиальная ткань, выстилающая пищеварительный тракт, содержит микроворсинки , значительно увеличивающие площадь, доступную для всасывания. У слонов большие уши , что позволяет им регулировать температуру собственного тела. В других случаях животным придется минимизировать площадь поверхности; например, в холодную погоду люди складывают руки на груди, чтобы минимизировать потери тепла.

Отношение площади поверхности к объему (SA:V) клетки накладывает верхние ограничения на размер, поскольку объем увеличивается намного быстрее, чем площадь поверхности, тем самым ограничивая скорость, с которой вещества диффундируют изнутри через клеточную мембрану в интерстициальные пространства. или в другие ячейки. Действительно, если представить ячейку как идеализированную сферу радиуса r , то объем и площадь поверхности составят соответственно V = (4/3) πr ³ и SA = 4 πr ² . Таким образом, результирующее отношение площади поверхности к объему составляет 3/ r . Таким образом, если ячейка имеет радиус 1 мкм, соотношение SA:V равно 3; тогда как если радиус ячейки составляет 10 мкм, то соотношение SA:V становится 0,3. При радиусе ячейки 100 соотношение SA:V составляет 0,03. Таким образом, площадь поверхности резко падает с увеличением объема.

Смотрите также

• Длина периметра
• Проектируемая площадь
• Теория БЭТ , методика измерения удельной поверхности материалов.
• Сферическая площадь
• Поверхностный интеграл

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Площадь поверхности». Математический мир .
2. «Парадокс Шварца» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 4 марта 2016 года . Проверено 21 марта 2017 г.
3. «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 15 декабря 2011 года . Проверено 24 июля 2012 г.{{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )
4. Роррес, Крис. «Гробница Архимеда: Источники». Курантовский институт математических наук. Архивировано из оригинала 9 декабря 2006 года . Проверено 2 января 2007 г.

• Ю.Д. Бураго; В.А. Залгаллер; Л.Д. Кудрявцев (2001) [1994], «Площадь», Математическая энциклопедия , EMS Press

Внешние ссылки

• Видео площади поверхности в Thinkwell