Шварц фонарь

Околоцилиндрический многогранник большой площади.

Фонарь Шварца на выставке в Немецком техническом музее в Берлине.

В математике фонарь Шварца — многогранное приближение к цилиндру , используемое как патологический пример трудности определения площади гладкой (искривленной) поверхности как предела площадей многогранников. Оно образовано сложенными друг на друга кольцами равнобедренных треугольников , расположенных внутри каждого кольца по той же схеме, что и антипризма . Полученную форму можно сложить из бумаги, и она названа в честь математика Германа Шварца и за сходство с цилиндрическим бумажным фонарем . ^[1] Он также известен как ботинок Шварца , ^[2] Многогранник Шварца , ^[3] или китайский фонарь . ^[4]

Как показал Шварц, для того, чтобы площадь поверхности многогранника сходилась с площадью поверхности искривленной поверхности, недостаточно просто увеличить количество колец и количество равнобедренных треугольников на кольцо. В зависимости от отношения числа колец к числу треугольников в одном кольце площадь фонаря может сходиться к площади цилиндра, к пределу, сколь угодно большему площади цилиндра, или к бесконечности — иными словами. , площадь может расходиться. Фонарь Шварца демонстрирует, что выборка искривленной поверхности по близко расположенным точкам и соединение их маленькими треугольниками недостаточна для обеспечения точного приближения площади, в отличие от точного приближения длины дуг вписанными многоугольными цепочками .

Явление, заключающееся в том, что близкая выборка точек может привести к неточным приближениям площади, называется парадоксом Шварца . ^{[5] [6]} Фонарь Шварца является поучительным примером в исчислении и подчеркивает необходимость осторожности при выборе триангуляции для приложений в компьютерной графике и методе конечных элементов .

История и мотивация

Лестничный парадокс : многоугольные цепочки длины сходятся на расстоянии до диагонального отрезка длины , но не сходятся к одной и той же длине. ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Архимед аппроксимировал длину окружности длинами вписанных или описанных правильных многоугольников. ^{[7] [8]} В более общем смысле, длину любой гладкой или спрямляемой кривой можно определить как верхнюю границу длин вписанных в них многоугольных цепей . ^[1] Однако, чтобы это работало правильно, вершины ломаных цепей должны лежать на данной кривой, а не просто рядом с ней. В противном случае, в контрпримере , иногда известном как парадокс лестницы , многоугольные цепочки вертикальных и горизонтальных отрезков общей длины могут лежать сколь угодно близко к диагональному отрезку длины , сходясь по расстоянию к диагональному отрезку, но не сходясь к той же самой длине. Фонарь Шварца представляет собой контрпример для площади поверхности , а не для длины ^[9] и показывает, что для площади требование, чтобы вершины лежали на аппроксимируемой поверхности, недостаточно для обеспечения точного приближения. ^[1] ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Герман Шварц

Немецкий математик Герман Шварц (1843–1921) разработал свою конструкцию в конце 19 века ^[а] в качестве контрпримера к ошибочному определению в книге Дж. А. Серре 1868 года Cours de Calcul Differentiel et Integral ^[12] , в котором неверно утверждается, что:

Так что часть поверхности может закончиться по контуру ; ${\displaystyle C}$ nous nommerons aire de cette поверхность la limite vers laquelle, как правило, l'aire d'une поверхность полиэдраль inscrite formée de face triangulaires et terminee по контуру многоугольника ayant pour limite le контур . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$

Il faut démontrer que la limite существует и qu'elle est indépendante de la loi suivant laquelle décroissent les face de la Surface Polyedrale Inscrite. ${\displaystyle S}$

Пусть часть искривленной поверхности ограничена контуром ; площадь этой поверхности определим как предел, к которому стремится площадь вписанной многогранной поверхности, образованной треугольными гранями и ограниченной многоугольным контуром, пределом которого является контур . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$

Необходимо показать, что предел существует и что он не зависит от закона сжатия граней вписанной многогранной поверхности. ${\displaystyle S}$

Независимо от Шварца Джузеппе Пеано нашел тот же контрпример. ^[10] В то время Пеано был учеником Анджело Дженокки , который из общения со Шварцем уже знал о сложности определения площади поверхности. Дженокки сообщил об этом Чарльзу Эрмиту , который использовал в своем курсе ошибочное определение Серре. Эрмит попросил Шварца рассказать о деталях, пересмотрел его курс и опубликовал пример во втором издании своих конспектов лекций (1883 г.). ^[11] Оригинальная записка Шварца Эрмиту не была опубликована до второго издания собрания сочинений Шварца в 1890 году. ^{[13] [14]}

Поучительный пример ценности тщательных определений в исчислении , ^[5] фонарь Шварца также подчеркивает необходимость осторожности при выборе триангуляции для приложений в компьютерной графике и для метода конечных элементов для научного и инженерного моделирования. ^{[6] [15]} В компьютерной графике сцены часто описываются триангулированными поверхностями, и точная визуализация освещения этих поверхностей зависит от направления нормалей к поверхности . Неправильный выбор триангуляции, как в фонаре Шварца, может привести к образованию поверхности, напоминающей гармошку, нормали которой далеки от нормалей аппроксимируемой поверхности, а близко расположенные острые складки этой поверхности также могут вызвать проблемы с наложением спектров . ^[6]

Неспособность фонарей Шварца сойтись к площади цилиндра происходит только тогда, когда они включают в себя сильно тупые треугольники с углами, близкими к 180 °. В ограниченных классах фонарей Шварца, использующих углы, не превышающие 180 °, площадь сходится к той же площади, что и цилиндр, поскольку количество треугольников возрастает до бесконечности. Метод конечных элементов в своей самой базовой форме аппроксимирует гладкую функцию (часто решение задачи физического моделирования в науке или технике) кусочно-линейной функцией на триангуляции. Пример фонаря Шварца показывает, что даже для простых функций, таких как высота цилиндра над плоскостью, проходящей через его ось, и даже когда значения функции вычисляются точно в вершинах триангуляции, триангуляция с углами, близкими к 180°, может дать очень хорошие результаты. неточные результаты моделирования. Это мотивирует методы создания сеток , в которых все углы не превышают 180°, например, нетупые сетки . ^[15]

Строительство

Антипризма на основе правильного 17-угольника. Если исключить две 17-угольные грани, получится фонарь Шварца с параметрами и . Другие фонарики Шварца можно получить, складывая копии этой антипризмы. ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n=17}$ ${\displaystyle n=17}$ ${\displaystyle m}$

Дискретное многогранное приближение, рассмотренное Шварцем, может быть описано двумя параметрами: , числом колец треугольников в фонаре Шварца; и , половина числа треугольников в кольце. ^[16] [ ^b] Для одиночного кольца ( ) результирующая поверхность состоит из треугольных граней антипризмы порядка . При больших значениях фонарь Шварца формируется путем наложения этих антипризм. ^[6] Чтобы построить фонарь Шварца, который аппроксимирует заданный прямой круглый цилиндр , цилиндр разрезается параллельными плоскостями на конгруэнтные цилиндрические кольца. Эти кольца имеют круговые границы — два на концах данного цилиндра и еще больше там, где он был разрезан. В каждом круге вершины фонаря Шварца расположены на равном расстоянии друг от друга, образуя правильный многоугольник . Эти многоугольники поворачиваются на угол от одного круга к другому, так что каждое ребро правильного многоугольника и ближайшая вершина следующего круга образуют основание и вершину равнобедренного треугольника. Эти треугольники встречаются от края до края, образуя фонарь Шварца — многогранную поверхность , топологически эквивалентную цилиндру. ^[16] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle m-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi /n}$

Игнорируя верхнюю и нижнюю вершины, каждая вершина касается двух углов при вершине и четырех углов при основании конгруэнтных равнобедренных треугольников, как это было бы при мозаике плоскости треугольниками одинаковой формы. Как следствие, фонарь Шварца можно сложить из плоского листа бумаги, используя эту мозаику в качестве узора складок . ^[18] Этот рисунок складок был назван шаблоном Йошимуры , ^[19] в честь работы Ю. Йошимуры о шаблоне выпучивания Йошимуры цилиндрических поверхностей при осевом сжатии, который может быть похож по форме на фонарь Шварца. ^[20]

Область

Площадь фонаря Шварца для любого цилиндра и любого конкретного выбора параметров и можно вычислить простым применением тригонометрии . Цилиндр радиуса и длины имеет площадь . Для фонаря Шварца с параметрами и каждая полоса представляет собой более короткий цилиндр длины , аппроксимированный равнобедренными треугольниками . Длину основания каждого треугольника можно найти по формуле длины ребра правильного -угольника, а именно ^[16] Высоту каждого треугольника можно найти, применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному вершиной треугольник, середина основания и середина дуги круга, ограниченной концами основания. Две стороны этого прямоугольного треугольника представляют собой длину цилиндрической полосы и сагитту дуги, ^[c] давая формулу ^[16] Объединив формулу площади каждого треугольника, исходя из его основания и высоты, и общего числа треугольников, дает фонарю Шварца общую площадь ^[16] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle 2\pi r\ell }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ell /m}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle 2r\sin {\frac {\pi }{n}}.}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \ell /m}$ $${\displaystyle h^{2}=\left({\frac {\ell }{m}}\right)^{2}+\left(r\left(1-\cos {\frac {\pi }{n}}\right)\right)^{2}.}$$ ${\displaystyle 2mn}$ $${\displaystyle A(m,n)=2mn\left(r\sin {\frac {\pi }{n}}\right){\sqrt {\left({\frac {\ell }{m}}\right)^{2}+r^{2}\left(1-\cos {\frac {\pi }{n}}\right)^{2}}}.}$$

Пределы

Анимация сходимости Шварц-фонаря (или его отсутствия) для различных соотношений между двумя его параметрами

Фонари Шварца при больших значениях обоих параметров сходятся равномерно к цилиндру, который они аппроксимируют. ^[21] Однако, поскольку есть два свободных параметра и , предельная площадь фонаря Шварца, поскольку оба и становятся сколь угодно большими, может быть оценена в разных порядках с разными результатами. Если фиксировано в то время как растет, а затем полученный предел оценивается для произвольно большого выбора , можно получить ^[16] правильную площадь цилиндра. В этом случае внутренний предел уже сходится к одному и тому же значению, а внешний предел является лишним. Геометрически замена каждой цилиндрической полосы полосой очень острых равнобедренных треугольников точно аппроксимирует ее площадь. ^[16] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }A(m,n)=2\pi r\ell ,}$$

С другой стороны, обращение порядка пределов дает ^[16] В этом случае при фиксированном выборе , с ростом длины каждой цилиндрической полосы и ее сколь угодно малой длиной каждая соответствующая полоса равнобедренных треугольников становится почти плоской. Каждый треугольник приближается к треугольнику, образованному двумя последовательными ребрами правильного -угольника, а площадь всей полосы треугольников приближается к площади одного из этих плоских треугольников, умноженной на конечное число. Однако число этих полос становится сколь угодно большим; поскольку площадь фонаря растет примерно пропорционально , ​​она также становится сколь угодно большой. ^[16] $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }A(m,n)=\infty .}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ell /m}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Также возможно установить функциональную связь между и и исследовать предел, когда оба параметра одновременно увеличиваются, сохраняя это соотношение. Разный выбор этого отношения может привести к любому из двух описанных выше вариантов поведения: сходимости к правильной области или расхождению к бесконечности. Например, установка (для произвольной константы ) и принятие предела за большое приводит к сходимости к правильной области, а установка — к расхождению. Третий тип ограничивающего поведения достигается установкой . При таком выборе В данном случае параметризованная таким образом площадь фонаря Шварца сходится, но к большей величине, чем площадь цилиндра. Любую желаемую большую площадь можно получить, сделав соответствующий выбор константы . ^[16] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=cn}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=cn^{3}}$ ${\displaystyle m=cn^{2}}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A(cn^{2},n)=2\pi r{\sqrt {\ell ^{2}+{\frac {r^{2}\pi ^{4}c^{2}}{4}}}}.}$$ ${\displaystyle c}$

Смотрите также

• Калейдоцикл , цепочка тетраэдров, соединенных ребром к ребру, как выродившийся фонарь Шварца с ${\displaystyle n=2}$
• Феномен Рунге , еще один пример неудачи конвергенции

Примечания

1. Гандон и Перрин (2009) более точно относят время к началу 1890-х годов, ^[10] , но этому противоречит использование Эрмитом этого примера в 1883 году. Кеннеди (1980) датирует сообщение Шварца Генокки по этой теме 1880 годом, а Пеано повторное открытие в 1882 году. ^[11]
2. Другие источники могут использовать другие параметризации; например, Дубровский (1991) использует вместо для обозначения количества цилиндров. ^[17] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$
3. Стрела дуги окружности — это расстояние от середины дуги до середины ее хорды.

Рекомендации

1. Макаров, Борис; Подкорытов, Анатолий (2013). «Раздел 8.2.4». Реальный анализ: меры, интегралы и приложения . Университеттекст. Берлин: Springer-Verlag. стр. 415–416. дои : 10.1007/978-1-4471-5122-7. ISBN 978-1-4471-5121-0. МР  3089088.
2. Бернштейн, Д. (март – апрель 1991 г.). «Магазин игрушек: латинские треугольники и модная обувь» (PDF) . Quantum: журнал математики и науки . Том. 1, нет. 4. с. 64.
3. Уэллс, Дэвид (1991). «Многогранник Шварца». Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. стр. 225–226. ISBN 978-0-14-011813-1.
4. Бергер, Марсель (1987). Геометрия И. Университеттекст. Берлин: Springer-Verlag. стр. 263–264. дои : 10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. МР  2724360.
5. Атнеосен, Гейл Х. (март 1972 г.). «Парадокс Шварца: интересная проблема для первокурсника, изучающего математический анализ». Учитель математики . 65 (3): 281–284. дои : 10.5951/MT.65.3.0281. JSTOR  27958821.
6. Гласснер, А. (1997). «Опасности проблемной параметризации». IEEE Компьютерная графика и приложения . 17 (5): 78–83. дои : 10.1109/38.610212.
7. Трауб, Гилберт (1984). Развитие математического анализа длины кривой от Архимеда до Лебега (Докторская диссертация). Нью-Йоркский университет. п. 470. МР  2633321. ProQuest  303305072.
8. Броди, Скотт Э. (1980). «Аксиомы Архимеда для длины и площади дуги». Журнал «Математика» . 53 (1): 36–39. дои : 10.1080/0025570X.1980.11976824. JSTOR  2690029. MR  0560018.
9. Огилви, К. Стэнли (1962). «Примечание к странице 7». Математика завтрашнего дня: нерешенные проблемы для любителей . Издательство Оксфордского университета. стр. 155–161.
10. Гандон, Себастьян; Перрен, Иветт (2009). «Проблема определения l'aire d'une Surface Gauche: Peano et Lebesgue» (PDF) . Архив истории точных наук (на французском языке). 63 (6): 665–704. дои : 10.1007/s00407-009-0051-4. JSTOR  41134329. MR  2550748. S2CID  121535260.
11. Кеннеди, Хьюберт К. (1980). Пеано: Жизнь и творчество Джузеппе Пеано. Исследования по истории современной науки. Том. 4. Дордрехт и Бостон: D. Reidel Publishing Co., стр. 9–10. ISBN 90-277-1067-8. МР  0580947.
12. Серрет, JA (1868). Cours de Calcul différentiel et integral, Том второй: Calcul intégral (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. п. 296.
13. Шварц, HA (1890). «Sur une définition erronée de l'aire d'une Surface Courbe». Gesammelte Mathematische Abhandlungen von HA Schwarz (на французском языке). Верлаг фон Юлиуса Шпрингера. стр. 309–311.
14. Арчибальд, Томас (2002). «Шарль Эрмит и немецкая математика во Франции». В Паршалле, Карен Хангер ; Райс, Адриан К. (ред.). Безграничная математика: эволюция международного сообщества математических исследований, 1800–1945 гг. Материалы Международного симпозиума, состоявшегося в Университете Вирджинии, Шарлоттсвилл, Вирджиния, 27–29 мая 1999 г. История математики. Том. 23. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 123–137. МР  1907173.См. сноску 60, с. 135.
15. Берн, М.; Митчелл, С.; Руперт, Дж. (1995). «Нетупая триангуляция многоугольников линейного размера». Дискретная и вычислительная геометрия . 14 (4): 411–428. дои : 10.1007/BF02570715 . MR  1360945. S2CID  120526239.
16. Zames, Фрида (сентябрь 1977 г.). «Площадь поверхности и парадокс площади цилиндра». Двухлетний математический журнал колледжа . 8 (4): 207–211. дои : 10.2307/3026930. JSTOR  3026930.
17. Дубровский, Владимир (март – апрель 1991 г.). «В поисках определения площади поверхности» (PDF) . Quantum: журнал математики и науки . Том. 1, нет. 4. С. 6–9.
18. Лэмб, Эвелин (30 ноября 2013 г.). «Контрольные примеры в оригами». Корни единства. Научный американец .
19. Миура, Корё ; Тачи, Томохиро (2010). «Синтез жестко-складных цилиндрических многогранников» (PDF) . Симметрия: искусство и наука, 8-й Конгресс и выставка ИГИЛ . Гмюнд.
20. Ёсимура, Ёсимару (июль 1955 г.). О механизме выпучивания круглой цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Технический меморандум 1390. Национальный консультативный комитет по аэронавтике.
21. Полтье, Конрад (2005). «Вычислительные аспекты дискретных минимальных поверхностей» (PDF) . В Хоффмане, Дэвиде (ред.). Глобальная теория минимальных поверхностей: материалы летней школы Математического института Клэя, проходившей в Беркли, Калифорния, 25 июня – 27 июля 2001 г. Клэй Труды по математике. Том. 2. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 65–111. дои : 10.1016/j.cagd.2005.06.010. МР  2167256.

Внешние ссылки

• Богомольный, Александр. «Объяснение фонаря Шварца». Разрезать узел .
• Маркс, Жан-Пьер (17 сентября 2016 г.). «Шварц-фонарь». Математические контрпримеры .