Обозначение Шенфлиса (или Шенфлиса ) , названное в честь немецкого математика Артура Морица Шенфлиса , представляет собой обозначение, в основном используемое для определения групп точек в трех измерениях . Поскольку одной точечной группы вполне достаточно для описания симметрии молекулы , этого обозначения часто бывает достаточно, и оно обычно используется в спектроскопии . Однако в кристаллографии существует дополнительная трансляционная симметрия , а точечных групп недостаточно для описания полной симметрии кристаллов, поэтому вместо нее обычно используется полная пространственная группа . Именование полных пространственных групп обычно следует другому общепринятому соглашению — нотации Германа-Могена , также известной как международная нотация.
Хотя обозначение Шенфлиса без верхних индексов представляет собой чисто обозначение точечной группы, при желании можно добавить верхние индексы для дальнейшего указания отдельных пространственных групп. Однако для пространственных групп связь с основными элементами симметрии гораздо более ясна в обозначениях Германа – Могена, поэтому последнее обозначение обычно предпочтительнее для пространственных групп.
Элементы симметрии обозначаются i для центров инверсии, C для осей собственного вращения, σ для зеркальных плоскостей и S для осей неправильного вращения ( осей вращения-отражения ). За C и S обычно следует индекс (абстрактно обозначаемый n ), обозначающий возможный порядок вращения.
По соглашению, ось собственного вращения наибольшего порядка определяется как главная ось. Все остальные элементы симметрии описываются относительно него. Вертикальная зеркальная плоскость (содержащая главную ось) обозначается σ v ; горизонтальная плоскость зеркала (перпендикулярная главной оси) обозначается σ h .
В трех измерениях существует бесконечное количество точечных групп, но все их можно отнести к нескольким семействам.
Все группы, которые не содержат более одной оси более высокого порядка (порядка 3 и более), можно расположить, как показано в таблице ниже; символы красного цвета используются редко.
В кристаллографии из-за кристаллографической ограничительной теоремы n ограничено значениями 1, 2, 3, 4 или 6. Некристаллографические группы показаны серым фоном. D 4d и D 6d также запрещены, поскольку содержат несобственные вращения с n = 8 и 12 соответственно. 27 точечных групп в таблице плюс T , Td , Th , O и Oh составляют 32 кристаллографические точечные группы .
Группы с n = ∞ называются предельными группами или группами Кюри . Есть еще две предельные группы, не указанные в таблице: К (от Kugel , по-немецки шар, сфера), группа всех вращений в трехмерном пространстве; и K h , группа всех вращений и отражений. В математике и теоретической физике они известны соответственно как специальная ортогональная группа и ортогональная группа в трехмерном пространстве с символами SO (3) и O (3).
Пространственные группы с данной точечной группой нумеруются 1, 2, 3, ... (в том же порядке, что и их международный номер), и этот номер добавляется в качестве верхнего индекса к символу Шенфлиса для соответствующей точечной группы. Например, группы с номерами от 3 до 5, точечная группа которых равна C 2, имеют символы Шёнфлиса C.1
2, С2
2, С3
2.
В то время как в случае точечных групп символ Шенфлиса однозначно определяет элементы симметрии группы, дополнительный верхний индекс для пространственной группы не несет никакой информации о трансляционной симметрии пространственной группы (центрирование решетки, трансляционные компоненты осей и плоскостей), поэтому необходимо обращаться к специальным таблицам, содержащим информацию о соответствии между обозначениями Шёнфлиса и обозначениями Германа–Могена . Такая таблица приведена на странице «Список пространственных групп» .