Примерами поверхностей вращения, образованных прямой линией, являются цилиндрические и конические поверхности в зависимости от того, параллельна ли линия оси. Круг, вращающийся вокруг любого диаметра, образует сферу, большой круг которой он затем является , а если круг вращается вокруг оси, которая не пересекает внутреннюю часть круга, то он образует тор, который не пересекает сам себя ( кольцевой тор ).
Характеристики
Сечения поверхности вращения, образованные плоскостями, проходящими через ось, называются меридиональными сечениями . Любое меридиональное сечение можно считать образующей в плоскости, определяемой им и осью. [2]
Сечения поверхности вращения, образованные плоскостями, перпендикулярными оси, являются окружностями.
Некоторые особые случаи гиперболоидов (одно- или двухслойных) и эллиптических параболоидов являются поверхностями вращения. Их можно определить как квадратичные поверхности, все поперечные сечения которых , перпендикулярные оси, являются круговыми.
Формула площади
Если кривая описывается параметрическими функциями x ( t ) , y ( t ) , причем t изменяется в некотором интервале [ a , b ] , а осью вращения является ось y , то площадь поверхности A y задается интегралом при
условии, что x ( t ) никогда не бывает отрицательной между конечными точками a и b . Эта формула является эквивалентом исчисления теоремы Паппуса о центроиде . [3] Величина
исходит из теоремы Пифагора и представляет собой малый сегмент дуги кривой, как в формуле длины дуги . Величина 2π x ( t ) является путем (центроидом) этого малого сегмента, как того требует теорема Паппуса.
Аналогично, когда осью вращения является ось x и при условии, что y ( t ) никогда не бывает отрицательным, площадь определяется по формуле [4]
Если непрерывная кривая описывается функцией y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b , то интеграл становится
для вращения вокруг оси x и
для вращения вокруг оси y (при условии a ≥ 0 ). Они вытекают из приведенной выше формулы. [5]
Это также может быть получено из многомерной интеграции. Если плоская кривая задана как то ее соответствующая поверхность вращения при вращении вокруг оси x имеет декартовы координаты, заданные как с . Тогда площадь поверхности задается интегралом поверхности
Вычисление частных производных дает
и вычисление перекрестного произведения дает , где использовалось
тригонометрическое тождество . С этим перекрестным произведением мы получаем,
где снова использовалось то же самое тригонометрическое тождество. Вывод для поверхности, полученной вращением вокруг оси y, аналогичен.
Например, сферическая поверхность с единичным радиусом образуется кривой y ( t ) = sin( t ) , x ( t ) = cos( t ) , когда t изменяется в диапазоне [0,π] . Поэтому ее площадь равна
Для случая сферической кривой с радиусом r , y ( x ) = √ r 2 − x 2 , вращающейся вокруг оси x
Поверхность вращения, заданная вращением кривой, описанной вокруг оси x, может быть проще всего описана с помощью . Это дает параметризацию в терминах и как . Если вместо этого мы вращаем кривую вокруг оси y, то кривая описывается с помощью , что дает выражение в терминах параметров и .
Если x и y определены через параметр , то мы получаем параметризацию в терминах и . Если и являются функциями , то поверхность вращения, полученная вращением кривой вокруг оси x, описывается , а поверхность вращения, полученная вращением кривой вокруг оси y, описывается .
Геодезические
Меридианы всегда являются геодезическими на поверхности вращения. Другие геодезические управляются соотношением Клеро . [8]
Тороиды
Поверхность вращения с отверстием, в котором ось вращения не пересекает поверхность, называется тороидом. [9] Например, если прямоугольник вращается вокруг оси, параллельной одному из его краев, то получается полое кольцо квадратного сечения. Если вращаемая фигура представляет собой круг , то объект называется тором .