stringtranslate.com

Поверхность вращения

Часть кривой x = 2 + cos( z ), повернутая вокруг оси z
Тор как квадрат вращается вокруг оси, параллельной одной из его диагоналей .

Поверхность вращения — это поверхность в евклидовом пространстве , образованная вращением кривой ( образующей ) на один полный оборот вокруг оси вращения (обычно не пересекающей образующую, за исключением ее конечных точек). [1] Объем, ограниченный поверхностью, образованной этим вращением, является телом вращения .

Примерами поверхностей вращения, образованных прямой линией, являются цилиндрические и конические поверхности в зависимости от того, параллельна ли линия оси. Круг, вращающийся вокруг любого диаметра, образует сферу, большой круг которой он затем является , а если круг вращается вокруг оси, которая не пересекает внутреннюю часть круга, то он образует тор, который не пересекает сам себя ( кольцевой тор ).

Характеристики

Сечения поверхности вращения, образованные плоскостями, проходящими через ось, называются меридиональными сечениями . Любое меридиональное сечение можно считать образующей в плоскости, определяемой им и осью. [2]

Сечения поверхности вращения, образованные плоскостями, перпендикулярными оси, являются окружностями.

Некоторые особые случаи гиперболоидов (одно- или двухслойных) и эллиптических параболоидов являются поверхностями вращения. Их можно определить как квадратичные поверхности, все поперечные сечения которых , перпендикулярные оси, являются круговыми.

Формула площади

Если кривая описывается параметрическими функциями x ( t ) , y ( t ) , причем t изменяется в некотором интервале [ a , b ] , а осью вращения является ось y , то площадь поверхности A y задается интегралом при условии, что x ( t ) никогда не бывает отрицательной между конечными точками a и b . Эта формула является эквивалентом исчисления теоремы Паппуса о центроиде . [3] Величина исходит из теоремы Пифагора и представляет собой малый сегмент дуги кривой, как в формуле длины дуги . Величина x ( t ) является путем (центроидом) этого малого сегмента, как того требует теорема Паппуса.

Аналогично, когда осью вращения является ось x и при условии, что y ( t ) никогда не бывает отрицательным, площадь определяется по формуле [4]

Если непрерывная кривая описывается функцией y = f ( x ) , axb , то интеграл становится для вращения вокруг оси x и для вращения вокруг оси y (при условии a ≥ 0 ). Они вытекают из приведенной выше формулы. [5]

Это также может быть получено из многомерной интеграции. Если плоская кривая задана как то ее соответствующая поверхность вращения при вращении вокруг оси x имеет декартовы координаты, заданные как с . Тогда площадь поверхности задается интегралом поверхности

Вычисление частных производных дает и вычисление перекрестного произведения дает , где использовалось тригонометрическое тождество . С этим перекрестным произведением мы получаем, где снова использовалось то же самое тригонометрическое тождество. Вывод для поверхности, полученной вращением вокруг оси y, аналогичен.

Например, сферическая поверхность с единичным радиусом образуется кривой y ( t ) = sin( t ) , x ( t ) = cos( t ) , когда t изменяется в диапазоне [0,π] . Поэтому ее площадь равна

Для случая сферической кривой с радиусом r , y ( x ) = r 2x 2 , вращающейся вокруг оси x

Минимальная поверхность вращения — это поверхность вращения кривой между двумя заданными точками, которая минимизирует площадь поверхности . [6] Основная проблема в вариационном исчислении — нахождение кривой между двумя точками, которая создает эту минимальную поверхность вращения. [6]

Существует только две минимальные поверхности вращения ( поверхности вращения , которые также являются минимальными поверхностями): плоскость и катеноид . [7]

Координатные выражения

Поверхность вращения, заданная вращением кривой, описанной вокруг оси x, может быть проще всего описана с помощью . Это дает параметризацию в терминах и как . Если вместо этого мы вращаем кривую вокруг оси y, то кривая описывается с помощью , что дает выражение в терминах параметров и .

Если x и y определены через параметр , то мы получаем параметризацию в терминах и . Если и являются функциями , то поверхность вращения, полученная вращением кривой вокруг оси x, описывается , а поверхность вращения, полученная вращением кривой вокруг оси y, описывается .

Геодезические

Меридианы всегда являются геодезическими на поверхности вращения. Другие геодезические управляются соотношением Клеро . [8]

Тороиды

Тороид, созданный из квадрата

Поверхность вращения с отверстием, в котором ось вращения не пересекает поверхность, называется тороидом. [9] Например, если прямоугольник вращается вокруг оси, параллельной одному из его краев, то получается полое кольцо квадратного сечения. Если вращаемая фигура представляет собой круг , то объект называется тором .

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Миддлмисс; Маркс; Смарт. "15-4. Поверхности вращения". Аналитическая геометрия (3-е изд.). С. 378. LCCN  68015472.
  2. ^ Уилсон, WA; Трейси, JI (1925), Аналитическая геометрия (пересмотренное издание), DC Heath and Co., стр. 227
  3. ^ Томас, Джордж Б. «6.7: Площадь поверхности вращения; 6.11: Теоремы Паппуса». Исчисление (3-е изд.). С. 206–209, 217–219. LCCN  69016407.
  4. ^ Сингх, Р. Р. (1993). Инженерная математика (6-е изд.). Tata McGraw-Hill. стр. 6.90. ISBN 0-07-014615-2.
  5. ^ Своковски, Эрл В. (1983). Исчисление с аналитической геометрией (Альтернативное издание). Prindle, Weber & Schmidt. стр. 617. ISBN 0-87150-341-7.
  6. ^ ab Weisstein, Eric W. "Минимальная поверхность вращения". MathWorld .
  7. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Катеноид». MathWorld .
  8. ^ Пресли, Эндрю. «Глава 9 — Геодезические». Элементарная дифференциальная геометрия , 2-е изд., Springer, Лондон, 2012, стр. 227–230.
  9. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Тороид». MathWorld .

Внешние ссылки