Поверхность Ферми

Абстрактная граница в физике конденсированного состояния

В физике конденсированного состояния поверхность Ферми — это поверхность в обратном пространстве , которая разделяет занятые и незанятые электронные состояния при нулевой температуре. ^[1] Форма поверхности Ферми выводится из периодичности и симметрии кристаллической решетки и из занятости электронных энергетических зон . Существование поверхности Ферми является прямым следствием принципа исключения Паули , который допускает максимум один электрон на квантовое состояние. ^{[2] [3] [4] [5]} Изучение поверхностей Ферми материалов называется фермиологией .

Теория

Рис. 1: Поверхность Ферми и плотность электронного импульса меди в схеме восстановленной зоны, измеренные с помощью 2D ACAR . ^[6]

Рассмотрим идеальный ферми-газ частиц без спина . Согласно статистике Ферми-Дирака , среднее число заполнения состояния с энергией определяется как ^[7] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \epsilon _{i}}$

${\displaystyle \langle n_{i}\rangle ={\frac {1}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}},}$

где

• ${\displaystyle \left\langle n_{i}\right\rangle }$это среднее число занятости th состояния ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \epsilon _{i}}$это кинетическая энергия го состояния ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \mu }$— химический потенциал (при нулевой температуре это максимальная кинетическая энергия, которую может иметь частица, т.е. энергия Ферми ) ${\displaystyle E_{\rm {F}}}$
• ${\displaystyle T}$это абсолютная температура
• ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$постоянная Больцмана

Предположим, мы рассматриваем предел . Тогда мы имеем, ${\displaystyle T\to 0}$

${\displaystyle \left\langle n_{i}\right\rangle \to {\begin{cases}1&(\epsilon _{i}<\mu )\\0&(\epsilon _{i}>\mu )\end{cases}}.}$

Согласно принципу исключения Паули , никакие два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии. Кроме того, при нулевой температуре энтальпия электронов должна быть минимальной, что означает, что они не могут изменить состояние. Если бы для частицы в каком-то состоянии существовало незанятое нижнее состояние, которое она могла бы занять, то разность энергий между этими состояниями дала бы электрону дополнительную энтальпию. Следовательно, энтальпия электрона не была бы минимальной. Следовательно, при нулевой температуре все самые низкие энергетические состояния должны быть насыщены. Для большого ансамбля уровень Ферми будет приблизительно равен химическому потенциалу системы, и, следовательно, каждое состояние ниже этой энергии должно быть занято. Таким образом, частицы заполняют все энергетические уровни ниже уровня Ферми при абсолютном нуле, что эквивалентно утверждению, что это энергетический уровень, ниже которого находится ровно состояний. ${\displaystyle N}$

В импульсном пространстве эти частицы заполняют шар радиусом , поверхность которого называется поверхностью Ферми. ^[8] ${\displaystyle k_{\rm {F}}}$

Линейный отклик металла на электрический, магнитный или тепловой градиент определяется формой поверхности Ферми, поскольку токи возникают из-за изменений в заполнении состояний вблизи энергии Ферми. В обратном пространстве поверхность Ферми идеального ферми-газа представляет собой сферу радиусом

${\displaystyle k_{\rm {F}}={\frac {p_{\rm {F}}}{\hbar }}={\frac {\sqrt {2mE_{\rm {F}}}}{\hbar }}}$,

определяется концентрацией валентных электронов, где — приведенная постоянная Планка . Материал, уровень Ферми которого попадает в щель между зонами, является изолятором или полупроводником в зависимости от размера запрещенной зоны . Когда уровень Ферми материала попадает в запрещенную зону, поверхность Ферми отсутствует. ${\displaystyle \hbar }$

Рис. 2: Вид поверхности Ферми графита в угловых точках H зоны Бриллюэна, демонстрирующий тригональную симметрию электронных и дырочных карманов.

Материалы со сложной кристаллической структурой могут иметь довольно замысловатые поверхности Ферми. Рисунок 2 иллюстрирует анизотропную поверхность Ферми графита, которая имеет как электронные, так и дырочные карманы на своей поверхности Ферми из-за множественных зон, пересекающих энергию Ферми вдоль направления. Часто в металле радиус поверхности Ферми больше размера первой зоны Бриллюэна , что приводит к тому, что часть поверхности Ферми лежит во второй (или более высоких) зонах. Как и в случае с самой зонной структурой, поверхность Ферми может быть отображена в схеме расширенных зон, где разрешено иметь произвольно большие значения, или в схеме сокращенных зон, где волновые векторы показаны по модулю (в одномерном случае), где a — постоянная решетки . В трехмерном случае схема сокращенных зон означает, что из любого волнового вектора вычитается соответствующее количество векторов обратной решетки , что новое теперь ближе к началу координат в -пространстве, чем к любому . Твердые тела с большой плотностью состояний на уровне Ферми становятся нестабильными при низких температурах и имеют тенденцию образовывать основные состояния , где энергия конденсации исходит из открытия щели на поверхности Ферми. Примерами таких основных состояний являются сверхпроводники , ферромагнетики , искажения Яна-Теллера и волны спиновой плотности . ${\displaystyle \mathbf {k} _{z}}$ ${\displaystyle k_{\rm {F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\textstyle {\frac {2\pi }{a}}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Заполняемость состояний фермионов, таких как электроны, регулируется статистикой Ферми–Дирака , поэтому при конечных температурах поверхность Ферми соответственно расширяется. В принципе, все популяции энергетических уровней фермионов связаны поверхностью Ферми, хотя этот термин обычно не используется за пределами физики конденсированного состояния.

Экспериментальное определение

Электронные поверхности Ферми были измерены посредством наблюдения колебаний транспортных свойств в магнитных полях , например, эффект де Гааза-ван Альфена (dHvA) и эффект Шубникова-де Гааза (SdH). Первый представляет собой колебание магнитной восприимчивости , а второй - удельного сопротивления . Колебания являются периодическими по сравнению и происходят из-за квантования уровней энергии в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, явление, впервые предсказанное Львом Ландау . Новые состояния называются уровнями Ландау и разделены энергией, где называется циклотронной частотой , - заряд электрона, - эффективная масса электрона , - скорость света . В известном результате Ларс Онзагер доказал, что период колебаний связан с поперечным сечением поверхности Ферми (обычно задается в Å −2 ), перпендикулярным направлению магнитного поля , уравнением ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 1/H}$ ${\displaystyle \hbar \omega _{\rm {c}}}$ ${\displaystyle \omega _{\rm {c}}=eH/m^{*}c}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m^{*}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \Delta H}$ ${\displaystyle A_{\perp }}$

${\displaystyle A_{\perp }={\frac {2\pi e\Delta H}{\hbar c}}}$.

Таким образом, определение периодов колебаний для различных направлений приложенного поля позволяет картировать поверхность Ферми. Наблюдение осцилляций dHvA и SdH требует достаточно больших магнитных полей, чтобы окружность циклотронной орбиты была меньше длины свободного пробега . Поэтому эксперименты dHvA и SdH обычно проводятся на установках с сильными полями, таких как High Field Magnet Laboratory в Нидерландах, Grenoble High Magnetic Field Laboratory во Франции, Tsukuba Magnet Laboratory в Японии или National High Magnetic Field Laboratory в США.

Рис. 3: Поверхность Ферми BSCCO, измеренная с помощью ARPES . Экспериментальные данные показаны в виде графика интенсивности в желто-красно-черной шкале. Зеленый пунктирный прямоугольник представляет зону Бриллюэна плоскости CuO ₂ BSCCO .

Наиболее прямой экспериментальный метод разрешения электронной структуры кристаллов в пространстве импульса-энергии (см. обратная решетка ), и, следовательно, поверхности Ферми, является фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением (ARPES). Пример поверхности Ферми сверхпроводящих купратов , измеренной с помощью ARPES, показан на рисунке 3 .

С аннигиляцией позитронов также возможно определить поверхность Ферми, поскольку процесс аннигиляции сохраняет импульс исходной частицы. Поскольку позитрон в твердом теле термализуется до аннигиляции, аннигиляционное излучение несет информацию об импульсе электрона. Соответствующая экспериментальная техника называется угловой корреляцией электронно-позитронного аннигиляционного излучения (ACAR), поскольку она измеряет угловое отклонение от180° обоих аннигиляционных квантов. Таким образом, можно исследовать плотность электронного импульса твердого тела и определить поверхность Ферми. Кроме того, используя спин-поляризованные позитроны, можно получить распределение импульса для двух спиновых состояний в намагниченных материалах. ACAR имеет много преимуществ и недостатков по сравнению с другими экспериментальными методами: он не полагается на условия сверхвысокого вакуума , криогенные температуры, высокие магнитные поля или полностью упорядоченные сплавы. Однако ACAR нуждается в образцах с низкой концентрацией вакансий, поскольку они действуют как эффективные ловушки для позитронов. Таким образом, в 1978 году было получено первое определение размытой поверхности Ферми в 30% сплаве.

Смотрите также

• Физический портал

• Энергия Ферми
• зона Бриллюэна
• Поверхность Ферми сверхпроводящих купратов
• Микроскоп с зондом Кельвина
• Теорема Латтинжера

Ссылки

1. Дагдейл, СБ (2016). «Жизнь на грани: руководство для начинающих по поверхности Ферми». Physica Scripta . 91 (5): 053009. Bibcode : 2016PhyS...91e3009D. doi : 10.1088/0031-8949/91/5/053009 . hdl : 1983/18576e8a-c769-424d-8ac2-1c52ef80700e . ISSN  0031-8949.
2. Эшкрофт, Н.; Мермин , Н.Д. (1976). Физика твердого тела . Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0-03-083993-9.
3. Харрисон, WA (июль 1989). Электронная структура и свойства твердых тел . Courier Corporation. ISBN 0-486-66021-4.
4. База данных поверхности Ферми VRML
5. Займан, Дж. М. (1963). Электроны в металлах: краткое руководство по поверхности Ферми . Лондон: Taylor & Francis. OCLC  541173.
6. Вебер, JA; Бони, П.; Сих, Х.; Лейтнер, М.; Хугеншмидт, Ч. (2013-01-01). "Первые измерения 2D-ACAR на Cu с помощью нового спектрометра в TUM". Journal of Physics: Conference Series . 443 (1): 012092. arXiv : 1304.5363 . Bibcode : 2013JPhCS.443a2092W. doi : 10.1088/1742-6596/443/1/012092. ISSN  1742-6596. S2CID  119246268.
7. Рейф, Ф. (1965). Основы статистической и тепловой физики . McGraw–Hill. стр. 341. ISBN 978-0-07-051800-1.
8. К. Хуан, Статистическая механика (2000), стр. 244

Внешние ссылки

• Экспериментальные поверхности Ферми некоторых сверхпроводящих купратов и рутенатов стронция в "Фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением сверхпроводников купратов (обзорная статья)" (2002)
• Экспериментальные поверхности Ферми некоторых купратов , дихалькогенидов переходных металлов , рутенатов и сверхпроводников на основе железа в "Эксперименте ARPES по фермиологии квазидвумерных металлов (обзорная статья)" (2014)
• Дагдейл, СБ (01.01.2016). «Жизнь на грани: руководство для начинающих по поверхности Ферми». Physica Scripta . 91 (5): 053009. Bibcode : 2016PhyS...91e3009D. doi : 10.1088/0031-8949/91/5/053009 . hdl : 1983/18576e8a-c769-424d-8ac2-1c52ef80700e . ISSN  1402-4896.