Итерированная функция

Result of repeatedly applying a mathematical function

Итерационные преобразования объекта слева.
Сверху — поворот по часовой стрелке на 90°. Он имеет порядок 4, потому что это наименьший положительный показатель степени, который дает тождество. Ниже показано отображение сдвига с бесконечным порядком.
Ниже приведены их композиции , обе имеют порядок 3.

В математике итерированная функция — это функция, которая получается путем составления другой функции сама с собой два или несколько раз. Процесс многократного применения одной и той же функции называется итерацией . В этом процессе, начиная с некоторого исходного объекта, результат применения данной функции снова подается в функцию в качестве входных данных, и этот процесс повторяется.

Например, на изображении справа:

${\displaystyle L=F(K),\ M=F\circ F(K)=F^{2}(K).}$

Итерированные функции изучаются в информатике , фракталах , динамических системах , математике и физике ренормгрупп .

Определение

Далее следует формальное определение итерированной функции на множестве X.

Пусть X — множество, а f : X → X — функция .

Определение f ⁿ как n -й итерации f (обозначение, введенное Гансом Генрихом Бюрманом ^{[ нужна ссылка ]} и Джоном Фредериком Уильямом Гершелем ^{[1] [2] [3] [4]} ), где n — неотрицательное целое число , к:

$${\displaystyle f^{0}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~\operatorname {id} _{X}}$$

$${\displaystyle f^{n+1}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f\circ f^{n},}$$

где id _X — тождественная функция на X , а ( f g )( x ) = f ( g ( x )) ${\displaystyle \circ }$ обозначает композицию функций .

Поскольку обозначение f ⁿ может относиться как к итерации (композиции) функции f , так и к возведению в степень функции f (последнее обычно используется в ^{тригонометрии} ) , некоторые математики предпочитают использовать ∘ ^для обозначения ^{композиционного} значения, записывая f ^{∘ n} ( x ) для n -й итерации функции f ( x ) , как, например, f ^∘3 ( x ) что означает f ( f ( f ( x ))) . С той же целью f ^{[ n ]} ( x ) использовал Бенджамин Пирс ^{[5] [4] [nb 1]} , тогда как Альфред Прингшейм и Жюль Молк вместо этого предложили ⁿ f ( x ) . ^{[6] [4] [количество 2]}

Абелевое свойство и итерационные последовательности

В общем, для всех неотрицательных целых чисел m и n справедливо следующее тождество :

${\displaystyle f^{m}\circ f^{n}=f^{n}\circ f^{m}=f^{m+n}~.}$

Это структурно идентично свойству возведения в степень , что a ^m a ⁿ = a ^{m + n} .

Вообще, для произвольных общих (отрицательных, нецелых и т. д.) индексов m и n это соотношение называется функциональным уравнением сдвига , ср. Уравнение Шредера и уравнение Абеля . В логарифмическом масштабе это сводится к свойству вложения полиномов Чебышева T _m ( T _n ( x )) = T _{m n} ( x ) , поскольку T _n ( x ) = cos ( n arccos ( x )) .

Соотношение ( f ^m ) ⁿ ( x ) = ( f ⁿ ) ^m ( x ) = f ^mn ( x ) также имеет место, аналогично свойству возведения в степень, что ( a ^m ) ⁿ = ( a ⁿ ) ^m = a ^mn .

Последовательность функций f ⁿ называется последовательностью Пикара , ^{[7] [8]} названной в честь Шарля Эмиля Пикара .

Для данного x в X последовательность значений fn ⁽ x ) называется орбитой x . _ _

Если fn ( x ) = fn ^{+ m} ( x ⁾ для некоторого целого числа ^m > 0 , орбита называется периодической орбитой . Наименьшее такое значение m для данного x называется периодом орбиты . Сама точка x называется периодической точкой . Проблема обнаружения цикла в информатике — это алгоритмическая проблема поиска первой периодической точки на орбите и периода орбиты.

Фиксированные точки

Если x = f ( x ) для некоторого x из X (то есть период орбиты x равен 1 ), то x называется неподвижной точкой итерированной последовательности. Набор фиксированных точек часто обозначается как Fix ( f ) . Существует ряд теорем о неподвижной точке , которые гарантируют существование неподвижных точек в различных ситуациях, включая теорему Банаха о неподвижной точке и теорему Брауэра о неподвижной точке .

Существует несколько методов ускорения сходимости последовательностей, создаваемых итерациями с фиксированной точкой . ^[9] Например, метод Эйткена , примененный к повторяющейся фиксированной точке, известен как метод Стеффенсена и обеспечивает квадратичную сходимость.

Ограничивающее поведение

После итерации можно обнаружить, что существуют множества, которые сжимаются и сходятся к одной точке. В таком случае точка, к которой сходится, называется притягивающей фиксированной точкой . И наоборот, итерация может создать впечатление, что точки расходятся от одной точки; это было бы в случае нестабильной фиксированной точки . ^[10]

Когда точки орбиты сходятся к одному или нескольким пределам, набор точек накопления орбиты известен как предельный набор или ω-предельный набор .

Идеи притяжения и отталкивания обобщаются аналогичным образом; можно разделить итерации на стабильные множества и нестабильные множества в соответствии с поведением небольших окрестностей при итерации. Также см. бесконечные композиции аналитических функций .

Возможны и другие ограничивающие модели поведения; например, блуждающие точки — это точки, которые удаляются и никогда не возвращаются даже близко к тому месту, где они начали.

Инвариантная мера

Если рассматривать эволюцию распределения плотности, а не динамику отдельных точек, то предельное поведение задается инвариантной мерой . Его можно представить как поведение облака точек или облака пыли при повторяющихся итерациях. Инвариантная мера является собственным состоянием оператора Рюэля-Фробениуса-Перрона или оператора переноса , соответствующего собственному значению, равному 1. Меньшие собственные значения соответствуют нестабильным, распадающимся состояниям.

В общем, поскольку повторная итерация соответствует сдвигу, оператору переноса и сопряженному с ним оператору Купмана можно интерпретировать как действие операторов сдвига на пространстве сдвига . Теория подсдвигов конечного типа дает общее представление о многих итерированных функциях, особенно о тех, которые приводят к хаосу.

Дробные итерации и потоки, а также отрицательные итерации

g : R → R — тривиальный функциональный корень пятой степени из f : R ⁺ → R ⁺ , f ( x ) = sin( x ) . Показановычисление f ( π ⁄ 6 ) = 1 ⁄ 2 = g ⁵ ( π ⁄ 6 ).

Понятие f ^{1/ n} следует использовать с осторожностью, когда уравнение g ⁿ ( x ) = f ( x ) имеет несколько решений, что обычно имеет место, как в уравнении Бэббиджа функциональных корней тождественного отображения. Например, для n = 2 и f ( x ) = 4 x − 6 , g ( x ) = 6 − 2 x и g ( x ) = 2 x − 2 являются решениями; поэтому выражение f ^1/2 ( x ) не обозначает уникальную функцию, точно так же, как числа имеют несколько алгебраических корней. Проблема очень похожа на выражение « 0/0 » в арифметике. Тривиальный корень f всегда можно получить, если область определения f можно достаточно расширить, ср. картина. Обычно выбираются корни, принадлежащие изучаемой орбите.

Можно определить дробную итерацию функции: например, полуитерация функции f — это функция g такая, что g ( g ( x )) = f ( x ) . ^[11] Эту функцию g ( x ) можно записать с использованием индексного обозначения как f ^1/2 ( x ) . Аналогично, f ^1/3 ( x ) — это функция, определенная так, что f ^1/3 ( f ^1/3 ( f ^1/3 ( x ))) = f ( x ) , а f ^2/3 ( x ) может быть определяется как равный f ^1/3 ( f ^1/3 ( x )) и т. д., и все это основано на упомянутом ранее принципе, что f ^m ○ f ⁿ = f ^{m + n} . Эту идею можно обобщить так, что количество итераций n становится непрерывным параметром , своего рода непрерывным «временем» непрерывной орбиты . ^{[12] [13]}

В таких случаях систему называют потоком ( см. раздел о сопряжении ниже).

Если функция биективна (и, следовательно, обладает обратной функцией), то отрицательные итерации соответствуют обратным функциям и их композициям. Например, f ⁻¹ ( x ) — это нормальная инверсия f , а f ⁻² ( x ) — инверсия, составленная сама с собой, т.е. f ⁻² ( x ) = f ⁻¹ ( f ⁻¹ ( x )) . Дробно-отрицательные итерации определяются аналогично дробно-положительным; например, f ^−1/2 ( x ) определяется так, что f ^−1/2 ( f ^−1/2 ( x )) = f ⁻¹ ( x ) , или, что то же самое, такое, что f ^−1/2 ( ж ^1/2 ( Икс )) знак равно ж ⁰ ( Икс ) знак равно Икс .

Некоторые формулы для дробной итерации

Один из нескольких методов нахождения формулы ряда для дробной итерации с использованием фиксированной точки заключается в следующем. ^[14]

1. Сначала определите неподвижную точку для функции такой, что f ( a ) = a .
2. Определим f ⁿ ( a ) = a для всех n , принадлежащих действительным числам. В каком-то смысле это наиболее естественное дополнительное условие, которое можно наложить на дробные итерации.
3. Разложите f ⁿ ( x ) вокруг фиксированной точки a как ряд Тейлора ,
   $${\displaystyle f^{n}(x)=f^{n}(a)+(x-a)\left.{\frac {d}{dx}}f^{n}(x)\right|_{x=a}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}\left.{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f^{n}(x)\right|_{x=a}+\cdots }$$
4. Расширить
   $${\displaystyle f^{n}(x)=f^{n}(a)+(x-a)f'(a)f'(f(a))f'(f^{2}(a))\cdots f'(f^{n-1}(a))+\cdots }$$
5. Замените f ^k ( a ) = a , для любого k ,
   $${\displaystyle f^{n}(x)=a+(x-a)f'(a)^{n}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1})\left(1+f'(a)+\cdots +f'(a)^{n-1}\right)+\cdots }$$
6. Используйте геометрическую прогрессию для упрощения терминов.
   $${\displaystyle f^{n}(x)=a+(x-a)f'(a)^{n}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1}){\frac {f'(a)^{n}-1}{f'(a)-1}}+\cdots }$$
   Существует особый случай, когда f '(a) = 1 ,
   $${\displaystyle f^{n}(x)=x+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(nf''(a))+{\frac {(x-a)^{3}}{6}}\left({\frac {3}{2}}n(n-1)f''(a)^{2}+nf'''(a)\right)+\cdots }$$

Это можно продолжать бесконечно, хотя и неэффективно, поскольку последние условия становятся все более сложными. Более систематическая процедура описана в следующем разделе, посвященном сопряжению .

Пример 1

Например, установка f ( x ) = Cx + D дает фиксированную точку a = D /(1 − C ) , поэтому приведенная выше формула завершается просто

$${\displaystyle f^{n}(x)={\frac {D}{1-C}}+\left(x-{\frac {D}{1-C}}\right)C^{n}=C^{n}x+{\frac {1-C^{n}}{1-C}}D~,}$$

Пример 2

Найдите значение того, где это делается n раз (и, возможно, интерполированные значения, когда n не является целым числом). У нас есть ж ( Икс ) знак равно √ 2 ^Икс . Неподвижной точкой является a = f (2) = 2 . ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}}$

Итак, положим x = 1 и f ⁿ (1) , развернутый вокруг значения фиксированной точки 2, тогда будет бесконечной серией,

$${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}=f^{n}(1)=2-(\ln 2)^{n}+{\frac {(\ln 2)^{n+1}((\ln 2)^{n}-1)}{4(\ln 2-1)}}-\cdots }$$

nТетрацияf ⁿ (1) = ⁿ √ 2a = f (4) = 4

Для n = −1 ряд вычисляет обратную функцию 2+ln х/пер. 2.

Пример 3

С помощью функции f ( x ) = x ^b разверните вокруг фиксированной точки 1, чтобы получить ряд

$${\displaystyle f^{n}(x)=1+b^{n}(x-1)+{\frac {1}{2}}b^{n}(b^{n}-1)(x-1)^{2}+{\frac {1}{3!}}b^{n}(b^{n}-1)(b^{n}-2)(x-1)^{3}+\cdots ~,}$$

x ^{( b n ),}

Сопряжение

Если f и g — две итерированные функции и существует гомеоморфизм h такой, что g = h ⁻¹ ○ f ○ h , то f и g называются топологически сопряженными .

Очевидно, топологическая сопряженность сохраняется при итерации, поскольку g ⁿ  =  h ⁻¹  ○  f ⁿ ○ h . Таким образом, если можно решить одну итерированную систему функций, у него также есть решения для всех топологически сопряженных систем. Например, карта палаток топологически сопряжена с логистической картой . В качестве частного случая, принимая f ( x ) = x  + 1 , можно получить итерацию g ( x ) = h ⁻¹ ( h ( x ) + 1) как

грамм ^п ( Икс ) знак равно час ^-1 ( час ( Икс ) +  п ) , для любой функции час .

Сделав замену x = h ⁻¹ ( y ) = φ ( y ) , получим

g ( φ ( y )) = φ ( y +1) — форма, известная как уравнение Абеля .

Даже в отсутствие строгого гомеоморфизма вблизи фиксированной точки, взятой здесь за точку x = 0, f (0) = 0, часто можно решить ^[15] уравнение Шредера для функции Ψ, что делает f ( x ) локально сопряжено с простым расширением, g ( x ) = f '(0) x , то есть

ж ( Икс ) знак равно Ψ ^-1 ( ж '(0) Ψ( Икс )) .

Таким образом, его итерационная орбита, или поток, при соответствующих условиях (например, f '(0) ≠ 1 ) представляет собой сопряженную орбиту монома,

Ψ ⁻¹ ( ж '(0) ^п Ψ( x )) ,

где n в этом выражении служит простым показателем степени: функциональная итерация сведена к умножению! Здесь, однако, показатель n больше не обязательно должен быть целым или положительным и представляет собой непрерывное «время» эволюции для полной орбиты: [ ^16] моноид последовательности Пикара (ср. Полугруппа преобразований ) обобщился до полной непрерывной группа . ^[17]

Итерирует функцию синуса ( синяя ) в первом полупериоде. Полуитерационный ( оранжевый ), т. е. функциональный квадратный корень синуса; функциональный квадратный корень из этого, четверть итерации (черный) над ним; и дальнейшие дробные итерации до 1/64. Функции под ( синим ) синусом представляют собой шесть целочисленных итераций ниже него, начиная со второй итерации ( красной ) и заканчивая 64-й итерацией. Зеленый треугольник конверта представляет собой предельную нулевую итерацию, пилообразная функция служит отправной точкой, ведущей к синусоидальной функции . Пунктирная линия представляет собой отрицательную первую итерацию, т. е. обратную синусоиду (арксинус). (С сайта общей педагогики. ^[18] Обозначения см. в [2].)

Этот метод (пертурбативное определение главной собственной функции Ψ, ср. матрица Карлемана ) эквивалентен алгоритму предыдущего раздела, хотя на практике является более мощным и систематическим.

Цепи Маркова

Если функция линейна и может быть описана стохастической матрицей , то есть матрицей, сумма строк или столбцов которой равна единице, то итерированная система известна как цепь Маркова .

Примеры

Есть много хаотичных карт . К хорошо известным итеративным функциям относятся множество Мандельброта и системы итерированных функций .

Эрнст Шрёдер [ ^19] в 1870 году разработал специальные случаи логистического отображения , такие как хаотический случай f ( x ) = 4 x (1 − x ) , так что Ψ( x ) = arcsin( √ x ) ² , следовательно, f ⁿ ( x ) = sin(2 ⁿ arcsin( √ x )) ² .

Нехаотический случай, который Шредер также проиллюстрировал своим методом f ( x ) = 2 x (1 − x ) , дал Ψ ( x ) = −1/2ln(1 - 2 x ) и, следовательно, f ⁿ ( x ) = -1/2((1 - 2 Икс ) ^{2 п} - 1) .

Если f — действие элемента группы на множество, то итерированная функция соответствует свободной группе .

Большинство функций не имеют явных общих выражений в замкнутой форме для n -й итерации. В таблице ниже перечислены некоторые ^[19], которые это делают. Обратите внимание, что все эти выражения действительны даже для нецелых и отрицательных n , а также для неотрицательных целых n .

Примечание: эти два особых случая ax ² + bx + c — единственные случаи, которые имеют решение в замкнутой форме. Выбор b = 2 = – a и b = 4 = – a соответственно, еще больше сводит их к нехаотичным и хаотичным логистическим случаям, обсуждавшимся перед таблицей.

Некоторые из этих примеров связаны между собой простыми сопряжениями.

Средства обучения

Итерированные функции можно изучать с помощью дзета-функции Артина – Мазура и трансфер-операторов .

В информатике

В информатике итерированные функции встречаются как частный случай рекурсивных функций , которые, в свою очередь, закрепляют изучение таких широких тем, как лямбда-исчисление , или более узких, таких как денотатационная семантика компьютерных программ.

Определения в терминах итерированных функций

Два важных функционала можно определить в терминах итерированных функций. Это суммирование :

${\displaystyle \left\{b+1,\sum _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,x+g(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,0\}}$

и эквивалентный продукт:

${\displaystyle \left\{b+1,\prod _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,xg(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,1\}}$

Функциональная производная

Функциональная производная итерированной функции задается рекурсивной формулой:

${\displaystyle {\frac {\delta f^{N}(x)}{\delta f(y)}}=f'(f^{N-1}(x)){\frac {\delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta (f^{N-1}(x)-y)}$

Уравнение передачи данных Лия

Итерированные функции возникают при разложении в ряд комбинированных функций, таких как g ( f ( x )) .

Учитывая скорость итерации или бета-функцию (физика) ,

${\displaystyle v(x)=\left.{\frac {\partial f^{n}(x)}{\partial n}}\right|_{n=0}}$

для n- ^й итерации функции f имеем ^[21]

${\displaystyle g(f(x))=\exp \left[v(x){\frac {\partial }{\partial x}}\right]g(x).}$

Например, для жесткой адвекции, если f ( x ) = x + t , то v ( x ) = t . Следовательно, g ( x + t ) = exp( t ∂/∂ x ) g ( x ) , действие оператора простого сдвига .

И наоборот, можно указать f ( x ) для произвольного v ( x ) с помощью общего уравнения Абеля , обсуждавшегося выше:

${\displaystyle f(x)=h^{-1}(h(x)+1),}$

где

${\displaystyle h(x)=\int {\frac {1}{v(x)}}\,dx.}$

Это видно, если отметить, что

${\displaystyle f^{n}(x)=h^{-1}(h(x)+n)~.}$

Тогда для непрерывного индекса итерации t , теперь записанного в виде нижнего индекса, это равнозначно знаменитой экспоненциальной реализации Ли непрерывной группы:

${\displaystyle e^{t~{\frac {\partial ~~}{\partial h(x)}}}g(x)=g(h^{-1}(h(x)+t))=g(f_{t}(x)).}$

Начальной скорости потока v достаточно для определения всего потока, учитывая эту экспоненциальную реализацию, которая автоматически обеспечивает общее решение функционального уравнения перевода , ^[22]

${\displaystyle f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x)~.}$

Смотрите также

• Иррациональное вращение
• Итерированная система функций
• Итерационный метод
• Номер вращения
• Теорема Сарковского
• Дробное исчисление
• Рекуррентное отношение
• Уравнение Шредера
• Функциональный квадратный корень
• Функция Абеля
• Уравнение Шредера
• Уравнение Бетчера
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Поток (математика)
• Тетрация
• Функциональное уравнение

Примечания

1. а f ^{( n )} принимается за n- ю производную
2. Обозначение ⁿ f ( x ) Альфреда Прингсхайма и Жюля Молка (1907) для обозначения функциональных композиций не следует путать с обозначением ⁿ x Рудольфа фон Биттера Рюкера (1982) , введенным Гансом Маурером (1901) и Рубеном. Луи Гудстейн (1947) для тетрации или с преднадстрочной записью ⁿ x Дэвида Паттерсона Эллермана (1995) для корней .

Рекомендации

1. Гершель, Джон Фредерик Уильям (1813) [1812-11-12]. «О замечательном применении теоремы Котса». Философские труды Лондонского королевского общества . Лондон: Лондонское королевское общество , напечатано W. Bulmer and Co., Кливленд-Роу, Сент-Джеймс, продано Г. и У. Николом, Pall-Mall. 103 (Часть 1): 8–26 [10]. дои : 10.1098/rstl.1813.0005 . JSTOR  107384. S2CID  118124706.
2. Гершель, Джон Фредерик Уильям (1820). «Часть III. Раздел I. Примеры прямого метода разностей». Сборник примеров приложений исчисления конечных разностей . Кембридж, Великобритания: Отпечатано Дж. Смитом, продано компанией J. Deighton & sons. С. 1–13 [5–6]. Архивировано из оригинала 04 августа 2020 г. Проверено 4 августа 2020 г.[1] (Примечание. Здесь Гершель ссылается на свою работу 1813 года и упоминает более старую работу Ганса Генриха Бюрмана .)
3. Пеано, Джузеппе (1903). Formulaire mathématique (на французском языке). Том. IV. п. 229.
4. Каджори, Флориан (1952) [март 1929]. «§472. Степень логарифма / §473. Повторные логарифмы / §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций / §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратных функций / §537. Степени тригонометрических функций». История математических обозначений. Том. 2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 г., 2-е изд.). Чикаго, США: Издательская компания «Открытый суд» . стр. 108, 176–179, 336, 346. ISBN . 978-1-60206-714-1. Проверено 18 января 2016 г. […] §473. Повторные логарифмы […] Отметим здесь символику, использованную Прингсхаймом и Молком в их совместной статье в энциклопедии : « ² log _b  a = log _b (log _b  a ), …, ^{k +1} log _b  a = log _b ( ^k log _b  а )». ^[а] […] §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций sin ⁻¹  x , tan ⁻¹  x и т. д. были опубликованы им в лондонском журнале Philosophical Transactions за 1813 год. Он говорит (стр. 10): «Эти обозначения потому . ^-1  e не следует понимать как 1/cos.e  , а то, что обычно пишут так, как arc (cos.= e )». Он признает, что некоторые авторы используют cos. ^m  A вместо (cos.  A ) ^m , но он оправдывает свои собственные обозначения, указывая, что, поскольку d ²  x , Δ ³  x , Σ ²  x означают dd  x , ΔΔΔ  x , ΣΣ  x , мы должны писать sin. ²  раза за грех. грех. х , лог. ³  х для журнала. бревно. бревно. Икс . Точно так же, как мы пишем d ^{− n}  V=∫ ⁿ  V, мы можем аналогично написать sin. ⁻¹  x = дуга (sin.= x ), лог. ⁻¹  x .=c ^​​x . Несколько лет спустя Гершель объяснил, что в 1813 году он использовал f ⁿ ( x ), f ^{− n} ( x ), sin. ⁻¹  x и т. д., «как он тогда впервые предположил. Однако в течение этих нескольких месяцев ему стала известна работа немецкого аналитика Бурмана , в которой то же самое объясняется значительно раньше. Однако он [Бурман], похоже, не заметил удобства применения этой идеи к обратным функциям tan ⁻¹и т. д., и, похоже, он вообще не осознает обратного исчисления функций, которое оно порождает». Гершель добавляет: «Симметрия этого обозначения и, прежде всего, новые и наиболее обширные взгляды, которые оно открывает на природу аналитических операций. кажется, допускают его универсальное принятие». ^[b] […] §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратной функции. — […] Использование обозначений Гершеля претерпело небольшие изменения в книгах Бенджамина Пирса , чтобы устранить главное возражение. им; Пирс писал: «cos ^[−1]  x » , «log ^[−1]  x ». ^[c] […] §537. Степени тригонометрических функций. — Для обозначения, скажем, использовались три основных обозначения квадрат греха  x , а именно (sin  x ) ² , sin  x ² , sin ²  x . В настоящее время преобладающим обозначением является sin ²  x , хотя первое с наименьшей вероятностью будет неправильно истолковано. В случае sin ²  x два интерпретации напрашиваются сами собой: во-первых, sin  x · sin  x , во-вторых, ^[d] sin (sin  x ). Поскольку функции последнего типа обычно не проявляются, опасность неправильной интерпретации гораздо меньше, чем в случае log ²  x , где log  x · log  x и log (log  x ) часто встречаются в анализе. […] Обозначение sin ⁿ  x для (sin  x ) ⁿ широко использовалось и в настоящее время является преобладающим. […](xviii+367+1 страница, включая 1 страницу дополнений) (Примечание. ISBN и ссылка на перепечатку 2-го издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
5. Пирс, Бенджамин (1852). Кривые, функции и силы . Том. Я (новая ред.). Бостон, США. п. 203.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
6. Прингсхайм, Альфред ; Молк, Жюль (1907). Энциклопедия чистых и прикладных математических наук (на французском языке). Том. И. п. 195. Часть I.
7. Кучма, Марек (1968). Функциональные уравнения с одной переменной . Монография Математическая. Варшава: PWN – Польское научное издательство.
8. Кучма М., Хочевски Б. и Гер Р. (1990). Итерационные функциональные уравнения . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-35561-3.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
9. Карлесон, Л.; Гамелен, TDW (1993). Сложная динамика . Университетский текст: Трактаты по математике. Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-97942-5.
10. Истратеску, Василе (1981). Теория неподвижной точки. Введение . Д. Рейдель, Голландия. ISBN 90-277-1224-7 . 
11. «Нахождение f такого, что f(f(x))=g(x) по заданному g». MathOverflow .
12. Альдрованди, Р.; Фрейтас, LP (1998). «Непрерывная итерация динамических карт». Дж. Математика. Физ . 39 (10): 5324. arXiv : Physics/9712026 . Бибкод : 1998JMP....39.5324A. дои : 10.1063/1.532574. hdl : 11449/65519 . S2CID  119675869.
13. Берколайко, Г.; Рабинович, С.; Хэвлин, С. (1998). «Анализ представления Карлемана аналитических рекурсий». Дж. Математика. Анальный. Приложение . 224 : 81–90. дои : 10.1006/jmaa.1998.5986 .
14. "Тетратион.орг".
15. Кимура, Тосихуса (1971). «Об итерации аналитических функций», Funkcialaj Ekvacioj. Архивировано 26 апреля 2012 г. в Wayback Machine 14 , 197-238.
16. Куртрайт, TL ; Захос, СК (2009). «Профили эволюции и функциональные уравнения». Журнал физики А. 42 (48): 485208. arXiv : 0909.2424 . Бибкод : 2009JPhA...42V5208C. дои : 10.1088/1751-8113/42/48/485208. S2CID  115173476.
17. В качестве явного примера, пример 2 выше равен просто f ⁿ ( x ) = Ψ ⁻¹ ((ln 2) ⁿ Ψ( x )) для любого n , не обязательно целого числа, где Ψ является решением соответствующего уравнения Шредера. , Ψ( √ 2 ^Икс ) знак равно пер 2 Ψ( Икс ) . Это решение также является бесконечным m пределом ( f ^m ( x ) − 2)/(ln 2) ^m .
18. Куртрайт, TL Эволюционные поверхности и функциональные методы Шредера.
19. Шредер, Эрнст (1870). "Ueber iterirte Functionen". Математика. Анна . 3 (2): 296–322. дои : 10.1007/BF01443992. S2CID  116998358.
20. Брэнд, Луи, «Последовательность, определяемая разностным уравнением», American Mathematical Monthly 62 , сентябрь 1955 г., 489–492. В сети
21. Берксон, Э.; Порта, Х. (1978). «Полугруппы аналитических функций и операторы композиции». Мичиганский математический журнал . 25 : 101–115. дои : 10.1307/mmj/1029002009 . Куртрайт, ТЛ; Захос, СК (2010). «Хаотические карты, гамильтоновы потоки и голографические методы». Физический журнал A: Математический и теоретический . 43 (44): 445101. arXiv : 1002.0104 . Бибкод : 2010JPhA...43R5101C. дои : 10.1088/1751-8113/43/44/445101. S2CID  115176169.
22. Аксель, Дж. (2006), Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям (Dover Books on Mathematics, 2006), гл. 6, ISBN 978-0486445236 . 

Внешние ссылки

• Гилл, Джон (январь 2017 г.). «Букварь по элементарной теории бесконечных композиций комплексных функций». Государственный университет Колорадо.