В математике максимальная компактная подгруппа K топологической группы G — это подгруппа K , которая является компактным пространством в топологии подпространства и является максимальной среди таких подгрупп.
Максимальные компактные подгруппы играют важную роль в классификации групп Ли и особенно полупростых групп Ли. Максимальные компактные подгруппы групп Ли в общем случае не являются единственными, но являются единственными с точностью до сопряжения – они по существу единственны .
Примером может служить подгруппа O(2), ортогональная группа , внутри общей линейной группы GL(2, R ). Связанным примером является группа окружности SO(2) внутри SL(2, R ) . Очевидно, что SO(2) внутри GL(2, R ) компактна и не максимальна. Неединственность этих примеров можно увидеть, поскольку любое скалярное произведение имеет связанную ортогональную группу, а существенная единственность соответствует существенной единственности скалярного произведения.
Максимальная компактная подгруппа — это максимальная подгруппа среди компактных подгрупп — максимальная (компактная подгруппа) — а не (альтернативный возможный вариант прочтения) максимальная подгруппа , которая случайно оказывается компактной; что, вероятно, можно было бы назвать компактной (максимальной подгруппой) , но в любом случае это не предполагаемое значение (и на самом деле максимальные собственные подгруппы в общем случае не являются компактными).
Теорема Картана-Ивасавы-Мальцева утверждает, что каждая связная группа Ли (и, конечно, каждая связная локально компактная группа ) допускает максимальные компактные подгруппы и что все они сопряжены друг с другом. Для полупростой группы Ли единственность является следствием теоремы Картана о неподвижной точке , которая утверждает, что если компактная группа действует изометриями на полном односвязном отрицательно искривленном римановом многообразии , то она имеет неподвижную точку.
Максимальные компактные подгруппы связных групп Ли обычно не являются единственными, но они являются единственными с точностью до сопряжения, что означает, что для двух максимальных компактных подгрупп K и L существует элемент g ∈ G такой, что [1] gKg −1 = L. Следовательно, максимальная компактная подгруппа по существу является единственной , и люди часто говорят о «максимальной компактной подгруппе».
Для примера общей линейной группы GL( n , R ) это соответствует тому факту, что любое скалярное произведение на R n определяет (компактную) ортогональную группу (ее группу изометрий) – и что она допускает ортонормированный базис: смена базиса определяет сопрягающий элемент, сопрягающий группу изометрий с классической ортогональной группой O( n , R ).
Для вещественной полупростой группы Ли доказательство Картана существования и единственности максимальной компактной подгруппы можно найти в работах Бореля (1950) и Хельгасона (1978). Картье (1955) и Хохшильд (1965) обсуждают расширение на связные группы Ли и связные локально компактные группы.
Для полупростых групп существование является следствием существования компактной вещественной формы некомпактной полупростой группы Ли и соответствующего разложения Картана . Доказательство единственности опирается на тот факт, что соответствующее риманово симметрическое пространство G / K имеет отрицательную кривизну , и теорему Картана о неподвижной точке. Мостов (1955) показал, что производная экспоненциального отображения в любой точке G / K удовлетворяет условию |d exp X | ≥ |X|. Это означает, что G / K является пространством Адамара , т. е. полным метрическим пространством, удовлетворяющим ослабленной форме правила параллелограмма в евклидовом пространстве. Тогда единственность может быть выведена из теоремы Брюа-Титса о неподвижной точке . Действительно, любое ограниченное замкнутое множество в пространстве Адамара содержится в единственном наименьшем замкнутом шаре, центр которого называется его центром описанной окружности . В частности, компактная группа, действующая изометриями, должна фиксировать центр описанной окружности каждой из своих орбит.
Mostow (1955) также связал общую проблему для полупростых групп со случаем GL( n , R ). Соответствующее симметричное пространство — это пространство положительных симметричных матриц. Прямое доказательство единственности, опирающееся на элементарные свойства этого пространства, дано в Hilgert & Neeb (2012).
Пусть — вещественная полупростая алгебра Ли с инволюцией Картана σ. Таким образом, подгруппа неподвижных точек σ является максимальной компактной подгруппой K и существует разложение собственного пространства
где , алгебра Ли K , является собственным пространством +1. Разложение Картана дает
Если B — это форма Киллинга , заданная формулой B ( X , Y ) = Tr (ad X)(ad Y), то
является действительным скалярным произведением на . В присоединенном представлении K является подгруппой G , которая сохраняет это скалярное произведение.
Если H — другая компактная подгруппа G , то усреднение скалярного произведения по H относительно меры Хаара дает скалярное произведение, инвариантное относительно H. Операторы Ad p с p в P являются положительными симметричными операторами. Это новое скалярное произведение можно записать как
где S — положительный симметричный оператор на такой, что Ad( h ) t S Ad h = S для h в H (с транспонированием, вычисленным относительно скалярного произведения). Более того, для x в G ,
Итак, для h в H ,
Для X в определении
Если e i — ортонормированный базис собственных векторов для S с Se i = λ i e i , то
так что f строго положительна и стремится к ∞, когда | X | стремится к ∞. Фактически эта норма эквивалентна операторной норме на симметричных операторах ad X , и каждое ненулевое собственное значение встречается со своим отрицательным, поскольку i ad X является кососопряжённым оператором на компактной действительной форме .
Итак, f имеет глобальный минимум в точке Y. Этот минимум уникален, потому что если бы Z был другим, то
где X in определяется разложением Картана
Если f i — ортонормированный базис собственных векторов ad X с соответствующими действительными собственными значениями μ i , то
Поскольку правая часть представляет собой положительную комбинацию экспонент, действительная функция g строго выпукла, если X ≠ 0, поэтому имеет единственный минимум. С другой стороны, она имеет локальные минимумы при t = 0 и t = 1, следовательно, X = 0 и p = exp Y является единственным глобальным минимумом. По построению f ( x ) = f (σ( h ) xh −1 ) для h в H , так что p = σ( h ) ph −1 для h в H . Следовательно, σ( h )= php −1 . Следовательно, если g = exp Y /2, gHg −1 фиксируется σ и, следовательно, лежит в K .
Максимальные компактные подгруппы играют основную роль в теории представлений, когда G не является компактной. В этом случае максимальная компактная подгруппа K является компактной группой Ли (поскольку замкнутая подгруппа группы Ли является группой Ли), для которой теория проще.
Операции, связывающие теории представлений G и K, ограничивают представления из G в K и индуцируют представления из K в G , и они достаточно хорошо изучены; их теория включает в себя теорию сферических функций .
Алгебраическая топология групп Ли также в значительной степени переносится максимальной компактной подгруппой K. Если быть точным, связная группа Ли является топологическим произведением (хотя и не теоретико-групповым произведением) максимального компакта K и евклидова пространства – G = K × R d – таким образом, в частности, K является деформационным ретрактом G и является гомотопически эквивалентным , и, таким образом, они имеют одни и те же гомотопические группы . Действительно, включение и деформационная ретракция являются гомотопическими эквивалентностями .
Для общей линейной группы это разложение является разложением QR , а деформационная ретракция — процессом Грама-Шмидта . Для общей полупростой группы Ли разложение является разложением Ивасавы группы G как G = KAN , в котором K встречается в произведении с стягиваемой подгруппой AN .
