В теории категорий , разделе математики , подобъект — это, грубо говоря, объект , который находится внутри другого объекта в той же категории . Понятие является обобщением таких понятий, как подмножества из теории множеств , подгруппы из теории групп , [1] и подпространства из топологии . Поскольку детальная структура объектов несущественна в теории категорий, определение подобъекта опирается на морфизм , который описывает, как один объект находится внутри другого, а не на использование элементов.
Двойственное понятие к подобъекту — этоfactor object (объект факторизации) . Это обобщает такие понятия, какфактор-множества,фактор-группы,фактор-пространства,фактор-графыи т. д.
Соответствующее категориальное определение «подобъекта» может меняться в зависимости от контекста и цели. Одно из общих определений следующее.
В деталях, пусть будет объектом некоторой категории. Даны два мономорфизма
с областью значений мы определяем отношение эквивалентности, если существует изоморфизм с .
Эквивалентно, мы пишем, если факторы через — то есть, если существует такое, что . Бинарное отношение, определяемое как
является отношением эквивалентности на мономорфизмах с областью значений , а соответствующие классы эквивалентности этих мономорфизмов являются подобъектами .
Отношение ≤ индуцирует частичный порядок в коллекции подобъектов .
Коллекция подобъектов объекта может на самом деле быть собственным классом ; это означает, что данное обсуждение несколько свободно. Если коллекция подобъектов каждого объекта является множеством , категория называется хорошо мощной или, реже, локально малой (это противоречит другому использованию термина локально малой , а именно, что существует множество морфизмов между любыми двумя объектами).
Чтобы получить двойственную концепцию факторного объекта , замените "мономорфизм" на " эпиморфизм " выше и поменяйте стрелки местами. Факторный объект A тогда является классом эквивалентности эпиморфизмов с доменом A.
Однако в некоторых контекстах эти определения неадекватны, поскольку они не согласуются с устоявшимися понятиями подобъекта или фактор-объекта. В категории топологических пространств мономорфизмы — это именно инъективные непрерывные функции; но не все инъективные непрерывные функции являются вложениями подпространств. В категории колец включение является эпиморфизмом, но не является фактором по двустороннему идеалу. Чтобы получить отображения, которые действительно ведут себя как вложения подобъектов или факторы, а не как произвольные инъективные функции или отображения с плотным образом, нужно ограничиться мономорфизмами и эпиморфизмами, удовлетворяющими дополнительным гипотезам. Таким образом, можно определить «подобъект» как класс эквивалентности так называемых «регулярных мономорфизмов» (мономорфизмов, которые можно выразить как уравнитель двух морфизмов), а «факторный объект» — как любой класс эквивалентности «регулярных эпиморфизмов» (морфизмов, которые можно выразить как соуравнитель двух морфизмов).
Это определение соответствует обычному пониманию подобъекта вне теории категорий. Когда объекты категории являются множествами (возможно, с дополнительной структурой, такой как групповая структура), а морфизмы являются функциями множеств (сохраняющими дополнительную структуру), мономорфизм рассматривается в терминах его образа. Класс эквивалентности мономорфизмов определяется образом каждого мономорфизма в классе; то есть два мономорфизма f и g в объект T эквивалентны тогда и только тогда, когда их образы являются одним и тем же подмножеством (таким образом, подобъектом) T . В этом случае существует изоморфизм их доменов, при котором соответствующие элементы доменов отображаются посредством f и g , соответственно, в один и тот же элемент T ; это объясняет определение эквивалентности.
В Set , категории множеств , подобъект A соответствует подмножеству B множества A или , скорее, набору всех отображений множеств, равномощных B , с изображением , в точности соответствующим B. Частичный порядок подобъекта множества в Set — это просто решетка его подмножеств .
В Grp , категории групп , подобъекты A соответствуют подгруппам A.
Учитывая частично упорядоченный класс P = ( P , ≤), мы можем сформировать категорию с элементами P в качестве объектов и одну стрелку от p к q тогда и только тогда, когда p ≤ q . Если P имеет наибольший элемент, частичный порядок подобъекта этого наибольшего элемента будет самим P. Это отчасти потому, что все стрелки в такой категории будут мономорфизмами.
Подобъект терминального объекта называется субтерминальным объектом .
