Прыгающий мяч

Физика прыгающих мячей

Прыгающий мяч. Движение не совсем параболическое из-за сопротивления воздуха .

Физика прыгающего мяча касается физического поведения прыгающего мяча , в частности его движения до, во время и после удара о поверхность другого тела . Некоторые аспекты поведения прыгающего мяча служат введением в механику на курсах физики в средней школе или бакалавриате . Однако точное моделирование поведения сложно и представляет интерес для спортивной инженерии .

Движение мяча обычно описывается движением снаряда (на которое могут влиять гравитация , сопротивление , эффект Магнуса и плавучесть ), тогда как его воздействие обычно характеризуется коэффициентом восстановления (на который может влиять природа шар, характер ударяющей поверхности, скорость удара, вращение и местные условия, такие как температура и давление ). Чтобы обеспечить честную игру , многие спортивные руководящие органы устанавливают ограничения на упругость мяча и запрещают изменение его аэродинамических свойств. Прыгание мячей было характерной чертой таких видов спорта, как древняя игра в мяч в Мезоамерике . ^[1]

Силы во время полета и влияние на движение

Силы, действующие на вращающийся шар во время его полета, — это _{сила гравитации} ( FG ) , сила сопротивления ( FD ), сила Магнуса ( FM ₎ и сила плавучести ( FB ₎ .

Движение прыгающего мяча подчиняется движению снаряда . ^[2] _[ ^3] На настоящий мяч действуют многие силы, а именно сила гравитации ( F _G ), сила сопротивления воздуха ( F _D ), сила Магнуса из-за вращения мяча ( FM ) и выталкивающая сила ( F _B ). В общем случае для анализа движения мяча необходимо использовать второй закон Ньютона с учетом всех сил:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \mathbf {F} &=m\mathbf {a} ,\\\mathbf {F} _{\text{G}}+\mathbf {F} _{\text{D}}+\mathbf {F} _{\text{M}}+\mathbf {F} _{\text{B}}&=m\mathbf {a} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}},\end{aligned}}}$

где m — масса мяча. Здесь a , v , r представляют ускорение , скорость и положение мяча во времени t .

Сила тяжести

Траектория мяча, отскакивающего под углом 70° после удара без сопротивления  , с сопротивлением Стокса  , и с сопротивлением Ньютона  .

Сила гравитации направлена ​​вниз и равна ^[4]

${\displaystyle F_{\text{G}}=mg,}$

где m — масса шара, а g — ускорение свободного падения , которое на Земле колеблется в пределах9,764  м/с ² и9,834 м/с ² . ^[5] Поскольку другие силы обычно малы, движение часто идеализируется как происходящее только под действием силы тяжести. Если на шарик действует только сила тяжести, то механическая энергия сохранится во время его полета. В этом идеализированном случае уравнения движения имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=-g\mathbf {\hat {j}} ,\\\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{\text{0}}+\mathbf {a} t,\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2},\end{aligned}}}$

где a , v и r обозначают ускорение, скорость и положение шара, а v ₀ и r ₀ — начальная скорость и положение шара соответственно.

Более конкретно, если мяч отскакивает под углом θ к земле, движение по осям x и y (представляющее горизонтальное и вертикальное движение соответственно) описывается формулой ^[6]

Из уравнений следует, что максимальная высота ( H ), дальность ( R ) и время полета ( T ) мяча, отскакивающего от плоской поверхности, определяются выражением ^{[2] [6]}

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\sin ^{2}\left(\theta \right),\\R&={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\sin \left(2\theta \right),~{\text{and}}\\T&={\frac {2v_{0}}{g}}\sin \left(\theta \right).\end{aligned}}}$

Дальнейшие уточнения движения мяча можно внести, приняв во внимание сопротивление воздуха (и связанные с ним эффекты, такие как сопротивление и ветер ), эффект Магнуса и плавучесть . Поскольку более легкие шары ускоряются быстрее, на их движение больше влияют такие силы.

Тащить

Обтекание шара воздухом может быть как ламинарным , так и турбулентным в зависимости от числа Рейнольдса (Re), определяемого как:

${\displaystyle {\text{Re}}={\frac {\rho Dv}{\mu }},}$

где ρ — плотность воздуха , µ — динамическая вязкость воздуха, D — диаметр мяча, а v — скорость мяча в воздухе. При температуре​20 °С , ρ =1,2 кг/м ³ и μ =1,8 × 10 ^-5  Па·с . ^[7]

Если число Рейнольдса очень мало (Re < 1), сила сопротивления шара описывается законом Стокса : ^[8]

${\displaystyle F_{\text{D}}=6\pi \mu rv,}$

где r — радиус шара. Эта сила действует против направления мяча (в направлении ). Однако для большинства спортивных мячей число Рейнольдса будет находиться в диапазоне от 10 ⁴ до 10 ⁵ , и закон Стокса не применяется. ^[9] При таких более высоких значениях числа Рейнольдса сила сопротивления шару вместо этого описывается уравнением сопротивления : ^[10] ${\displaystyle \textstyle -{\hat {\mathbf {v} }}}$

${\displaystyle F_{\text{D}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{d}}Av^{2},}$

где C _d — коэффициент сопротивления , а A — площадь поперечного сечения шара.

Сопротивление приведет к тому, что мяч потеряет механическую энергию во время полета, уменьшит его дальность и высоту, а боковой ветер отклонит его от первоначального пути. Оба эффекта должны учитываться игроками в таких видах спорта, как гольф.

Эффект Магнуса

Сила Магнуса, действующая на мяч при обратном вращении . Фигурные линии потока представляют собой турбулентный след . Воздушный поток отклонился в сторону вращения.

В настольном теннисе опытный игрок может использовать вращение мяча, чтобы повлиять на траекторию полета мяча во время его полета и его реакцию при ударе о поверхность. При топспине мяч достигает максимальной высоты в полете (1), а затем резко поворачивает вниз (2). Удар толкает мяч вперед (3) и имеет тенденцию отскакивать вверх при ударе о ракетку противоположного игрока . В случае обратного вращения ситуация противоположная .

Вращение мяча повлияет на его траекторию посредством эффекта Магнуса . Согласно теореме Кутты–Жуковского , для вращающейся сферы с невязким потоком воздуха сила Магнуса равна ^[11]

${\displaystyle F_{\text{M}}={\frac {8}{3}}\pi r^{3}\rho \omega v,}$

где r - радиус шара, ω - угловая скорость (или скорость вращения) мяча, ρ - плотность воздуха и v - скорость мяча относительно воздуха. Эта сила направлена ​​перпендикулярно движению и перпендикулярно оси вращения (в направлении ). Сила направлена ​​вверх при обратном вращении и вниз при верхнем вращении. В действительности поток никогда не бывает невязким, и лифт Магнуса лучше описывается формулой ^[12] ${\displaystyle \textstyle {\hat {\mathbf {\omega } }}\times {\hat {\mathbf {v} }}}$

${\displaystyle F_{\text{M}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{L}}Av^{2},}$

где ρ — плотность воздуха, C _L — коэффициент подъемной силы , A — площадь поперечного сечения шара, а v — скорость шара относительно воздуха. Коэффициент подъемной силы представляет собой сложный фактор, который зависит, среди прочего, от отношения rω / v , числа Рейнольдса и шероховатости поверхности . ^[12] В определенных условиях коэффициент подъемной силы может даже быть отрицательным, изменяя направление силы Магнуса (обратный эффект Магнуса). ^{[4] [13] [14]}

В таких видах спорта, как теннис или волейбол , игрок может использовать эффект Магнуса для управления траекторией мяча (например, с помощью верхнего или обратного вращения ) во время полета. В гольфе этот эффект отвечает за нарезку и зацеп , которые обычно наносят вред игроку в гольф, но также помогают увеличить дальность удара и других ударов. ^{[15] [16]} В бейсболе питчеры используют этот эффект для создания кривых мячей и других специальных полей . ^[17]

Фальсификация мяча часто является незаконной и часто оказывается в центре споров по крикету , таких как спор между Англией и Пакистаном в августе 2006 года . ^[18] В бейсболе термин « спитбол » означает незаконное покрытие мяча слюной или другими веществами с целью изменения аэродинамики мяча. ^[19]

Плавучесть

Любой объект, погруженный в жидкость , например, в воду или воздух, будет испытывать подъемную силу вверх . ^[20] Согласно принципу Архимеда , эта выталкивающая сила равна весу жидкости, вытесненной объектом. В случае сферы эта сила равна

${\displaystyle F_{\text{B}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho g.}$

Выталкивающая сила обычно мала по сравнению с сопротивлением и силами Магнуса, и ею часто можно пренебречь. Однако в случае с баскетбольным мячом выталкивающая сила может составлять около 1,5% веса мяча. ^[20] Поскольку плавучесть направлена ​​вверх, она будет способствовать увеличению дальности и высоты полета мяча.

Влияние

Сжатие (A→B) и декомпрессия (B→C) мяча, ударяющегося о поверхность. Сила удара обычно пропорциональна расстоянию сжатия, по крайней мере, при небольших сжатиях, и может быть смоделирована как сила пружины . ^{[21] [22]}

Когда мяч ударяется о поверхность, поверхность отскакивает и вибрирует , как и мяч, создавая звук и тепло , а мяч теряет кинетическую энергию . Кроме того, удар может придать шару некоторое вращение, передавая часть его поступательной кинетической энергии в кинетическую энергию вращения . Эти потери энергии обычно характеризуются (косвенно) через коэффициент восстановления (или COR, обозначаемый e ): ^{[23] [примечание 1]}

${\displaystyle e=-{\frac {v_{\text{f}}-u_{\text{f}}}{v_{\text{i}}-u_{\text{i}}}},}$

где v _f и vi — конечная и _{начальная} скорости мяча, а _u f и u _i — конечная и начальная скорости, соударяющиеся с поверхностью соответственно. В конкретном случае, когда мяч ударяется о неподвижную поверхность, COR упрощается до

${\displaystyle e=-{\frac {v_{\text{f}}}{v_{\text{i}}}}.}$

Таким образом, для мяча, упавшего на пол, COR будет варьироваться от 0 (нет отскока, полная потеря энергии) до 1 (идеальный отскок, отсутствие потери энергии). Значение COR ниже 0 или выше 1 теоретически возможно, но будет указывать на то, что мяч прошел через поверхность ( e < 0 ) или что поверхность не была «расслаблена», когда мяч ударился о нее ( e > 1 ), как в случай падения мяча на подпружиненную платформу.

Чтобы проанализировать вертикальные и горизонтальные компоненты движения, COR иногда разделяют на нормальный COR ( e _y ) и тангенциальный COR ( e _x ), определяемый как ^[24]

${\displaystyle e_{\text{y}}=-{\frac {v_{\text{yf}}-u_{\text{yf}}}{v_{\text{yi}}-u_{\text{yi}}}},}$

${\displaystyle e_{\text{x}}=-{\frac {(v_{\text{xf}}-r\omega _{\text{f}})-(u_{\text{xf}}-R\Omega _{\text{f}})}{(v_{\text{xi}}-r\omega _{\text{i}})-(u_{\text{xi}}-R\Omega _{\text{i}})}},}$

где r и ω обозначают радиус и угловую скорость мяча, а R и Ω обозначают радиус и угловую скорость поверхности удара (например, бейсбольной биты). В частности , rω — это тангенциальная скорость поверхности шара, а RΩ — это тангенциальная скорость соударяющейся поверхности. Это особенно интересно, когда мяч ударяется о поверхность под косым углом или когда задействовано вращение .

При прямом падении на землю без вращения, когда на мяч действует только сила тяжести, COR можно связать с несколькими другими величинами следующим образом: ^{[22] [25]}

${\displaystyle e=\left|{\frac {v_{\text{f}}}{v_{\text{i}}}}\right|={\sqrt {\frac {K_{\text{f}}}{K_{\text{i}}}}}={\sqrt {\frac {U_{\text{f}}}{U_{\text{i}}}}}={\sqrt {\frac {H_{\text{f}}}{H_{\text{i}}}}}={\frac {T_{\text{f}}}{T_{\text{i}}}}={\sqrt {\frac {gT_{\text{f}}^{2}}{8H_{\text{i}}}}}.}$

Здесь K и U обозначают кинетическую и потенциальную энергию мяча, H — максимальную высоту мяча, а T — время полета мяча. Индексы «i» и «f» относятся к начальному (до удара) и конечному (после удара) состояниям мяча. Аналогичным образом, потеря энергии при ударе может быть связана с COR соотношением

${\displaystyle {\text{Energy Loss}}={\frac {{K_{\text{i}}}-{K_{\text{f}}}}{K_{\text{i}}}}\times 100\%=\left(1-e^{2}\right)\times 100\%.}$

На COR мяча могут влиять несколько факторов, в основном

• характер воздействующей поверхности (например, трава, бетон, проволочная сетка) ^{[25] [26]}
• материал мяча (например, кожа, резина, пластик) ^[22]
• давление внутри шара (если полый) ^[22]
• величина вращения, вызываемого мячом при ударе ^[27]
• скорость удара ^{[21] [22] [26] [28]}

Внешние условия, такие как температура, могут изменить свойства ударяющей поверхности или мяча, делая их более гибкими или более жесткими. Это, в свою очередь, повлияет на COR. ^[22] Как правило, мяч будет деформироваться сильнее при более высоких скоростях удара и, соответственно, потеряет больше своей энергии, уменьшая свой COR. ^{[22] [28]}

Вращение и угол удара

Силы, действующие на вращающийся мяч во время удара, — это сила тяжести , нормальная сила и сила трения (которая обычно имеет как «поступательную», так и «вращательную» составляющую). Если поверхность расположена под углом, сила тяжести будет находиться под углом к ​​поверхности, в то время как другие силы останутся перпендикулярными или параллельными поверхности.

При ударе о землю некоторая поступательная кинетическая энергия может быть преобразована в кинетическую энергию вращения и наоборот, в зависимости от угла удара мяча и угловой скорости. Если при ударе мяч движется горизонтально, трение будет иметь «поступательную» составляющую в направлении, противоположном движению мяча. На рисунке мяч движется вправо , и, следовательно, у него будет поступательная составляющая трения, толкающая мяч влево . Кроме того, если при ударе мяч вращается, трение будет иметь «вращательную» составляющую в направлении, противоположном вращению мяча. На рисунке мяч вращается по часовой стрелке, а точка удара о землю перемещается влево относительно центра масс мяча . Таким образом, вращательная составляющая трения толкает мяч вправо . В отличие от нормальной силы и силы тяжести, эти силы трения оказывают на шар крутящий момент и изменяют его угловую скорость ( ω ). ^{[29] [30] [31] [32]}

Могут возникнуть три ситуации: ^{[32] [33] [34]}

1. Если мяч движется вперед с обратным вращением , поступательное и вращательное трение будут действовать в одних и тех же направлениях. Угловая скорость мяча после удара уменьшится, как и его горизонтальная скорость, и мяч поднимется вверх , возможно, даже превысив свою первоначальную высоту. Также возможно, что мяч начнет вращаться в противоположном направлении и даже отскочит назад.
2. Если мяч движется вперед с верхним вращением , акты поступательного и вращательного трения будут действовать в противоположных направлениях. Что именно произойдет, зависит от того, какой из двух компонентов доминирует.
   1. Если мяч вращается гораздо быстрее, чем двигался, трение вращения будет преобладать. Угловая скорость мяча после удара уменьшится, но его горизонтальная скорость увеличится. Мяч будет двигаться вперед , но не превысит своей первоначальной высоты и продолжит вращаться в том же направлении.
   2. Если мяч движется гораздо быстрее, чем вращался, поступательное трение будет преобладать. Угловая скорость мяча после удара увеличится, но его горизонтальная скорость уменьшится. Мяч не превысит свою первоначальную высоту и продолжит вращаться в том же направлении.

Если поверхность наклонена на некоторую величину θ , вся диаграмма повернется на θ , но сила гравитации останется направленной вниз (образуя угол θ с поверхностью). Тогда гравитация будет иметь компонент, параллельный поверхности, который будет способствовать трению и, таким образом, способствовать вращению. ^[32]

В ракеточных видах спорта, таких как настольный теннис или ракетбол , опытные игроки будут использовать вращение (включая боковое вращение ), чтобы внезапно изменить направление мяча, когда он ударяется о поверхность, например, о землю или ракетку противника . Точно так же в крикете существуют различные методы боулинга с вращением , которые могут привести к значительному отклонению мяча от поля .

Несферические шарики

Силы, действующие на футбольный мяч или мяч для регби при ударе, — это сила тяжести , нормальная сила и сила трения . Трение обычно имеет «продольную» составляющую из-за скорости мяча и «кувыркающегося» вращения, а также «боковую» составляющую из-за вращения мяча «по оси», вызванного броском.

Отскок мяча овальной формы (например, тех, что используются в футболе с сеткой или регби ) в целом гораздо менее предсказуем, чем отскок сферического мяча. В зависимости от положения мяча при ударе нормальная сила может действовать впереди или позади центра массы мяча, а трение о землю будет зависеть от выравнивания мяча, а также от его вращения, вращения и скорости удара. Когда силы, действующие относительно центра масс мяча, изменяются по мере того, как мяч катится по земле, и все силы могут оказывать на мяч крутящий момент , включая нормальную силу и силу тяжести. Это может привести к отскоку мяча вперед, назад или в сторону. Поскольку можно передать некоторую кинетическую энергию вращения в кинетическую энергию поступательного движения, возможно даже, что COR будет больше 1 или скорость движения мяча вперед увеличится при ударе. ^[35]

Несколько сложенных шаров

Популярная демонстрация включает в себя отскок нескольких сложенных мячей. Если теннисный мяч положить на баскетбольный мяч и оба мяча уронить одновременно, теннисный мяч подпрыгнет намного выше, чем если бы он упал сам по себе, даже превысив свою первоначальную высоту выброса. ^{[36] [37]} Результат удивителен, поскольку он явно нарушает закон сохранения энергии. ^[38] Однако при ближайшем рассмотрении баскетбольный мяч не подпрыгивает так высоко, как если бы теннисный мяч не находился на нем сверху и не передал часть своей энергии теннисному мячу, подталкивая его на большую высоту. ^[36]

Обычное объяснение предполагает рассмотрение двух отдельных ударов: удара баскетбольного мяча об пол и удара баскетбольного мяча о теннисный мяч. ^{[36] [37]} При абсолютно упругом столкновении баскетбольный мяч, ударяющийся об пол со скоростью 1 м/с, отскочит со скоростью 1 м/с. Теннисный мяч, летящий со скоростью 1 м/с, тогда будет иметь относительную скорость удара 2 м/с, что означает, что он будет отскакивать со скоростью 2 м/с относительно баскетбольного мяча или 3 м/с относительно пола, что утроит его скорость. скорость отскока по сравнению с ударом об пол. Это означает, что мяч отскочит на высоту, в 9 раз превышающую его первоначальную высоту. ^{[примечание 2]} В действительности из-за неупругих столкновений теннисный мяч увеличит свою скорость и высоту отскока в меньший раз, но все равно будет отскакивать быстрее и выше, чем он был бы сам по себе. ^[37]

Хотя предположения об отдельных ударах на самом деле неверны (шары остаются в тесном контакте друг с другом на протяжении большей части удара), эта модель, тем не менее, воспроизводит экспериментальные результаты с хорошим согласием ^[37] и часто используется для понимания более сложных явлений. такие как коллапс ядра сверхновых ^[36] или маневры гравитационной рогатки . ^[39]

Спортивный регламент

Руководящие органы некоторых видов спорта регулируют упругость мяча различными способами, некоторые прямыми, некоторые косвенными.

• AFL : Регулирует манометрическое давление футбольного мяча между62 кПа и76 кПа . ^[40]
• ФИБА : Регулирует манометрическое давление таким образом, чтобы баскетбольный мяч подпрыгивал на высоту от 1200 мм до 1400 мм (верхняя часть мяча), когда он падает с высоты 1800 мм (нижняя часть мяча). ^[41] Это примерно соответствует COR от 0,727 до 0,806. ^{[заметка 3]}
• FIFA : регулирует манометрическое давление футбольного мяча между0,6  атм и1,1 атм на уровне моря (от 61 до 111  кПа ). ^[42]
• FIVB : Регулирует манометрическое давление волейбольного мяча между0,30  кг Ф /см ² до0,325 кг _Ф /см ² (от 29,4 до 31,9 кПа) для волейбола в закрытых помещениях и0,175  кг Ф /см ² до0,225 кг _Ф /см ² (от 17,2 до 22,1 кПа) для пляжного волейбола . ^{[43] [44]}
• ITF : Регулирует высоту отскока теннисного мяча при падении на «гладкий, жесткий и горизонтальный блок большой массы». Для разных типов поверхностей разрешены разные типы мячей. При падении с высоты 100 дюймов (254 см) отскок должен составлять 54–60 дюймов (137–152 см) для мячей типа 1, 53–58 дюймов (135–147 см) для мячей типа 2 и типа 3. и 48–53 дюйма (122–135 см) для высотных мячей. ^[45] Это примерно соответствует COR 0,735–0,775 (шары типа 1), 0,728–0,762 (шары типов 2 и 3) и 0,693–0,728 (шары, высотные) при падении на испытательную поверхность. ^{[заметка 3]}
• ITTF : регулирует игровую поверхность так, что мяч для настольного тенниса отскакивает примерно на 23 см при падении с высоты 30 см. ^[46] Это примерно соответствует коэффициенту COR около 0,876 по отношению к игровой поверхности. ^{[заметка 3]}
• НБА : регулирует манометрическое давление баскетбольного мяча в пределах от 7,5 до 8,5  фунтов на квадратный дюйм (от 51,7 до 58,6 кПа). ^[47]
• НФЛ : Манометрическое давление в американском футболе регулируется на уровне от 12,5 до 13,5 фунтов на квадратный дюйм (от 86 до 93 кПа). ^[48]
• R&A / USGA : напрямую ограничивает COR мяча для гольфа , который не должен превышать 0,83 по отношению к клюшке для гольфа . ^[49]

Давление американского футбола было в центре спора о дефлатгате . ^{[50] [51]} Некоторые виды спорта не регулируют напрямую прыгающие свойства мячей, а вместо этого определяют метод конструкции. В бейсболе появление мяча на основе пробки помогло положить конец эпохе мертвого мяча и положить начало эпохе живого мяча . ^{[52] [53]}

Квантово-механический прыгающий мяч

Рассмотрим следующие возможности, которым подвергается прыгающий мяч:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}mgx&{\text{if }}x\geq 0\\\infty &{\text{if }}x<0\\\end{cases}}}$

Вышеупомянутые волновые функции могут быть решены методом ВКБ, рассматривая только решения нечетной четности альтернативного потенциала . Классические переломные моменты обозначены и . Таким образом, применяя условие квантования, полученное в WKB: ${\displaystyle V(x)=mg|x|}$ ${\textstyle x_{1}=-{E \over mg}}$ ${\textstyle x_{2}={E \over mg}}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n_{\text{odd}}+1/2)\pi \hbar }$$

Полагая где , решая для с заданным , мы получаем квантово-механическую энергию прыгающего мяча: ^[54] ${\textstyle n_{\text{odd}}=2n-1}$ ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$ ${\textstyle E}$ ${\displaystyle V(x)=mg|x|}$

$${\displaystyle E={\left(3\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \right)^{\frac {2}{3}} \over 2}(mg^{2}\hbar ^{2})^{\frac {1}{3}}.}$$

Этот результат также согласуется с использованием уравнения связанного состояния одной твердой стенки без необходимости рассмотрения альтернативного потенциала.

Смотрите также

• Прыгучий мяч
• Список игр с мячом

Примечания

1. Здесь v и u — это не только величина скоростей, но и их направление ( знак ).
2. Поскольку сохранение механической энергии предполагает , то пропорционально . ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}mv_{\text{f}}^{2}=mgH_{\text{f}}}$ ${\displaystyle \textstyle H_{\text{f}}}$ ${\displaystyle v_{\text{f}}^{2}}$
3. Рассчитано с использованием диаметра шара (если применимо). Расчет предполагает, что сопротивление воздуха незначительно. ${\displaystyle \textstyle e={\sqrt {\frac {H_{\text{f}}}{H_{\text{i}}}}}}$

Рекомендации

1. Уиттингтон, EM, изд. (2001). Спорт жизни и смерти: мезоамериканская игра в мяч . Темза и Гудзон . ISBN 0-500-05108-9.
2. Бранкацио, П.Дж. (1985). «Траектория полета мяча». Учитель физики . 23 (1): 20–23. Бибкод : 1985PhTea..23...20B. дои : 10.1119/1.2341702.
3. Уокер, Дж. (2014). Основы физики (10-е расширенное изд.). Джон Уайли и сыновья . Рисунок 4-8, с. 70. ИСБН 978-1-118-23072-5.
4. Буш, JWM (2013). «Аэродинамика красивой игры» (PDF) . В Кланете, К. (ред.). Спортивная физика . Les Éditions de l'École Polytechnique . п. 171. HDL : 1721.1/87576 . ISBN 978-2-7302-1615-9.
5. Хирт, К.; Классенс, С.; Фехер, Т.; Кун, М.; Пейл, Р.; Рексер, М. (2013). «Новая картина гравитационного поля Земли в сверхвысоком разрешении». Письма о геофизических исследованиях . 40 (16): 4279–4283. Бибкод : 2013GeoRL..40.4279H. дои : 10.1002/grl.50838 . hdl : 20.500.11937/46786 .
6. Нейв, Р. «Траектории». Гиперфизика . Проверено 27 января 2017 г.
7. «Свойства сухого воздуха». Инженерный набор инструментов . Проверено 11 февраля 2017 г.
8. Саутард, Дж. (осень 2006 г.). «Глава 3: Обтекание сферы II: закон Стокса, уравнение Бернулли, турбулентность, пограничные слои, отрыв потока» (PDF) . Специальные темы: Введение в движение жидкости, перенос отложений и осадочные структуры, генерируемые током . Массачусетский технологический институт . стр. 35–82. Архивировано из оригинала (PDF) 5 февраля 2017 г.
9. Мета, Р.Д. (2008). «Аэродинамика спортивного мяча». В Норструде, Х. (ред.). Спортивная аэродинамика . CISM Международный центр механических наук. Том. 506. Спрингер . стр. 229–331. дои : 10.1007/978-3-211-89297-8_12. ISBN 978-3-211-89296-1.
10. «Перетаскивание сферы». НАСА .
11. «Идеальный подъем вращающегося мяча» . НАСА . Проверено 2 февраля 2017 г.
12. Натан, AM (2008). «Влияние вращения на полет бейсбольного мяча» (PDF) . Американский журнал физики . 76 (2): 119–124. arXiv : физика/0605041 . Бибкод : 2008AmJPh..76..119N. дои : 10.1119/1.2805242. S2CID  15494386.
13. Ким, Дж.; Парк, Х.; Чой, Х.; Ю, JY (2011). «Обратный эффект Магнуса на вращающейся сфере» (PDF) . 64-е ежегодное собрание отдела гидродинамики APS . Американское физическое общество . Бибкод : 2011APS..DFD.A7008K.
14. Ким, Дж.; Чой, Х.; Парк, Х.; Ю, JY (2014). «Обратный эффект Магнуса на вращающейся сфере: когда и почему». Журнал механики жидкости . 754 : Р2. Бибкод : 2014JFM...754R...2K. дои : 10.1017/jfm.2014.428. S2CID  122453684.
15. «Эффект Магнуса». HumanKinetics.com . 11 ноября 2008 г. Архивировано из оригинала 28 декабря 2018 г. Проверено 27 января 2017 г.
16. ДеФорест, К. (1997). «Почему мячи для гольфа с ямочками?». Оригинальный FAQ по физике Usenet . Архивировано из оригинала 23 июля 2019 г. Проверено 27 января 2017 г.
17. Кланет, К. (2015). «Спортивная баллистика» (PDF) . Ежегодный обзор механики жидкости . 47 : 455–478. Бибкод : 2015AnRFM..47..455C. doi : 10.1146/annurev-fluid-010313-141255.
18. "Инзамам обвинен МУС" . Хранитель . 21 августа 2006 года . Проверено 28 января 2017 г.
19. Окрент, Д.; Вульф, С. (1989). Анекдоты о бейсболе. Издательство Оксфордского университета . п. 89. ИСБН 978-0-19-504396-9.
20. Post, С. (2010). Прикладная и вычислительная механика жидкости. Издательство Джонс и Бартлетт . стр. 280–282. ISBN 978-1-934015-47-6.
21. Кросс, Р. (1999). «Отскок мяча» (PDF) . Американский журнал физики . 67 (3): 222–227. Бибкод : 1999AmJPh..67..222C. дои : 10.1119/1.19229.
22. Георгаллас, А.; Лэндри, Г. (2016). «Коэффициент восстановления шариков под давлением: механистическая модель». Канадский физический журнал . 94 (1): 42. Бибкод : 2016CaJPh..94...42G. doi : 10.1139/cjp-2015-0378. hdl : 1807/69855 .
23. «Коэффициент реституции». RacquetResearch.com . Архивировано из оригинала 23 ноября 2016 г. Проверено 27 января 2017 г.
24. Кросс, Р.; Натан, AM (2006). «Разбрасывание бейсбольного мяча битой». Американский журнал физики . 74 (10): 896–904. arXiv : физика/0605040 . Бибкод : 2006AmJPh..74..896C. дои : 10.1119/1.2209246. S2CID  15488042.
25. Харон, А.; Исмаил, Калифорния (2012). «Коэффициент возврата спортивных мячей: обычное испытание на падение». Серия конференций IOP: Материаловедение и инженерия . 36 (1): 012038. Бибкод : 2012MS&E...36a2038H. дои : 10.1088/1757-899X/36/1/012038 .
26. Кросс, Р. (2000). «Коэффициент возмещения столкновений счастливых, несчастливых и теннисных мячей» (PDF) . Американский журнал физики . 68 (11): 1025–1031. Бибкод : 2000AmJPh..68.1025C. дои : 10.1119/1.1285945.
27. Кросс, Р. (2002). «Поведение прыгающего мяча при сцеплении и скольжении» (PDF) . Американский журнал физики . 70 (11): 1093–1102. Бибкод : 2002AmJPh..70.1093C. дои : 10.1119/1.1507792.
28. Чжан, X.; Ву-Куок, Л. (2002). «Моделирование зависимости коэффициента восстановления от скорости удара при упругопластических столкновениях». Международный журнал ударной инженерии . 27 (3): 317–341. дои : 10.1016/S0734-743X(01)00052-5.
29. Хессер-Нолл, М. (2014). «Вращение мяча при отскоке». Физика тенниса . Университет Аляски в Фэрбенксе . Проверено 1 февраля 2017 г.
30. Линдси, К. (апрель 2004 г.). «Следуй за прыгающим мячом». Теннисная индустрия . Проверено 1 февраля 2017 г.
31. Аллен, Т.; Хааке, С.; Гудвилл, С. (2010). «Влияние трения на удары теннисного мяча». Труды Института инженеров-механиков, Часть P. 224 (3): 229–236. дои : 10.1243/17543371JSET66.
32. Кросс, Р. (2005). «Отскок вращающегося мяча при нормальном падении» (PDF) . Американский журнал физики . 73 (10): 914–920. Бибкод : 2005AmJPh..73..914C. дои : 10.1119/1.2008299.
33. Аллен, Т. (2012). «Мяч на вашей стороне» (PDF) . ANSYS Advantage (эксклюзивно для Интернета). Архивировано из оригинала (PDF) 5 февраля 2017 г.
34. Джафри, СММ (2004). Моделирование динамики удара теннисного мяча о плоскую поверхность (PDF) (Диссертация). Техасский университет A&M . hdl : 1969.1/2441 .
35. Кросс, Р. (2011). «Отскок футбольного мяча овальной формы» (PDF) . Спортивные технологии . 3 (3): 168–180. дои : 10.1080/19346182.2011.564283. S2CID  108409393.
36. Хюбнер, Дж. С.; Смит, ТЛ (1992). «Мультишаровые столкновения». Учитель физики . 30 (1): 46. Бибкод : 1992PhTea..30...46H. дои : 10.1119/1.2343467.
37. Кросс, Р. (2007). «Вертикальный отскок двух вертикально выровненных мячей» (PDF) . Американский журнал физики . 75 (11): 1009–1016. Бибкод : 2007AmJPh..75.1009C. дои : 10.1119/1.2772286.
38. Хартер, WG (1971). «Усиление скорости в экспериментах по столкновению супершаров» (PDF) . Американский журнал физики . 39 (6): 656–663. Бибкод : 1971AmJPh..39..656H. дои : 10.1119/1.1986253.
39. Нейв, Р. «Двойное падение мяча». Гиперфизика . Проверено 28 января 2017 г.
40. Законы австралийского футбола 2017 г. (PDF) . АФЛ . 2017. с. 15 . Проверено 19 января 2018 г.
41. Официальные правила баскетбола 2014. Баскетбольное оборудование (PDF) . ФИБА . 2014. с. 12. Архивировано из оригинала (PDF) 8 сентября 2014 г.
42. Правила игры: 2014–15 (PDF) . ФИФА . 2014. с. 15.
43. Официальные правила волейбола: 2017–2020 (PDF) . ФИВБ . 2016. с. 16.
44. Официальные правила пляжного волейбола: 2017–2020 гг. (PDF) . ФИВБ . 2017. с. 15.
45. Теннисные мячи, классифицированные покрытия и признанные корты, одобренные ITF (PDF) . ИТФ . 2016. стр. 4–5.
46. Справочник Международной федерации настольного тенниса (PDF) . ИТТФ . 2017. с. 24. Архивировано из оригинала (PDF) 24 апреля 2018 г. Проверено 20 октября 2017 г.
47. Официальные правила Национальной баскетбольной ассоциации: 2013–2014 (PDF) . НБА . 2013. с. 10.
48. Официальные правила игры Национальной футбольной лиги (PDF) . НФЛ . 2016. с. 3.
49. Рубинштейн, Л. (11 мая 2002 г.). «Наконец-то добрались до COR игры». Глобус и почта . Проверено 27 января 2017 г.
50. Ботельо, Г.; Кастильо, М. (11 мая 2015 г.). «' Deflategate:' дисквалификация Тома Брэди на 4 игры» . CNN . Проверено 27 января 2017 г.
51. Ну, младший, ТВ; Карп, Б.С.; Рейснер, LL (2015). Отчет о расследовании использования футбольных мячей во время матча чемпионата AFC 18 января 2015 г. (PDF) . Пол, Вайс, Рифкинд, Уортон и Гаррисон ЛЛП .
52. «Эволюция мяча»  . Бейсбольный дайджест : 67. Июль 1963 г.
53. Соуэлл, Т. (2011). «Мертвый мяч против живого мяча». Читатель Томаса Соуэлла . Основные книги . ISBN 9780465022502.
54. Сакураи, Джун Джон; Наполитано, Джим (2021). Современная квантовая механика (3-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-108-47322-4.

дальнейшее чтение

• Бриггс, ЖЖ (1945). «Методы измерения коэффициента восстановления и вращения мяча». Журнал исследований Национального бюро стандартов . 34 (1): 1–23. дои : 10.6028/jres.034.001 .
• Кросс, Р. (2011). Физика бейсбола и софтбола . Спрингер . ISBN 978-1-4419-8112-7.
• Кросс, Р. (июнь 2014 г.). «Физика отскока». Сиднейский университет .
• Кросс, Р. (2015). «Поведение прыгающего мяча». Физическое образование . 50 (3): 335–341. Бибкод : 2015PhyEd..50..335C. дои : 10.1088/0031-9120/50/3/335. S2CID  122366736.
• Стронг, WJ (2004). Ударная механика . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-60289-1.
• Эрлихсон, Герман (1983). «Максимальная дальность полета снаряда с сопротивлением и подъемной силой, особенно для гольфа». Американский журнал физики . 51 (4): 357–362. Бибкод : 1983AmJPh..51..357E. дои : 10.1119/1.13248 . Проверено 29 апреля 2013 г.