Подразумеваемая волатильность

Финансовая математическая мера

В финансовой математике подразумеваемая волатильность ( IV ) опционного контракта — это значение волатильности базового инструмента , которое при вводе в модель ценообразования опциона (обычно Блэка-Шоулза ) вернет теоретическое значение, равное цене опциона. Неопционный финансовый инструмент , имеющий встроенную опциональность, например, ограничение процентной ставки , также может иметь подразумеваемую волатильность. Подразумеваемая волатильность, ориентированная на будущее и субъективная мера, отличается от исторической волатильности, поскольку последняя рассчитывается на основе известных прошлых доходностей ценной бумаги . Чтобы понять, где находится подразумеваемая волатильность с точки зрения базового инструмента, ранг подразумеваемой волатильности используется для понимания его подразумеваемой волатильности от годового максимума и минимума IV.

Мотивация

Модель ценообразования опциона, например, Блэка-Шоулза, использует различные входные данные для получения теоретической стоимости опциона. Входные данные для моделей ценообразования различаются в зависимости от типа опциона, по которому проводится оценка, и используемой модели ценообразования. Однако, в общем, стоимость опциона зависит от оценки будущей реализованной волатильности цены, σ, базового актива. Или, математически:

${\displaystyle C=f(\sigma ,\cdot )\,}$

где C — теоретическая стоимость опциона, а f — модель ценообразования, которая зависит от σ и других входных данных.

Функция f монотонно возрастает по σ, что означает, что более высокое значение волатильности приводит к более высокой теоретической стоимости опциона. Наоборот, по теореме об обратной функции может быть максимум одно значение для σ, которое при применении в качестве входных данных к приведет к определенному значению для C. ${\displaystyle f(\sigma ,\cdot )\,}$

Другими словами, предположим, что существует некоторая обратная функция g = f ⁻¹ , такая, что

${\displaystyle \sigma _{\bar {C}}=g({\bar {C}},\cdot )\,}$

где - рыночная цена опциона. Значение - это волатильность, подразумеваемая рыночной ценой , или подразумеваемая волатильность . ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {C}}\,}$ ${\displaystyle \sigma _{\bar {C}}\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {C}}\,}$

В общем случае невозможно дать замкнутую форму формулы для подразумеваемой волатильности в терминах цены колл (для обзора см. ^[1] ). Однако в некоторых случаях (большой страйк, низкий страйк, короткое истечение, большое истечение) можно дать асимптотическое расширение подразумеваемой волатильности в терминах цены колл. ^[2] Также был исследован другой подход, основанный на приближениях замкнутой формы. ^{[3] [4]}

Пример

Европейский опцион колл , , на одну акцию не выплачивающей дивиденды XYZ Corp с ценой исполнения $50 истекает через 32 дня. Безрисковая процентная ставка составляет 5%. Акции XYZ в настоящее время торгуются по $51,25, а текущая рыночная цена составляет $2,00. Используя стандартную модель ценообразования Блэка-Шоулза, волатильность, подразумеваемая рыночной ценой, составляет 18,7%, или: ${\displaystyle C_{XYZ}}$ ${\displaystyle C_{XYZ}}$ ${\displaystyle C_{XYZ}}$

${\displaystyle \sigma _{\bar {C}}=g({\bar {C}},\cdot )=18.7\%}$

Для проверки мы применяем подразумеваемую волатильность к модели ценообразования f и генерируем теоретическое значение $2,0004:

${\displaystyle C_{theo}=f(\sigma _{\bar {C}},\cdot )=\$2.0004}$

что подтверждает наши расчеты предполагаемой волатильности рынка.

Решение функции обратной модели ценообразования

В общем случае функция ценовой модели f не имеет замкнутого решения для своей обратной функции g . Вместо этого для решения уравнения часто используется метод поиска корня :

${\displaystyle f(\sigma _{\bar {C}},\cdot )-{\bar {C}}=0\,}$

Хотя существует множество методов поиска корней, два из наиболее часто используемых — это метод Ньютона и метод Брента . Поскольку цены опционов могут меняться очень быстро, часто важно использовать наиболее эффективный метод при расчете подразумеваемой волатильности.

Метод Ньютона обеспечивает быструю сходимость; однако, он требует первой частной производной теоретической стоимости опциона относительно волатильности; т. е. , которая также известна как вега (см. Греки ). Если функция модели ценообразования дает решение в замкнутой форме для вега , что имеет место для модели Блэка-Шоулза , то метод Ньютона может быть более эффективным. Однако для большинства практических моделей ценообразования, таких как биномиальная модель , это не так, и вега должна быть выведена численно. Когда приходится решать для вега численно, можно использовать метод Кристофера и Салкина или, для более точного расчета подразумеваемой волатильности вне денег, можно использовать модель Коррадо-Миллера. ^[5] ${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial \sigma }}\,}$

В частности, в случае модели Блэка [-Шоулза-Мертона] метод Джекеля "Let's Be Rational" ^[6] вычисляет подразумеваемую волатильность до полной достижимой (стандартная 64-битная плавающая точка) машинной точности для всех возможных входных значений за время менее микросекунды. Алгоритм включает начальное предположение, основанное на согласованных асимптотических разложениях, плюс (всегда точно) два шага улучшения Хаусхолдера (сходимости порядка 4), что делает эту процедуру трехшаговой (т. е. неитеративной). Справочная реализация ^[7] на языке C++ доступна бесплатно. Помимо вышеупомянутых методов поиска корня , существуют также методы, которые аппроксимируют многомерную обратную функцию напрямую. Часто они основаны на полиномах или рациональных функциях . ^[8]

Для модели Башелье («нормальной», в отличие от «логарифмически нормальной») Йекель ^[9] опубликовал полностью аналитическую и сравнительно простую двухэтапную формулу, которая дает полную достижимую (стандартную 64-битную с плавающей точкой) машинную точность для всех возможных входных значений.

Параметризация подразумеваемой волатильности

С появлением больших данных и науки о данных параметризация подразумеваемой волатильности приобрела центральное значение для целей согласованной интерполяции и экстраполяции. Классическими моделями являются модели SABR и SVI с их расширением IVP. ^[10]

Подразумеваемая волатильность как мера относительной стоимости

Как утверждает Брайан Бирн, подразумеваемая волатильность опциона является более полезной мерой относительной стоимости опциона, чем его цена. Причина в том, что цена опциона напрямую зависит от цены его базового актива. Если опцион удерживается как часть дельта-нейтрального портфеля (то есть портфеля, который застрахован от небольших изменений в цене базового актива), то следующим по важности фактором в определении стоимости опциона будет его подразумеваемая волатильность.

Подразумеваемая волатильность настолько важна, что опционы часто котируются с точки зрения волатильности, а не цены, особенно среди профессиональных трейдеров.

Пример

Опцион колл торгуется по $1,50 с базовым активом по $42,05. Подразумеваемая волатильность опциона определяется как 18,0%. Некоторое время спустя опцион торгуется по $2,10 с базовым активом по $43,34, что дает подразумеваемую волатильность 17,2%. Несмотря на то, что цена опциона выше при втором измерении, он все равно считается более дешевым на основе волатильности. Причина в том, что базовый актив, необходимый для хеджирования опциона колл, может быть продан по более высокой цене.

В качестве цены

Другой способ взглянуть на подразумеваемую волатильность — думать о ней как о цене, а не как о мере будущих движений акций. С этой точки зрения, это просто более удобный способ сообщать цены опционов, чем валюту. Цены по своей природе отличаются от статистических величин: можно оценить волатильность будущих базовых доходов, используя любой из большого количества методов оценки; однако полученное число не является ценой. Цена требует двух контрагентов, покупателя и продавца. Цены определяются спросом и предложением. Статистические оценки зависят от временного ряда и математической структуры используемой модели. Ошибочно путать цену, которая подразумевает транзакцию, с результатом статистической оценки, которая является просто тем, что получается в результате расчета. Подразумеваемая волатильность — это цена: она была получена из фактических транзакций. В этом свете не должно удивлять, что подразумеваемая волатильность может не соответствовать тому, что предсказывает конкретная статистическая модель.

Однако вышеприведенная точка зрения игнорирует тот факт, что значения подразумеваемой волатильности зависят от модели, используемой для их расчета: разные модели, применяемые к одним и тем же ценам рыночных опционов, дадут разные подразумеваемые волатильности. Таким образом, если принять этот взгляд на подразумеваемую волатильность как на цену, то придется также признать, что не существует уникальной цены подразумеваемой волатильности и что покупатель и продавец в одной и той же сделке могут торговать по разным «ценам».

Непостоянная подразумеваемая волатильность

В целом, опционы, основанные на одном и том же базовом активе, но с разными значениями страйка и временем истечения, дадут разную подразумеваемую волатильность. Это можно рассматривать как доказательство того, что волатильность базового актива не является постоянной, а зависит от таких факторов, как уровень цен или время, или это можно рассматривать как доказательство того, что изменения цены базового актива не следуют распределению, которое предполагается в рассматриваемой модели (например, Блэка-Шоулза). Существует несколько известных параметризаций поверхности волатильности (Schonbusher, SVI и gSVI), а также их методологий деарбитражирования. ^[11] См. стохастическую волатильность и улыбку волатильности для получения дополнительной информации.

Инструменты волатильности

Инструменты волатильности — это финансовые инструменты, которые отслеживают значение подразумеваемой волатильности других производных ценных бумаг. Например, индекс волатильности CBOE ( VIX ) рассчитывается на основе средневзвешенного значения подразумеваемой волатильности различных опционов на индекс S&P 500. Существуют также другие часто упоминаемые индексы волатильности, такие как индекс VXN ( мера волатильности фьючерсов индекса Nasdaq 100), QQV (мера волатильности QQQ), IVX — индекс подразумеваемой волатильности (ожидаемая волатильность акций в течение будущего периода для любых ценных бумаг США и биржевых инструментов), а также опционы и фьючерсные деривативы, основанные непосредственно на этих индексах волатильности.

Смотрите также

• Форвардная волатильность
• Опцион на реализованную дисперсию
• Риск волатильности

Ссылки

1. Орландо, Джузеппе; Тальялатела, Джованни (15.08.2017). «Обзор расчета подразумеваемой волатильности». Журнал вычислительной и прикладной математики . 320 : 202–220. doi : 10.1016/j.cam.2017.02.002 . ISSN  0377-0427.
2. Асимптотические разложения логнормальной подразумеваемой волатильности, Grunspan, C. (2011)
3. Mininni, Michele; Orlando, Giuseppe; Taglialatela, Giovanni (2021-06-01). «Проблемы аппроксимации формулы вызова Блэка и Шоулза с помощью гиперболических тангенсов». Решения по экономике и финансам . 44 (1): 73–100. arXiv : 1810.04623 . doi :10.1007/s10203-020-00305-8. ISSN  1129-6569. S2CID  224879802.
4. Mininni, Michele; Orlando, Giuseppe; Taglialatela, Giovanni (2022), Обобщенный вывод подразумеваемой волатильности Блэка-Шоулза через гиперболические касательные, Argumenta Oeconomica, 2022, № 2 (49) , получено 11 декабря 2022 г.
5. Акке, Рональд. «Численные методы подразумеваемой волатильности». RonAkke.com . Получено 9 июня 2014 г.
6. Jaeckel, P. (январь 2015), «Давайте будем рациональными», Wilmott Magazine , 2015 (75): 40–53, doi :10.1002/wilm.10395
7. Jaeckel, P. (2013). «Эталонная реализация «Давайте будем рациональными»». www.jaeckel.org .
8. Салазар Селис, О. (2018). «Параметризованное барицентрическое приближение для обратных задач с применением к формуле Блэка–Шоулза». Журнал численного анализа IMA . 38 (2): 976–997. doi :10.1093/imanum/drx020. hdl : 10067/1504500151162165141 .
9. Jaeckel, P. (март 2017 г.). «Подразумеваемая нормальная волатильность». Wilmott Magazine : 52–54. Примечание. Печатная версия содержит ошибки набора формул, которые были исправлены на сайте www.jaeckel.org.
10. Махдави-Дамгани, Бабак (25 июня 2015 г.). «Введение в параметризацию поверхности подразумеваемой волатильности (IVP)». SSRN  2686138.
11. Махдави Дамгани, Бабак (2013). «Де-арбитраж со слабой улыбкой: применение для отклонения риска». Wilmott . 2013 (1): 40–49. doi :10.1002/wilm.10201. S2CID  154646708.

Дальнейшее чтение

• Бекерс, С. (1981), «Стандартные отклонения, подразумеваемые в ценах опционов, как предикторы будущей изменчивости цен акций», Журнал банковского дела и финансов , 5 (3): 363–381, doi :10.1016/0378-4266(81)90032-7 , получено 07.07.2009
• Мэйхью, С. (1995), «Подразумеваемая волатильность», Financial Analysts Journal , 51 (4): 8–20, doi :10.2469/faj.v51.n4.1916
• Corrado, CJ; Su, T. (1997), "Предполагаемые перекосы волатильности и перекосы фондовых индексов и эксцесс, подразумеваемые S" (PDF) , The Journal of Derivatives (ЛЕТО 1997), doi :10.3905/jod.1997.407978, S2CID  154383156 , получено 07.07.2009
• Гранспан, К. (2011), «Заметка об эквивалентности нормальной и логнормальной подразумеваемой волатильности: подход, свободный от модели», SSRN  1894652
• Гранспан, К. (2011), «Асимптотические разложения для подразумеваемой логнормальной волатильности в подходе, свободном от моделей», SSRN  1965977
• Триппи, Роберт (1978). «Ожидания волатильности акций, подразумеваемые премией опциона». Журнал финансов . 33 : 1–15 – через JSTOR.

Внешние ссылки

• Расчет подразумеваемой волатильности от Serdar SEN
• Калькулятор визуальной подразумеваемой волатильности. Архивировано 08.02.2017 на Wayback Machine.
• Рассчитать бету в Excel