Подсчет Борды представляет собой семейство правил позиционного голосования , которые дают каждому кандидату в каждом бюллетене количество баллов, соответствующее количеству кандидатов, имеющих более низкий рейтинг. В исходном варианте кандидат с самым низким рейтингом получает 0 баллов, следующий с худшим рейтингом получает 1 балл и т. д., а кандидат с самым высоким рейтингом получает n − 1 баллов, где n — количество кандидатов. После подсчета всех голосов победителем становится вариант или кандидат, набравший наибольшее количество баллов. Подсчет голосов в Борде предназначен для избрания широко приемлемых вариантов или кандидатов, а не тех, которых предпочитает большинство, и поэтому его часто называют системой голосования, основанной на консенсусе, а не мажоритарной. [1]
Счет Борда разрабатывался независимо несколько раз, впервые предложенный в 1435 году Николаем Кузанским (см. Историю ниже), [2] [3] [примечание 1] , но назван в честь французского математика и военно-морского инженера 18-го века Жана-Шарля. де Борда , который разработал систему в 1770 году. [4] В настоящее время она используется для избрания двух членов Национального собрания Словении из числа этнических меньшинств , [5] в измененных формах для определения того, какие кандидаты избираются на места по партийному списку в исландском парламенте. выборов , а также для выбора кандидатов на президентских выборах в Кирибати . Вариант, известный как система Даудалла, используется для избрания членов парламента Науру . [6] До начала 1970-х годов в Финляндии использовался другой вариант отбора отдельных кандидатов в партийных списках. Он также используется во всем мире различными частными организациями и соревнованиями.
При подсчете Модифицированного Борда любые варианты без рейтинга получают 0 баллов, самый низкий рейтинг получает 1, следующий с наименьшим рейтингом получает 2 и т. д., вплоть до возможного максимума n баллов для варианта с самым высоким рейтингом, если все варианты имеют рейтинг. Система квот Борда является еще одним вариантом, используемым для достижения пропорционального представительства при голосовании с несколькими победителями .
Подсчет Борда представляет собой ранжированную систему голосования : избиратель ранжирует список кандидатов в порядке предпочтения. Так, например, избиратель ставит 1 балл своему наиболее предпочтительному кандидату, 2 — второму наиболее предпочтительному кандидату и так далее. В этом отношении это то же самое, что выборы в рамках таких систем, как мгновенный второй тур голосования , единый передаваемый голос или методы Кондорсе . Целочисленные ранги для оценки кандидатов были обоснованы Лапласом , который использовал вероятностную модель, основанную на законе больших чисел .
Подсчет Борда относится к позиционной системе голосования , то есть учитываются все предпочтения, но по разным значениям; Другая широко используемая позиционная система - это множественное голосование (при котором лучшему кандидату присваивается только одно очко). Напротив, при мгновенном втором туре голосования и однократном передаваемом голосовании используется ранжированное голосование (аналогично подсчету Борда), но в этих системах вторичные предпочтения представляют собой резервные голоса, используемые только в том случае, если более высокое предпочтение было отклонено.
Существует несколько способов оценки кандидатов по системе Борда, и у нее есть вариант (система Даудолла), который существенно отличается.
Существуют также альтернативные способы урегулирования связей. Это незначительная деталь, ошибочные решения которой могут увеличить риск тактических манипуляций; это подробно обсуждается ниже.
Каждому кандидату присваивается количество баллов из каждого бюллетеня, равное числу кандидатов, которым он отдается предпочтение, так что из n кандидатов каждый получает n – 1 балла за первое предпочтение, n – 2 за второе, и так далее. [7] Победителем признается кандидат, набравший наибольшее общее количество баллов. Например, при выборах четырех кандидатов количество баллов, присваиваемых за предпочтения, выраженные избирателем в одном избирательном бюллетене, может составлять:
Предположим, что есть 3 избирателя, U , V и W , из которых U и V ранжируют кандидатов в порядке ABCD, а W ранжирует их в BCDA.
Таким образом, Брайан избирается.
Более длинный пример, основанный на фиктивных выборах столицы штата Теннесси, показан ниже.
Согласно предложенной Бордой системе, каждый кандидат получал на одно очко больше за каждый поданный бюллетень, чем при турнирном подсчете голосов, например, 4-3-2-1 вместо 3-2-1-0. Этот метод подсчета используется на парламентских выборах в Словении на 2 места из 90. [6]
В применении к предыдущему примеру подсчет Борды приведет к следующему результату: каждый кандидат получит на 3 очка больше, чем при турнирном подсчете.
В оставшейся части статьи будет рассмотрен подсчет в турнирном стиле.
Островное государство Науру использует вариант, называемый системой Даудалла: [8] [6] избиратель награждает кандидата, занявшего первое место, 1 баллом, в то время как кандидат, занявший 2-е место, получает 1 ⁄ очка , кандидат, занявший 3-е место, получает 1/3 балла и т. д. (Эту систему не следует путать с использованием последовательных делителей в пропорциональных системах, таких как пропорциональное голосование за одобрение , несвязанный метод.) Аналогичная система взвешивания голосов с более низким предпочтением использовалась в 1925 году. Первичная избирательная система Оклахомы .
Используя приведенный выше пример, в Науру распределение баллов между четырьмя кандидатами будет следующим:
Этот метод более благоприятен для кандидатов со многими первыми предпочтениями, чем традиционный подсчет Борда. Ее описывают как систему «где-то между плюрализмом и подсчетом Борда, но больше склоняющуюся к множественности». [6] Моделирование показывает, что 30% выборов в Науру приведут к разным результатам, если подсчитывать их с использованием стандартных правил Борда. [6]
Система была разработана министром юстиции Науру ирландцем Десмондом Даудаллом в 1971 году. [6]
Кондорсе рассматривал выборы как попытку объединить оценщиков. Предположим, что у каждого кандидата есть показатель достоинств и что каждый избиратель имеет зашумленную оценку ценности каждого кандидата. Избирательный бюллетень позволяет избирателю ранжировать кандидатов в порядке предполагаемых заслуг. Цель выборов – составить совокупную оценку лучшего кандидата. Такая оценка может быть более надежной, чем любой из ее отдельных компонентов. Применяя этот принцип к решениям присяжных, Кондорсе вывел свою теорему о том, что достаточно большое жюри всегда принимает правильное решение. [9]
Пейтон Янг показал, что подсчет Борда дает приблизительно максимальную оценку правдоподобия лучшего кандидата. [10] Его теорема предполагает, что ошибки независимы, другими словами, если избиратель высоко оценивает конкретного кандидата, то нет никаких оснований ожидать, что он высоко оценит «похожих» кандидатов. Если это свойство отсутствует (если избиратель дает коррелированные рейтинги кандидатам с общими атрибутами), то свойство максимального правдоподобия теряется, и на счет Борда влияют эффекты номинации: кандидат с большей вероятностью будет избран, если есть похожие кандидаты бюллетень.
Янг показал, что метод Кемени-Янга является точным методом оценки максимального правдоподобия рейтинга кандидатов. Он подразумевает процедуру голосования, которая удовлетворяет критерию Кондорсе, но является вычислительно обременительной.
.png/1280px-Borda_(dependence_on_irrelevant_alternatives).png)
Подсчет Борды особенно подвержен искажениям из-за присутствия кандидатов, которые сами не учитываются, даже если избиратели лежат в одном спектре. Системы голосования, удовлетворяющие критерию Кондорсе , защищены от этого недостатка, поскольку они автоматически также удовлетворяют теореме о медианном избирателе , которая гласит, что победителем на выборах будет кандидат, которого предпочитает медианный избиратель, независимо от того, какие кандидаты баллотируются.
Предположим, что есть 11 избирателей, чьи позиции в спектре можно записать 0, 1, ..., 10, и предположим, что есть 2 кандидата, Эндрю и Брайан, чьи позиции показаны так:
Медианный избиратель Марлен находится на позиции 5, и оба кандидата находятся справа от нее, поэтому мы ожидаем, что А будет избран. Мы можем проверить это для системы Борда, построив таблицу, иллюстрирующую подсчет. В основной части таблицы показаны избиратели, которые предпочитают первого кандидата второму, как указано в заголовках строк и столбцов, а в дополнительном столбце справа указаны баллы первого кандидата.
А действительно избран.
Но теперь предположим, что на выборы выйдут еще два кандидата, расположенные правее.
Таблица подсчета расширяется следующим образом:
Участие двух фиктивных кандидатов позволяет B победить на выборах.
Этот пример подтверждает комментарий маркиза де Кондорсе, который утверждал, что счетчик Борда «при формировании своих суждений опирается на несущественные факторы» и, следовательно, «не может не привести к ошибке». [6]
There are a number of formalised voting system criteria whose results are summarised in the following table.
Simulations show that Borda has a high probability of choosing the Condorcet winner when one exists, in the absence of strategic voting and with all ballots ranking all candidates.[2][6]
Several different methods of handling ties have been suggested. They can be illustrated using the 4-candidate election discussed previously.
Tournament-style counting can be extended to allow ties anywhere in a voter's ranking by assigning each candidate half a point for every other candidate he or she is tied with, in addition to a whole point for every candidate he or she is strictly preferred to.
In the example, suppose that a voter is indifferent between Andrew and Brian, preferring both to Catherine and Catherine to David. Then Andrew and Brian will each receive 21⁄2 points, Catherine will receive 1, and David none. This is referred to as "averaging" by Narodytska and Walsh.[11]
In Borda's system as originally proposed, ties were allowed only at the end of a voter's ranking, and each tied candidate was given the minimum number of points. So if a voter marks Andrew as his or her first preference, Brian as his or her second, and leaves Catherine and David unranked (called "truncating the ballot"), then Andrew will receive 3 points, Brian 2, and Catherine and David none. This is an example of what Narodytska and Walsh call "rounding up".
The "modified Borda count" again allows ties only at the end of a voter's ranking. It gives no points to unranked candidates, 1 point to the least preferred of the ranked candidates, etc. So if a voter ranks Andrew above Brian and leaves other candidates unranked, Andrew will receive 2 points, Brian will receive 1 point, and Catherine and David will receive none. This is equivalent to "rounding down". The most preferred candidate on a ballot paper will receive a different number of points depending on how many candidates were left unranked.
Rounding up penalises unranked candidates (they share fewer points than they would if they were ranked), while rounding down rewards them. Both methods encourage undesirable behaviour from voters.
Suppose that there are two candidates: A with 100 supporters and C with 80. A will win by 100 points to 80.
Now suppose that a third candidate B is introduced, who is a clone of C, and that the modified Borda count is used. Voters who prefer B and C to A have no way of indicating indifference between them, so they will choose a first preference at random, voting either B-C-A or C-B-A. Supporters of A can show a tied preference between B and C by leaving them unranked (although this is not possible in Nauru). B and C will each receive about 120 votes, while A receives 100.
But if A can persuade his supporters to rank B and C randomly, he will win with 200 points, while B and C each receive about 170.
If ties were averaged (i.e., used tournament counting), then the appearance of B as a clone of C would make no difference to the result; A would win as before, regardless of whether voters truncated their ballots or made random choices between B and C.
A similar example can be constructed to show the bias of rounding up. Suppose that A and C are as before, but that B is now a near-clone of A, preferred to A by male voters but rated lower by females. About 50 voters will vote A-B-C, about 50 B-A-C, about 40 C-A-B and about 40 C-B-A. A and B will each receive about 190 votes, while C will receive 160.
But if ties are resolved according to Borda's proposal, and if C can persuade her supporters to leave A and B unranked, then there will be about 50 A-B-C ballots, about 50 B-A-C and 80 truncated to just C. A and B will each receive about 150 votes, while C receives 160.
Again, if tournament counting of ties was used, truncating ballots would make no difference, and the winner would be either A or B.
Borda's method has often been accused of being susceptible to tactical voting, which is partly due to its association with biased methods of handling ties. The French Academy of Sciences (of which Borda was a member) experimented with Borda's system but abandoned it, in part because "the voters found how to manipulate the Borda rule: not only by putting their most dangerous rival at the bottom of their lists, but also by truncating their lists".[12] In response to the issue of strategic manipulation in the Borda count, M. de Borda said: "My scheme is intended for only honest men".[7][12]
Tactical voting is common in Slovenia, where truncated ballots are allowed; a majority of voters bullet-vote, with only 42% of voters ranking a second-preference candidate. As with Borda's original proposal, ties are handled by rounding down (or sometimes by ultra-rounding, unranked candidates being given one less point than the minimum for ranked candidates).[6]
Ties are not allowed: Nauru voters are required to rank all candidates, and ballots that fail to do so are rejected.[6]
Some implementations of Borda voting require voters to truncate their ballots to a certain length:
The system invented by Borda was intended for use in elections with a single winner, but it is also possible to conduct a Borda count with more than one winner, by recognizing the desired number of candidates with the most points as the winners. In other words, if there are two seats to be filled, then the two candidates with most points win; in a three-seat election, the three candidates with most points, and so on. In Nauru, which uses the multi-seat variant of the Borda count, parliamentary constituencies of two and four seats are used.
The quota Borda system is a system of proportional representation in multi-seat constituencies that uses the Borda count. Chris Geller's STV-B uses vote count quotas to elect, but eliminates the candidate with the lowest Borda score; Geller-STV does not recalculate Borda scores after partial vote transfers, meaning partial-transfer of votes affects voting power for election but not for elimination.[citation needed]
Nanson's and Baldwin's methods are Condorcet-consistent voting methods based on the Borda score. Both are run as series of elimination rounds analogous to instant-runoff voting. In the first case, in each round every candidate with less than the average Borda score is eliminated; in the second, the candidate with lowest score is eliminated. Unlike the Borda count, Nanson and Baldwin are majoritarian and Condorcet methods because they use the fact that a Condorcet winner always has a higher-than-average Borda score relative to other candidates, and the Condorcet loser a lower than average Borda score.[15] However they are not monotonic.
Borda counts are vulnerable to manipulation by both tactical voting and strategic nomination. The Dowdall system may be more resistant, based on observations in Kiribati using the modified Borda count versus Nauru using the Dowdall system,[8] but little research has been done thus far on the Nauru system.
Borda counts are unusually vulnerable to tactical voting, even compared to most other voting systems.[16] Voters who vote tactically, rather than via their true preference, will be more influential; more alarmingly, if everyone starts voting tactically, the result tends to approach a large tie that will be decided semi-randomly. When a voter utilizes compromising, they insincerely raise the position of a second or third choice candidate over their first choice candidate, in order to help the second choice candidate to beat a candidate they like even less. When a voter utilizes burying, voters can help a more-preferred candidate by insincerely lowering the position of a less-preferred candidate on their ballot. Combining both these strategies can be powerful, especially as the number of candidates in an election increases. For example, if there are two candidates whom a voter considers to be the most likely to win, the voter can maximise his impact on the contest between these front runners by ranking the candidate whom he likes more in first place, and ranking the candidate whom he likes less in last place. If neither front runner is his sincere first or last choice, the voter is employing both the compromising and burying tactics at once; if enough voters employ such strategies, then the result will no longer reflect the sincere preferences of the electorate.
For an example of how potent tactical voting can be, suppose a trip is being planned by a group of 100 people on the East Coast of North America. They decide to use Borda count to vote on which city they will visit. The three candidates are New York City, Orlando, and Iqaluit. 48 people prefer Orlando / New York / Iqaluit; 44 people prefer New York / Orlando / Iqaluit; 4 people prefer Iqaluit / New York / Orlando; and 4 people prefer Iqaluit / Orlando / New York. If everyone votes their true preference, the result is:
If the New York voters realize that they are likely to lose and all agree to tactically change their stated preference to New York / Iqaluit / Orlando, burying Orlando, then this is enough to change the result in their favor:
In this example, only a few of the New York voters needed to change their preference to tip this result because it was so close – just five voters would have been sufficient had everyone else still voted their true preferences. However, if Orlando voters realize that the New York voters are planning on tactically voting, they too can tactically vote for Orlando / Iqaluit / New York. When all of the New York and all of the Orlando voters do this, however, there is a surprising new result:
The tactical voting has overcorrected, and now the clear last place option is a threat to win, with all three options extremely close. Tactical voting has entirely obscured the true preferences of the group into a large near-tie.
The Borda count is highly vulnerable to a form of strategic nomination called teaming or cloning. This means that when more candidates run with similar ideologies, the probability of one of those candidates winning increases. This is illustrated by the example 'Effect of irrelevant alternatives' above. Therefore, under the Borda count, it is to a faction's advantage to run as many candidates as it can. For example, even in a single-seat election, it would be to the advantage of a political party to stand as many candidates as possible in an election. In this respect, the Borda count differs from many other single-winner systems, such as the 'first past the post' plurality system, in which a political faction is disadvantaged by running too many candidates. Under systems such as plurality, 'splitting' a party's vote in this way can lead to the spoiler effect, which harms the chances of any of a faction's candidates being elected.
Strategic nomination is used in Nauru, according to MP Roland Kun, with factions running multiple "buffer candidates" who are not expected to win, to lower the tallies of their main competitors.[6] However, the effect of this strategic nomination is greatly reduced by the use of a harmonic progression rather than a simple arithmetic progression. Because the harmonic series is unbounded, it is theoretically possible to elect any candidate (no matter how unpopular) by nominating enough clones. In practice, the number of clones required to do so would likely exceed the total population of Nauru.
Suppose that Tennessee is holding an election on the location of its capital. The population is concentrated around four major cities. All voters want the capital to be as close to them as possible. The options are:
The preferences of each region's voters are:
Thus voters are assumed to prefer candidates in order of proximity to their home town. We get the following point counts per 100 voters:
Accordingly Nashville is elected.
Under Dowdall rules the table would be as follows
Just like normal Borda rules, Nashville would win.
The Borda count is used for certain political elections in at least three countries, Slovenia and the tiny Micronesian nations of Kiribati and Nauru.
In Slovenia, the Borda count is used to elect two of the ninety members of the National Assembly: one member represents a constituency of ethnic Italians, the other a constituency of the Hungarian minority.
Members of the Parliament of Nauru are elected based on a variant of the Borda count that involves two departures from the normal practice:
In Kiribati, the president (or Beretitenti) is elected by the plurality system, but a variant of the Borda count is used to select either three or four candidates to stand in the election. The constituency consists of members of the legislature (Maneaba). Voters in the legislature rank only four candidates, with all other candidates receiving zero points. Since at least 1991, tactical voting has been an important feature of the nominating process.
The Republic of Nauru became independent from Australia in 1968. Before independence, and for three years afterwards, Nauru used instant-runoff voting, importing the system from Australia, but since 1971, a variant of the Borda count has been used.
The modified Borda count has been used by the Green Party of Ireland to elect its chairperson.[17][18]
The Borda count has been used for non-governmental purposes at certain peace conferences in Northern Ireland, where it has been used to help achieve consensus between participants including members of Sinn Féin, the Ulster Unionists, and the political wing of the UDA.[citation needed]
The Borda count is used in elections by some educational institutions in the United States:
The Borda count is used in elections by some professional and technical societies:
The OpenGL Architecture Review Board uses the Borda count as one of the feature-selection methods.
The Borda count is used to determine winners for the World Champion of Public Speaking contest organized by Toastmasters International. Judges offer a ranking of their top three speakers, awarding them three points, two points, and one point, respectively. All unranked candidates receive zero points.
The modified Borda count is used to elect the President for the United States member committee of AIESEC.
The Eurovision Song Contest uses a heavily modified form of the Borda count, with a different distribution of points: only the top ten entries are considered in each ballot, the favorite entry receiving 12 points, the second-placed entry receiving 10 points, and the other eight entries getting points from 8 to 1. Although designed to favor a clear winner, it has produced very close races and even a tie.
The Borda count is used for wine trophy judging by the Australian Society of Viticulture and Oenology, and by the RoboCup autonomous robot soccer competition at the Center for Computing Technologies, in the University of Bremen in Germany.
The Finnish Associations Act lists three different modifications of the Borda count for holding a proportional election. All the modifications use fractions, as in Nauru. A Finnish association may choose to use other methods of election, as well.[20]
The Borda count is a popular method for granting sports awards. American uses include:
The Borda count has been proposed as a rank aggregation method in information retrieval, in which documents are ranked according to multiple criteria and the resulting rankings are then combined into a composite ranking. In this method, the ranking criteria are treated as voters, and the aggregate ranking is the result of applying the Borda count to their "ballots".[22]
Sporting tournaments frequently seek to produce a ranking of competitors from pairwise matches, in each of which a single point is awarded for a win, half a point for a draw, and no points for a loss. (Sometimes the scores are doubled as 2/1/0.) This is analogous to a Borda count in which each preference expressed by a single voter between two candidates is equivalent to a sporting fixture; it is also analogous to Copeland's method supposing that the electorate's overall preference between two candidates takes the place of a sporting fixture.
This scoring system was adopted for international chess around the middle of the nineteenth century and by the English Football League in 1888–1889. Unbiased handling of draws was therefore adopted a century before unbiased handling of ties was recognised as desirable in electoral systems.
The Borda count is thought to have been developed independently at least four times:
Borda count is sometimes described as a consensus-based voting system, since it can sometimes choose a more broadly acceptable option over the one with majority support.
