Метод наивысших средних значений

В математике, экономике и политологии методы наибольшего среднего значения , также называемые методами делителей , представляют собой класс алгоритмов распределения для пропорционального представительства . Алгоритмы делителя стремятся справедливо разделить законодательный орган между агентами (такими как политические партии или федеральные штаты). В более общем смысле, методы делителей используются для деления или округления целого числа объектов, используемых для представления (нецелых) долей общей суммы. ^[1]

Методы делителей направлены на равное отношение к избирателям, гарантируя, что каждый законодатель представляет равное количество избирателей , насколько это возможно. ^[2]^{: 30}

Определения

Два названия этих методов отражают два разных подхода к ним и два их независимых изобретения (сначала в контексте распределения голосов в Конгрессе США , а затем в контексте пропорционального представительства партий в Европе). Тем не менее, обе процедуры эквивалентны и дают одинаковые ответы.

Указатели и округление

Методы пропорционального распределения представляют собой своего рода правило округления: при пропорциональном представительстве (или пропорциональном распределении) каждая партия (или штат) имеет идеальное количество законодателей, которое не является целым числом. Чтобы преобразовать их в целые числа, мы используем правило округления , заданное последовательностью действительных чисел, где каждый указатель отмечает границу между двумя натуральными числами: числа, большие, чем указатель, округляются в большую сторону, а числа, меньшие или равные ему, округляются. округлено вниз. Это последовательность $post(k)$ , где $k \leq post(k) \leq k +1$ .

Метод делителя

Процедура деления распределяет места путем поиска делителя или идеального размера округа , который примерно равен числу избирателей, представленных каждым законодателем. Если каждый законодатель представляет одинаковое количество избирателей, то количество мест для каждого штата можно найти, разделив население на делитель.

Однако распределение мест должно быть целым числом, поэтому, чтобы найти распределение мест для данного штата, мы должны округлить после деления. Таким образом, распределение каждой партии определяется следующим образом:

${\text{seats}}=\operatorname {round} \left({\frac {\text{votes}}{\text{divisor}}}\right)$

Этот делитель равен количеству голосов, необходимых для получения одного дополнительного места в законодательном органе.

Однако, если этот делитель выбран неправильно, эта процедура может выделить слишком много или слишком мало мест, и пропорции для каждого штата не будут суммироваться с общим размером законодательного органа. Таким образом, допустимый делитель можно найти методом проб и ошибок .

Самые высокие средние показатели

При использовании процедуры наибольшего среднего значения каждая партия начинается с 0 мест. Затем на каждой итерации мы выделяем место партии с наибольшим средним числом голосов, то есть партии с наибольшим количеством голосов на одно место . Этот метод действует до тех пор, пока не будут распределены все места.

Однако возникает резонный вопрос: следует ли нам смотреть на среднее количество голосов до того, как мы назначим место, каким оно будет после распределения места, или нам следует найти компромисс между ними с помощью какой-то корректировки преемственности . Все эти подходы дают разное соотношение. Мы можем определить обобщенное среднее, используя последовательность указателей:

${\text{average}}:={\frac {\text{votes}}{\operatorname {post} ({\text{seats}})}}$

Конкретные методы делителя

Хотя все методы делителей используют одну и ту же общую процедуру, они различаются выбором последовательности указателей и, следовательно, правилом округления. Эти правила округления придают каждому методу уникальные свойства.

Обратите внимание, что для методов, в которых первый указатель равен нулю, каждая партия, имеющая хотя бы один голос, получит место до того, как какая-либо партия получит второе место; на практике это обычно означает, что каждая партия должна получить хотя бы одно место, если только она не дисквалифицирована по какому-либо избирательному порогу .

Метод Джефферсона (Д'Ондта)

Метод Джефферсона был первым методом делителей, который был изобретен или использован. Для каждого штата этот метод определяет, каким был бы средний размер избирательного округа в Конгрессе, если бы в нем был дополнительный законодатель. Затем он назначает представителя от штата, который будет наиболее недопредставлен в конце раунда.

Метод Джефферсона использует последовательность (1, 2, 3, ...), ^[3] , что означает, что он всегда округляет долю каждой стороны в меньшую сторону. $\operatorname {post} (k)=k+1$

Преимущество метода Джефферсона состоит в том, что он гарантирует правило более низкой квоты и сводит к минимуму чрезмерное представительство в худшем случае. Однако он обычно дает крупным партиям долю мест, превышающую их долю голосов ^[4] и, таким образом, поощряет нечестное голосование и двухпартийные системы (хотя и не так сильно, как системы, подобные плюралистической ). Метод Джефферсона работает плохо, если судить по большинству показателей неправильного распределения. ^[5]

Метод Адамса (Кембридж)

Метод Адамса был придуман Джоном Куинси Адамсом после того, как он заметил, что метод Джефферсона выделяет слишком мало мест меньшим штатам. ^[6] Его можно назвать противоположностью метода Джефферсона; он предоставляет место партии, набравшей наибольшее количество голосов на одно место, прежде чем это место будет добавлено. Функция делителя — $post(k) = k$ , что эквивалентно всегдаму округлению в большую сторону. ^[5]

Метод Адамса может только нарушить правило верхней квоты [ ^7] и свести к минимуму занижение представленности в худшем случае. Однако нарушения верхних квот в чистом методе Адамса очень распространены. ^[8] Как и Джефферсон, метод Адамса плохо работает с обычными показателями неправильного распределения. ^[5]

Метод Адамса был предложен как часть Кембриджского компромисса по распределению мест в Европейском парламенте между государствами-членами с целью соблюдения дегрессивной пропорциональности . ^[9]

Метод Вебстера (Сент-Лаге)

Метод Вебстера использует последовательность столбиков $post(k) = k +.5$ , т.е. 0,5, 1,5, 2,5, что соответствует стандартному правилу округления . Эквивалентно, нечетные целые числа, т.е. 1, 3, 5 и т. д., могут использоваться в качестве делителей.

Метод Вебстера более пропорционален, чем метод Д'Ондта, по многим показателям искажения фактов, и поэтому политологи и математики обычно рекомендуют его вместо Д'Ондта. ^[10]^[11] Он также примечателен тем, что является наименее предвзятым методом в исторических данных о распределении голосов в Конгрессе США (хотя и в разделе о предвзятости), а также тем, что он является беспристрастным даже при работе с партиями, которые получают очень небольшое количество мест. Метод Вебстера может иногда нарушать правило квоты ; в редких ситуациях это может привести к тому, что группе будет присвоен .

Теоретически Сент-Лаге может поощрять партии разделяться на множество небольших списков, стремясь получить по одному месту для каждого списка, хотя такая координация становится чрезвычайно сложной для округов, которые имеют более нескольких мест. Такая стратегия была предпринята в ^рамках^{выборов}^вГонконге . Эту проблему можно легко решить, введя небольшую квоту для партий на получение места, чаще всего равную точной квоте Дропа .

Метод Хилла (Хантингтона – Хилла).

В методе Хантингтона-Хилла последовательность указателей имеет вид $post(k) = \sqrt k (k +1)$ , среднее геометрическое соседних чисел. Концептуально этот метод округляет до целого числа, имеющего наименьшую относительную (процентную) разницу . Например, 2,47 и 3 — это около 19%, а разница от 2 — около 21%, поэтому 2,47 округляется в большую сторону. Этот метод используется для распределения мест в Палате представителей США между штатами.

Метод Хилла имеет тенденцию давать результаты, очень похожие на метод Вебстера; Когда эти два метода впервые были приняты для использования при распределении голосов в Конгрессе , они различались только тем, отводили ли они одно место Мичигану или Арканзасу . ^[2]^{: 58}

Сравнение свойств

Распределение нулевых мест

Методы Хантингтона-Хилла, Дина и Адамса имеют значение 0 для первого столба забора, что дает среднее значение ∞. Таким образом, без порога все партии, получившие хотя бы один голос, также получают как минимум одно место. Это свойство может быть желательным, например, при распределении мест по избирательным округам или штатам. В противном случае небольшие партии, возможно, придется устранить с использованием избирательного порога (например, квоты Дропа ).

Предвзятость

Понятие «предвзятости» в распределении мест оказывается сложной, поскольку «предвзятость» можно определить по-разному. Хотя метод Вебстера часто называют «непредвзятым» или говорят, что он имеет «наименьшую предвзятость» среди любой системы, ^[12] он опирается на техническое определение предвзятости , специфичное для области статистики : смещение определяется как ожидаемая разница между количеством мест штата и его квотой. Другими словами, метод называется несмещенным, если среднее количество мест, получаемых государством, равно его средней квоте.

Согласно этому определению, метод Вебстера является уникальным методом несмещенного распределения, ^[12] в то время как метод Хантингтона-Хилла демонстрирует умеренную предвзятость в сторону более мелких государств. Однако другие исследователи показали, что альтернативные определения предвзятости, основанные на относительных различиях, дают противоположный результат. ^[13]

На практике разница между этими определениями невелика, когда речь идет о партиях или государствах, имеющих хотя бы одно место. Таким образом, как метод Хантингтона-Хилла, так и метод Вебстера можно считать несмещенными или малосмещенными методами (в отличие от методов Джефферсона или Адамса). В отчете Национальной академии наук Конгрессу 1930 года было рекомендовано принять метод Хилла, но с тех пор сторонники обеих сторон выдвинули и другие аргументы, что побудило большинство математиков считать выбор метода делителей вопросом мнения. ^[13]

Сравнение и примеры

Пример: Джефферсон

Следующий пример показывает, как метод Джефферсона может существенно отличаться от менее предвзятых методов, таких как метод Вебстера. На этих выборах крупнейшая партия набирает 46% голосов, но получает 52,5% мест, чего достаточно, чтобы сразу получить большинство против коалиции всех других партий (которые вместе набирают 54% голосов). Более того, она делает это с нарушением квоты: крупнейшая партия имеет право только на 9,7 мест, но все равно получает 11. Самый большой округ в Конгрессе, в котором применяется метод Джефферсона, примерно в два раза превышает размер самого маленького округа здесь. Метод Вебстера не демонстрирует ни одного из этих свойств с максимальной ошибкой 22,6%.

Пример: Адамс

В следующем примере показан случай, когда метод Адамса не дает большинства партии, набравшей 55% голосов, что опять же является нарушением ее права на квоту.

Пример: Все системы

Ниже показан проработанный пример для всех систем голосования. Обратите внимание, как методы Хантингтона-Хилла и Адамса дают каждой партии одно место, прежде чем распределять еще одно, в отличие от методов Вебстера или Джефферсона.

Характеристики

Монотонность

Математики обычно предпочитают методы делителей методам наибольшего остатка, поскольку они с меньшей вероятностью демонстрируют парадоксальное поведение. В частности, методы делителей удовлетворяют принципу монотонности населения , который гласит, что если партия получает дополнительные голоса, сохраняя при этом общее количество голосов всех других партий постоянным, это не должно приводить к потере ими мест. При использовании квотных методов голосование за партию может привести к потере ею места за счет увеличения квоты голосов (среднего числа голосов на одно место); этот эффект может привести к сокращению их оставшейся части и потере места штатом.

Методы делителей также удовлетворяют монотонности ресурсов (в отличие от правил квот), согласно которым увеличение количества мест в законодательном органе не должно приводить к потере штата.

Неравенство Мин-Макс

Каждый метод делителей можно определить с помощью неравенства мин-макс. Если скобки обозначают индексацию массива, распределение допустимо тогда и только тогда: ^[1]^{: 78–81}

$Макс.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}голоса [партия]/пост(места[партия])≤ минголоса [партия]/пост(места[партия]+1)$

Другими словами, невозможно снизить наибольшее среднее количество голосов путем передачи места от одной партии к другой. Каждое число в этом диапазоне является возможным делителем. Если неравенство строгое, решение единственное; в противном случае (если неравенство является равенством) существует «связь» между несколькими распределениями (традиционно разрываемая в пользу наибольшей партии) ^[1]^{: 83} .

Семейства методов

Описанные выше методы делителей можно обобщить на семейства.

Обобщенное среднее

В общем, можно построить метод распределения на основе любой обобщенной средней функции, определив функцию указателя как $post(k) = avg(k, k +1)$ .

Стационарная семья

Метод делителей называется стационарным ^[14]^:68, если его указатели имеют вид для некоторого действительного числа . Методы Адамса, Вебстера и Джефферсона стационарны; у Дина и Хантингтон-Хилла нет. Стационарный метод соответствует округлению чисел в большую сторону, если они превышают средневзвешенное арифметическое k $,$ $k$ $+$ $1$ . $d(k)=k+r$ $r\in [0,1]$

Датский метод используется на выборах в Дании для распределения компенсационных мест каждой партии (или уравнивающих мест ) на уровне избирательной провинции между отдельными многомандатными округами. Он делит количество голосов, полученных партией в многомандатном округе, на 0,33, 1,33, 2,33, 3,33 и т. д. Последовательность столбов задается формулой $post(k) = k + 1 ⁄ 3$ . Эта система намеренно пытается распределить места поровну, а не точно пропорционально. ^[15]

Метод Империали представляет собой стационарный алгоритм псевдораспределения с делителями 2, 3, 4, 5 и т. д., что соответствует функции делителя . Он предназначен для того, чтобы поставить в невыгодное положение самые мелкие партии, что похоже на сокращение расходов. Он используется на муниципальных выборах в Бельгии . Этот метод наибольшего среднего значения не является методом пропорционального представительства; даже если существует совершенно пропорциональное распределение, его обнаружение не гарантируется. $d(k)=k+2$

Власть означает семью

Семейство степенных средних методов делителей включает методы Адамса, Хантингтона-Хилла, Вебстера и Джефферсона (либо непосредственно, либо в виде пределов) . ^[14] Для заданной постоянной $p$ метод степенного среднего имеет функцию указателя $post(k) = p \sqrt k p + (k +1) p$ . Метод Хантингтона-Хилла соответствует пределу, когда $p$ стремится к 0, тогда как Адамс и Джефферсон представляют пределы, когда $p$ стремится к отрицательной или положительной бесконечности.

Семейство также включает менее распространенный метод Дина для $p =-1$ , который соответствует использованию среднего гармонического значения . Метод Дина эквивалентен округлению до ближайшего среднего значения : в каждом штате количество мест округляется таким образом, чтобы минимизировать разницу между средним размером округа и идеальным размером округа. Например: ^[16]^{: 29}

Репрезентативное население Массачусетса в 1830 году составляло 610 408 человек: если бы он получил 12 мест, его средний размер округа составил бы 50 867 человек; если бы он получил 13, это было бы 46 954. Таким образом, если бы делитель составлял 47 700, как предлагал Полк, Массачусетс должен был бы получить 13 мест, потому что 46 954 ближе к 47 700, чем к 50 867.

Округление до среднего значения голосов с наименьшей относительной ошибкой снова дает метод Хантингтона-Хилла, потому что $| журнал (Икс ⁄ у) | = | журнал (у ⁄ Икс) |$ , т.е. относительные различия обратимы. Этот факт был центральным в использовании Эдвардом В. Хантингтоном относительных (вместо абсолютных) ошибок при измерении искажений, а также в его пропаганде метода Хантингтона-Хилла: ^[17] Хантингтон утверждал, что выбор метода распределения не должен зависеть от того, насколько уравнение равного представительства перестраивается, и этому свойству удовлетворяют только относительные ошибки (т. е. метод Хантингтона-Хилла). ^[16]^{: 53}

Столарские означают семью

Точно так же среднее Столарского можно использовать для определения семейства методов делителей, которые минимизируют обобщенный индекс энтропии искажения. ^[18] Это семейство включает среднее логарифмическое , среднее геометрическое и среднее тождественное . Метод Столарского может быть оправдан за счет минимизации этих мер неравенства, которые имеют большое значение в изучении теории информации . ^[19]

Модификации

В дополнение к методам чистых делителей существует множество модифицированных методов делителей, которые тесно связаны между собой.

Пороги

Во многих странах существует избирательный порог для представительства, при котором партии должны набрать определенную долю голосов, чтобы быть представленными; партии, набравшие меньше голосов, чем требуется для представительства, исключаются.

Кроме того, многие страны модифицируют первый делитель, чтобы ввести «эффективный порог». Одной из распространенных модификаций является использование метода Вебстера, но с установкой первого делителя равным 0,7 или 1,0 (модификация с полным числом мест), чтобы партии не слишком легко выиграли свое первое место.

Метод делителя с ограничением квоты

Метод делителя с ограничением квоты — это метод распределения, при котором мы начинаем с присвоения каждому штату его нижней квоты мест. Затем мы последовательно добавляем места одно за другим к штату с самым высоким средним числом голосов на одно место, при условии, что добавление дополнительного штата не приводит к превышению штатом своей верхней квоты.

Формально на каждой итерации (соответствующей выделению -го места) вычисляются следующие наборы ( определения и обозначения см. в разделе «Математика распределения »): $h$ $h$

$U(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )$ - это совокупность партий, которые могут получить дополнительное место, не нарушая своей верхней квоты, т.е. $a_{i}<\lceil t_{i}\cdot h\rceil$
$L(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )$ — это набор партий, число мест которых может оказаться ниже их нижней квоты в какой-то будущей итерации, то есть для наименьшего целого числа, для которого . Если такого нет, то содержит все состояния. $a_{i}<\lfloor t_{i}\cdot (h+z)\rfloor$ $z$ $\sum _{i}\lfloor t_{i}\cdot (h+z)\rfloor \geq h-1+z$ $z$ $L(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )$

-е место отдается партии, у которой это соотношение наибольшее. $h$ $i\in U(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )\cap L(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )$ ${\frac {t_{i}}{d(a_{i})}}$

Метод квот Балинского - Янга^[20] представляет собой вариант метода Д'Ондта с ограничением квот (также называемый: квота-Джефферсон). Аналогично можно определить Квоту-Вебстера, Квоту-Адамса и т. д. ^[21]

Каждый метод делителя с ограничением квоты удовлетворяет домашней монотонности. Более того, методы делителей с ограничением квоты удовлетворяют верхней квоте по определению, и можно доказать, что они также удовлетворяют нижней квоте. ^[16]^{: Thm.7.1}

Однако методы делителей с ограничением квоты нарушают критерий участия (также называемый монотонностью населения ): партия может потерять место в результате получения «слишком большого количества голосов». ^[16]^{: Таблица A7.2} Это может произойти, когда из-за того, что партия i получает больше голосов, верхняя квота какой-либо другой партии j уменьшается. Следовательно, сторона j не имеет права на место в текущей итерации, и следующее место получает какая-то третья сторона. Но затем, на следующей итерации, партия j снова имеет право на место и побеждает партию i .

Более того, версии других алгоритмов с ограниченной квотой часто нарушают «истинную квоту» при наличии ошибок (например, неправильных подсчетов при переписи населения). Метод Джефферсона часто нарушает истинную квоту, даже после ограничения квоты, в то время как метод Вебстера и метод Хантингтона-Хилла работают хорошо даже без ограничений квоты. ^[22]