Пространства положения и импульса

Физические пространства, представляющие положение и импульс, двойственные преобразования Фурье

В физике и геометрии существуют два тесно связанных векторных пространства , обычно трехмерные , но, как правило, имеющие любую конечную размерность.Пространство позиций (также реальное пространство или координатное пространство ) представляет собой набор всех векторов положения r в евклидовом пространстве и имеет размерность длины ; вектор положения определяет точку в пространстве. (Если вектор положения точечной частицы меняется со временем, он будет отслеживать путь, траекторию частицы.) Пространство импульса — это набор всех векторов импульса p, которые может иметь физическая система; вектор импульса частицы соответствует ее движению в единицах [массы][длины][времени] ⁻¹ .

Математически двойственность между положением и импульсом является примером двойственности Понтрягина . В частности, если функция задана в пространстве позиций f ( r ), то ее преобразование Фурье получает функцию в пространстве импульсов φ ( p ). И наоборот, обратное преобразование Фурье пространственной функции импульса является функцией пространственного положения.

Эти количества и идеи выходят за рамки всей классической и квантовой физики, и физическую систему можно описать, используя либо положения составляющих частиц, либо их импульсы; обе формулировки эквивалентно предоставляют одну и ту же информацию о рассматриваемой системе. Еще одну величину полезно определить в контексте волн . Волновой вектор k (или просто « k -вектор») имеет размеры обратной длины , что делает его аналогом угловой частоты ω , которая имеет размерности обратного времени . Множество всех волновых векторов представляет собой k-пространство . Обычно r более интуитивно понятен и проще, чем k , хотя может быть верно и обратное, например, в физике твердого тела .

Квантовая механика предоставляет два фундаментальных примера двойственности между положением и импульсом: принцип неопределенности Гейзенберга Δ x Δ p ≥ ħ /2, утверждающий, что положение и импульс не могут быть одновременно известны с произвольной точностью, и соотношение де Бройля p = ħ k , которое гласит: импульс и волновой вектор свободной частицы пропорциональны друг другу. ^[1] В этом контексте, когда это однозначно, термины « импульс » и «волновой вектор» используются как синонимы. Однако в кристалле соотношение де Бройля неверно.

Пространства положения и импульса в классической механике

Лагранжева механика

Чаще всего в лагранжевой механике лагранжиан L ( q , dq / dt , t ) находится в конфигурационном пространстве , где q = ( q1 , q2 _, ... , qn ₎ — n _- кортеж обобщенных координат . . Уравнения движения Эйлера – Лагранжа имеют вид

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,,\quad {\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {dq_{i}}{dt}}\,.}$$

(Одна точка означает одну производную по времени ). Вводя определение канонического импульса для каждой обобщенной координаты

$${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,,}$$

$${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,.}$$

Лагранжиан также может быть выражен в импульсном пространстве , ^[2] L ′( p , d p / dt , t ), где p = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _n ) представляет собой n -кортеж обобщенные импульсы. Преобразование Лежандра выполняется для замены переменных в полном дифференциале лагранжиана обобщенного координатного пространства;

$${\displaystyle dL=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt=\sum _{i=1}^{n}({\dot {p}}_{i}dq_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,,}$$

Lпроизведения^{[nb 1]}

$${\displaystyle {\dot {p}}_{i}dq_{i}=d(q_{i}{\dot {p}}_{i})-q_{i}d{\dot {p}}_{i}}$$

$${\displaystyle p_{i}d{\dot {q}}_{i}=d({\dot {q}}_{i}p_{i})-{\dot {q}}_{i}dp_{i}}$$

$${\displaystyle d\left[L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\right]=-\sum _{i=1}^{n}({\dot {q}}_{i}dp_{i}+q_{i}d{\dot {p}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.}$$

Теперь полный дифференциал лагранжиана пространства импульсов L ′ равен

$${\displaystyle dL'=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}dp_{i}+{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}d{\dot {p}}_{i}\right)+{\frac {\partial L'}{\partial t}}dt}$$

LL

$${\displaystyle L'=L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\,,\quad -{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,,\quad -q_{i}={\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}\,.}$$

Объединение последних двух уравнений дает уравнения Эйлера – Лагранжа в импульсном пространстве.

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,.}$$

Преимущество преобразования Лежандра состоит в том, что в процессе получаются связи между новыми и старыми функциями и их переменными. И координатная, и импульсная формы уравнения эквивалентны и содержат одну и ту же информацию о динамике системы. Эта форма может быть более полезной, когда импульс или угловой момент входит в лагранжиан.

гамильтонова механика

В гамильтоновой механике , в отличие от лагранжевой механики, которая использует либо все координаты, либо импульсы, гамильтоновы уравнения движения ставят координаты и импульсы в равное положение. Для системы с гамильтонианом H ( q , p , t ) уравнения имеют вид

$${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.}$$

Пространства положения и импульса в квантовой механике

В квантовой механике частица описывается квантовым состоянием . Это квантовое состояние можно представить как суперпозицию (т.е. линейную комбинацию в виде взвешенной суммы ) базисных состояний. В принципе, можно свободно выбирать набор базисных состояний, если они охватывают пространство. Если выбрать собственные функции оператора положения в качестве набора базисных функций, можно говорить о состоянии как о волновой функции ψ ( r ) в пространстве позиций (наше обычное представление о пространстве в терминах длины ). Знакомое уравнение Шредингера в терминах позиции r является примером квантовой механики в представлении позиции. ^[3]

Выбирая собственные функции другого оператора в качестве набора базисных функций, можно получить множество различных представлений одного и того же состояния. Если выбрать собственные функции оператора импульса как набор базисных функций, результирующую волновую функцию называют волновой функцией в импульсном пространстве. ^[3] ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$

Особенностью квантовой механики является то, что фазовые пространства могут быть разных типов: дискретно-переменные, роторные и непрерывно-переменные. В таблице ниже суммированы некоторые отношения, связанные с тремя типами фазовых пространств. ^[4]

Сравнение и обобщение отношений между сопряженными переменными в фазовых пространствах с дискретными переменными (DV), роторными (ROT) и непрерывными переменными (CV) (взято из arXiv:1709.04460). Большинство физически значимых фазовых пространств состоят из комбинаций этих трех. Каждое фазовое пространство состоит из положения и импульса, возможные значения которых берутся из локально компактной абелевой группы и ее двойственной группы. Квантово-механическое состояние может быть полностью представлено в терминах любой из переменных, а преобразование, используемое для перехода между пространствами положения и импульса, в каждом из трех случаев является вариантом преобразования Фурье. В таблице используются обозначения бра-кет, а также математическая терминология, описывающая канонические коммутационные отношения (CCR).

Связь между пространством и обратным пространством

Импульсное представление волновой функции очень тесно связано с преобразованием Фурье и концепцией частотной области . Поскольку квантовомеханическая частица имеет частоту, пропорциональную импульсу (приведенное выше уравнение де Бройля), описание частицы как суммы ее компонентов импульса эквивалентно описанию ее как суммы частотных компонентов (т.е. преобразование Фурье). ^[5] Это становится ясным, когда мы спрашиваем себя, как мы можем преобразовать одно представление в другое.

Функции и операторы в позиционном пространстве

Предположим, у нас есть трехмерная волновая функция в позиционном пространстве ψ ( r ) , тогда мы можем записать эти функции как взвешенную сумму ортогональных базисных _{функций} ψj ( r ) :

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{j}\phi _{j}\psi _{j}(\mathbf {r} )}$$

интеграл

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} }$$

ψ ( r ) ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \psi }$

В квантовой механике оператор импульса задается формулой

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}}$$

матричном исчислении ) с соответствующей областью определенияСобственные

$${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$

собственные значения ħ k

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} }$$

^[6]

Функции и операторы в импульсном пространстве

И наоборот, трехмерная волновая функция в импульсном пространстве может быть выражена как взвешенная сумма ортогональных базисных функций : ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \phi _{j}(\mathbf {k} )}$

$${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\sum _{j}\psi _{j}\phi _{j}(\mathbf {k} ),}$$

$${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )\phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .}$$

Оператор положения имеет вид

$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}=i{\frac {\partial }{\partial \mathbf {k} }}}$$

$${\displaystyle \phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )={\frac {1}{\left({\sqrt {2\pi }}\right)^{3}}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$

собственные значения r^[6] ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$

$${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .}$$

Унитарная эквивалентность оператора положения и импульса

Операторы r и p унитарно эквивалентны , причем унитарный оператор явно задается преобразованием Фурье, а именно поворотом на четверть цикла в фазовом пространстве, порожденным гамильтонианом осциллятора. Таким образом, они имеют одинаковый спектр . На физическом языке p , действующий на пространственные волновые функции импульса, аналогичен r , действующему на пространственные волновые функции положения (под образцом преобразования Фурье).

Обратное пространство и кристаллы

Для электрона (или другой частицы ) в кристалле значение k почти всегда связано с его импульсом кристалла , а не с его нормальным импульсом. Следовательно, k и p не просто пропорциональны , а играют разные роли. См . пример теории возмущений k·p . Импульс кристалла подобен волновой огибающей , которая описывает, как волна меняется от одной элементарной ячейки к другой, но не дает никакой информации о том, как волна изменяется внутри каждой элементарной ячейки.

Когда k относится к кристаллическому импульсу, а не к истинному импульсу, концепция k -пространства все еще имеет смысл и чрезвычайно полезна, но она во многом отличается от некристаллического k -пространства, обсуждавшегося выше. Например, в k -пространстве кристалла существует бесконечное множество точек, называемых обратной решеткой , которые «эквивалентны» k = 0 (это аналогично сглаживанию ). Точно так же « первая зона Бриллюэна » представляет собой конечный объем k -пространства, такой, что каждое возможное k «эквивалентно» ровно одной точке в этой области.

Смотрите также

• Фазовое пространство
• Взаимное пространство
• Конфигурационное пространство
• Дробное преобразование Фурье

Сноски

1. Для двух функций u и v дифференциал произведения равен d ( uv ) = udv + vdu .

Рекомендации

1. Айсберг, Р.; Резник, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-87373-0.
2. Хэнд, Луи Н; Финч, Джанет Д. (1998). Аналитическая механика. п. 190. ИСБН 978-0-521-57572-0.
3. Пелег, Ю.; Пнини, Р.; Заарур, Э.; Хехт, Э. (2010). Квантовая механика (серия очерков Шаума) (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-162358-2.
4. Альберт, Виктор V; Паскацио, Саверио; Деворе, Мишель Х (2017). «Общие фазовые пространства: от дискретных переменных к пределам ротора и континуума». Физический журнал A: Математический и теоретический . 50 (50): 504002. arXiv : 1709.04460 . дои : 10.1088/1751-8121/aa9314. S2CID  119290497.
5. Аберс, Э. (2004). Квантовая механика . Аддисон Уэсли, ISBN Prentice Hall Inc. 978-0-13-146100-0.
6. Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.