Каноническое квантование

Процесс преобразования классической физической теории в теорию, совместимую с квантовой механикой

В физике каноническое квантование — это процедура квантования классической теории с попыткой сохранить формальную структуру классической теории , такую ​​как симметрии , в максимально возможной степени.

Исторически это не совсем тот путь, которым прошел Вернер Гейзенберг , чтобы получить квантовую механику , но Поль Дирак представил его в своей докторской диссертации 1926 года, «метод классической аналогии» для квантования, ^[1] и подробно описал его в своем классическом тексте «Принципы квантовой механики» . ^[2] Слово «канонический» происходит от гамильтонова подхода к классической механике, в котором динамика системы генерируется с помощью канонических скобок Пуассона , структуры, которая лишь частично сохраняется при каноническом квантовании.

Этот метод был далее использован Полем Дираком в контексте квантовой теории поля , при построении им квантовой электродинамики . В контексте теории поля его также называют вторичным квантованием полей, в отличие от полуклассического первичного квантования отдельных частиц.

История

Когда квантовая физика только появилась, она имела дело только с квантованием движения частиц, оставляя электромагнитное поле классическим , отсюда и название квантовая механика . [ ^3]

Позднее электромагнитное поле также было квантовано, и даже сами частицы стали представляться через квантованные поля, что привело к развитию квантовой электродинамики (КЭД) и квантовой теории поля в целом. ^[4] Таким образом, по соглашению, исходная форма квантовой механики частиц обозначается первичным квантованием , в то время как квантовая теория поля формулируется на языке вторичного квантования .

Первая квантизация

Системы отдельных частиц

Следующее изложение основано на трактате Дирака по квантовой механике. ^[2] В классической механике частицы существуют динамические переменные, которые называются координатами ( x ) и импульсами ( p ). Они определяют состояние классической системы. Каноническая структура (также известная как симплектическая структура) классической механики состоит из скобок Пуассона, охватывающих эти переменные, например, { x , p } = 1 . Все преобразования переменных, которые сохраняют эти скобки, допускаются как канонические преобразования в классической механике. Само движение является таким каноническим преобразованием.

Напротив, в квантовой механике все существенные характеристики частицы содержатся в состоянии , называемом квантовым состоянием . Наблюдаемые представлены операторами, действующими в гильбертовом пространстве таких квантовых состояний . ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Собственное значение оператора, действующего на одно из его собственных состояний, представляет собой значение измерения частицы, представленной таким образом. Например, энергия считывается гамильтоновым оператором, действующим на состояние , что дает , где E _n — характерная энергия, связанная с этим собственным состоянием . ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ $${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle ,}$$ ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$

Любое состояние можно представить в виде линейной комбинации собственных состояний энергии; например, где a _n — постоянные коэффициенты. $${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}|\psi _{n}\rangle ,}$$

Как и в классической механике, все динамические операторы могут быть представлены функциями положения и импульса, и , соответственно. Связь между этим представлением и более обычным представлением волновой функции задается собственным состоянием оператора положения , представляющего частицу в положении , которое обозначается элементом в гильбертовом пространстве и которое удовлетворяет . Тогда, . ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {X}}|x\rangle =x|x\rangle }$ ${\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle }$

Аналогично собственные состояния оператора импульса определяют представление импульса : . ${\displaystyle |p\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle \psi (p)=\langle p|\psi \rangle }$

Центральное соотношение между этими операторами представляет собой квантовый аналог приведенной выше скобки Пуассона классической механики, каноническое коммутационное соотношение , $${\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P}}]={\hat {X}}{\hat {P}}-{\hat {P}}{\hat {X}}=i\hbar .}$$

Это соотношение кодирует (и формально приводит к) принципу неопределенности в форме Δ x Δ p ≥ ħ /2 . Таким образом, эта алгебраическая структура может рассматриваться как квантовый аналог канонической структуры классической механики.

Многочастичные системы

При переходе к системам N-частиц, т. е. системам, содержащим N идентичных частиц (частиц, характеризующихся одинаковыми квантовыми числами, такими как масса , заряд и спин ), необходимо расширить функцию состояния одной частицы до функции состояния N-частицы . Фундаментальное различие между классической и квантовой механикой касается концепции неразличимости идентичных частиц. Таким образом, в квантовой физике возможны только два вида частиц, так называемые бозоны и фермионы , которые подчиняются следующим правилам для каждого вида частиц: ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})}$

• для бозонов: $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=+\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N}),}$$
• для фермионов: $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=-\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N}),}$$

где мы поменяли местами две координаты функции состояния. Обычная волновая функция получается с использованием определителя Слейтера и теории тождественных частиц . Используя этот базис, можно решать различные многочастичные задачи. ${\displaystyle (\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})}$

Проблемы и ограничения

Классические и квантовые скобки

В книге Дирака ^[2] подробно изложено его популярное правило замены скобок Пуассона коммутаторами :

${\displaystyle \{A,B\}\longmapsto {\tfrac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]~.}$

Это предложение можно интерпретировать так, что мы должны искать «карту квантования», отображающую функцию на классическом фазовом пространстве в оператор на квантовом гильбертовом пространстве таким образом, что В настоящее время известно, что не существует такой разумной карты квантования, которая удовлетворяла бы указанному выше тождеству точно для всех функций и . ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Q_{f}}$ $${\displaystyle Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Теорема Грёневольда

Одной из конкретных версий вышеуказанного утверждения о невозможности является теорема Грёневольда (в честь голландского физика-теоретика Хильбранда Й. Грёневольда ), которую мы описываем для системы с одной степенью свободы для простоты. Примем следующие «основные правила» для отображения . Во-первых, следует отправить постоянную функцию 1 к оператору тождества. Во-вторых, следует взять и к обычным операторам положения и импульса и . В-третьих, следует взять многочлен от и к «многочлену» от и , то есть конечная линейная комбинация произведений и , которые могут быть взяты в любом желаемом порядке. В своей простейшей форме теорема Грёневольда гласит, что не существует отображения, удовлетворяющего вышеуказанным основным правилам, а также условию скобок для всех многочленов и . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

На самом деле, несуществование такого отображения происходит уже к тому времени, когда мы достигаем многочленов четвертой степени. Обратите внимание, что скобка Пуассона двух многочленов четвертой степени имеет шестую степень, поэтому не совсем имеет смысл требовать, чтобы отображение многочленов четвертой степени соблюдало условие скобки. Однако мы можем потребовать, чтобы условие скобки выполнялось, когда и имеют третью степень. Теорему Грёневольда ^[5] можно сформулировать следующим образом: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Теорема  —  Не существует карты квантования (следующей вышеприведенным основным правилам) для многочленов степени, меньшей или равной четырем, которая удовлетворяет, когда и имеет степень, меньшую или равную трем. (Обратите внимание, что в этом случае имеет степень, меньшую или равную четырем.) ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \{f,g\}}$

Доказательство можно изложить следующим образом. ^{[6] [7]} Предположим, что мы сначала пытаемся найти карту квантования для многочленов степени меньше или равной трем, удовлетворяющую условию скобок всякий раз, когда имеет степень меньше или равную двум и имеет степень меньше или равную двум. Тогда существует ровно одна такая карта, и это квантование Вейля . Результат невозможности теперь получается путем записи того же многочлена степени четыре как скобки Пуассона многочленов степени три двумя различными способами . В частности, мы имеем С другой стороны, мы уже видели, что если будет карта квантования для многочленов степени три, то это должно быть квантование Вейля; то есть мы уже определили единственно возможное квантование всех кубических многочленов выше. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle x^{2}p^{2}={\frac {1}{9}}\{x^{3},p^{3}\}={\frac {1}{3}}\{x^{2}p,xp^{2}\}}$$

Аргумент завершается вычислением методом грубой силы, которое не совпадает с Таким образом, у нас есть два несовместимых требования к значению . $${\displaystyle {\frac {1}{9}}[Q(x^{3}),Q(p^{3})]}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{3}}[Q(x^{2}p),Q(xp^{2})].}$$ ${\displaystyle Q(x^{2}p^{2})}$

Аксиомы квантования

Если Q представляет собой карту квантования, которая действует на функции f в классическом фазовом пространстве, то обычно желательными считаются следующие свойства: ^[8]

1. ${\displaystyle Q_{x}\psi =x\psi }$и   (элементарные операторы положения/импульса) ${\displaystyle Q_{p}\psi =-i\hbar \partial _{x}\psi ~~}$
2. ${\displaystyle f\longmapsto Q_{f}~~}$   это линейная карта
3. ${\displaystyle [Q_{f},Q_{g}]=i\hbar Q_{\{f,g\}}~~}$   (скобка Пуассона)
4. ${\displaystyle Q_{g\circ f}=g(Q_{f})~~}$   (правило фон Неймана).

Однако не только эти четыре свойства взаимно несовместимы, любые три из них также несовместимы! ^[9] Как оказалось, единственные пары этих свойств, которые приводят к самосогласованным, нетривиальным решениям, — это 2 и 3, и, возможно, 1 и 3 или 1 и 4. Принятие свойств 1 и 2 вместе с более слабым условием, что 3 должно быть истинным только асимптотически в пределе ħ → 0 (см. скобку Мойала ), приводит к деформационному квантованию , и необходимо предоставить некоторую внешнюю информацию, как в стандартных теориях, используемых в большей части физики. Принятие свойств 1 и 2 и 3, но ограничение пространства квантуемых наблюдаемых для исключения таких членов, как кубические в приведенном выше примере, равносильно геометрическому квантованию .

Второе квантование: теория поля

Квантовая механика успешно описывала нерелятивистские системы с фиксированным числом частиц, но для описания систем, в которых частицы могут создаваться или уничтожаться, например, электромагнитного поля, рассматриваемого как совокупность фотонов, требовалась новая структура. В конце концов было выяснено, что специальная теория относительности несовместима с одночастичной квантовой механикой, поэтому все частицы теперь описываются релятивистски квантовыми полями .

Когда процедура канонического квантования применяется к полю, такому как электромагнитное поле, классические переменные поля становятся квантовыми операторами . Таким образом, нормальные моды, составляющие амплитуду поля, являются простыми осцилляторами, каждый из которых квантуется в стандартном первом квантовании, выше, без неоднозначности. Результирующие кванты идентифицируются с отдельными частицами или возбуждениями. Например, кванты электромагнитного поля идентифицируются с фотонами. В отличие от первого квантования, обычное второе квантование полностью однозначно, по сути, является функтором , поскольку составной набор его осцилляторов квантуется однозначно.

Исторически квантование классической теории отдельной частицы привело к появлению волновой функции. Классические уравнения движения поля обычно идентичны по форме (квантовым) уравнениям для волновой функции одного из его квантов . Например, уравнение Клейна–Гордона является классическим уравнением движения для свободного скалярного поля, но также и квантовым уравнением для волновой функции скалярной частицы. Это означало, что квантование поля, по-видимому, было похоже на квантование теории, которая уже была квантована, что привело к появлению в ранней литературе причудливого термина вторичное квантование , который до сих пор используется для описания квантования поля, хотя современная подробная интерпретация отличается.

Одним из недостатков канонического квантования для релятивистского поля является то, что при использовании гамильтониана для определения зависимости от времени релятивистская инвариантность больше не проявляется. Таким образом, необходимо проверить, что релятивистская инвариантность не теряется. В качестве альтернативы, интегральный подход Фейнмана доступен для квантования релятивистских полей и является явно инвариантным. Для нерелятивистских теорий поля, таких как те, которые используются в физике конденсированного состояния , лоренц-инвариантность не является проблемой.

Операторы на местах

В квантовой механике переменные поля (например, амплитуда поля в заданной точке) представлены операторами в гильбертовом пространстве . В общем случае все наблюдаемые строятся как операторы в гильбертовом пространстве, а временная эволюция операторов управляется гамильтонианом , который должен быть положительным оператором. Состояние, аннулированное гамильтонианом, должно быть идентифицировано как состояние вакуума , которое является основой для построения всех других состояний. В невзаимодействующей (свободной) теории поля вакуум обычно идентифицируется как состояние, содержащее нулевые частицы. В теории с взаимодействующими частицами идентификация вакуума более тонка из-за поляризации вакуума , которая подразумевает, что физический вакуум в квантовой теории поля никогда не бывает на самом деле пустым. Для получения дополнительной информации см. статьи о квантово-механическом вакууме и вакууме квантовой хромодинамики . Детали канонического квантования зависят от квантуемого поля и от того, является ли оно свободным или взаимодействующим. ${\displaystyle |0\rangle }$

Реальное скалярное поле

Скалярная теория поля дает хороший пример процедуры канонического квантования. ^[10] Классически скалярное поле представляет собой набор бесконечного числа нормальных мод осциллятора . Достаточно рассмотреть 1+1-мерное пространство-время , в котором пространственное направление компактифицировано до круга с длиной окружности 2π , что делает импульсы дискретными. ${\displaystyle \mathbb {R} \times S_{1},}$

Классическая плотность Лагранжа описывает бесконечность связанных гармонических осцилляторов , помеченных x , которая теперь является меткой (а не динамической переменной смещения, подлежащей квантованию), обозначенной классическим полем φ , где V ( φ ) — потенциальный член, часто принимаемый за полином или моном степени 3 или выше. Функционал действия равен Канонический импульс, полученный с помощью преобразования Лежандра с использованием действия L , равен , а классический гамильтониан оказывается равным $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )={\tfrac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}-{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-V(\phi ),}$$ $${\displaystyle S(\phi )=\int {\mathcal {L}}(\phi )dxdt=\int L(\phi ,\partial _{t}\phi )dt\,.}$$ ${\displaystyle \pi =\partial _{t}\phi }$ $${\displaystyle H(\phi ,\pi )=\int dx\left[{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}+{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+V(\phi )\right].}$$

Каноническое квантование рассматривает переменные φ и π как операторы с каноническими коммутационными соотношениями в момент времени t = 0, заданными как Операторы, построенные из φ и π, затем могут быть формально определены в другие моменты времени посредством временной эволюции, генерируемой гамильтонианом, $${\displaystyle [\phi (x),\phi (y)]=0,\ \ [\pi (x),\pi (y)]=0,\ \ [\phi (x),\pi (y)]=i\hbar \delta (x-y).}$$ $${\displaystyle {\mathcal {O}}(t)=e^{itH}{\mathcal {O}}e^{-itH}.}$$

Однако, поскольку φ и π больше не коммутируют, это выражение неоднозначно на квантовом уровне. Проблема состоит в том, чтобы построить представление соответствующих операторов в гильбертовом пространстве и построить положительный оператор H как квантовый оператор в этом гильбертовом пространстве таким образом, чтобы он давал эту эволюцию для операторов , как задано предыдущим уравнением, и показать, что содержит вакуумное состояние , в котором H имеет нулевое собственное значение. На практике это построение является сложной проблемой для взаимодействующих теорий поля и было полностью решено только в нескольких простых случаях с помощью методов конструктивной квантовой теории поля . Многие из этих проблем можно обойти, используя интеграл Фейнмана, как описано для конкретного V ( φ ) в статье о скалярной теории поля . ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$

В случае свободного поля, с V ( φ ) = 0 , процедура квантования относительно проста. Удобно преобразовать поля Фурье , так что Реальность полей подразумевает, что Классический гамильтониан может быть разложен по модам Фурье как где . $${\displaystyle \phi _{k}=\int \phi (x)e^{-ikx}dx,\ \ \pi _{k}=\int \pi (x)e^{-ikx}dx.}$$ $${\displaystyle \phi _{-k}=\phi _{k}^{\dagger },~~~\pi _{-k}=\pi _{k}^{\dagger }.}$$ $${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\pi _{k}\pi _{k}^{\dagger }+\omega _{k}^{2}\phi _{k}\phi _{k}^{\dagger }\right],}$$ ${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}}$

Этот гамильтониан, таким образом, распознаётся как бесконечная сумма классических возбуждений осциллятора нормальной моды φ _k , каждое из которых квантуется стандартным образом , поэтому свободный квантовый гамильтониан выглядит идентично. Именно φ _k s стали операторами, подчиняющимися стандартным коммутационным соотношениям, [ φ _k , π _k ^† ] = [ φ _k ^† , π _k ] = iħ , при этом все остальные обращаются в нуль. Таким образом, коллективное гильбертово пространство всех этих осцилляторов строится с использованием операторов рождения и уничтожения, построенных из этих мод, для которых [ a _k , a _k ^† ] = 1 для всех k , при этом все остальные коммутаторы обращаются в нуль. $${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}+i\pi _{k}\right),\ \ a_{k}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}^{\dagger }-i\pi _{k}^{\dagger }\right),}$$

Вакуум считается уничтоженным всеми a _k , и представляет собой гильбертово пространство, построенное путем применения любой комбинации бесконечного набора операторов рождения a _k ^† к . Это гильбертово пространство называется пространством Фока . Для каждого k эта конструкция идентична квантовому гармоническому осциллятору . Квантовое поле представляет собой бесконечный массив квантовых осцилляторов. Квантовый гамильтониан тогда равен , где N _k можно интерпретировать как числовой оператор, задающий число частиц в состоянии с импульсом k . ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ $${\displaystyle H=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}a_{k}^{\dagger }a_{k}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}N_{k},}$$

Этот гамильтониан отличается от предыдущего выражения вычитанием нулевой энергии ħω _k /2 каждого гармонического осциллятора. Это удовлетворяет условию, что H должен уничтожить вакуум, не влияя на временную эволюцию операторов посредством вышеуказанной операции возведения в степень. Это вычитание нулевой энергии можно считать разрешением неоднозначности упорядочения квантовых операторов, поскольку оно эквивалентно требованию, чтобы все операторы рождения появлялись слева от операторов уничтожения в разложении гамильтониана. Эта процедура известна как упорядочение Вика или нормальное упорядочение .

Другие поля

Все остальные поля могут быть квантованы путем обобщения этой процедуры. Векторные или тензорные поля просто имеют больше компонентов, и независимые операторы создания и уничтожения должны быть введены для каждого независимого компонента. Если поле имеет какую-либо внутреннюю симметрию , то операторы создания и уничтожения должны быть введены для каждого компонента поля, связанного с этой симметрией. Если есть калибровочная симметрия , то число независимых компонентов поля должно быть тщательно проанализировано, чтобы избежать пересчета эквивалентных конфигураций, и при необходимости может быть применена калибровочная фиксация .

Оказывается, что коммутационные соотношения полезны только для квантования бозонов , для которых число заполнения любого состояния неограниченно. Для квантования фермионов , которые удовлетворяют принципу исключения Паули , необходимы антикоммутаторы. Они определяются как { A , B } = AB + BA .

При квантовании фермионов поля разлагаются по операторам рождения и уничтожения, θ _k ^† , θ _k , которые удовлетворяют $${\displaystyle \{\theta _{k},\theta _{l}^{\dagger }\}=\delta _{kl},\ \ \{\theta _{k},\theta _{l}\}=0,\ \ \{\theta _{k}^{\dagger },\theta _{l}^{\dagger }\}=0.}$$

Состояния построены на вакууме, уничтоженном θ _k , а пространство Фока построено путем применения всех произведений операторов рождения θ _k ^† к |0⟩ . Принцип исключения Паули выполняется, поскольку , в силу антикоммутационных соотношений. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle (\theta _{k}^{\dagger })^{2}|0\rangle =0}$

Конденсаты

Построение состояний скалярного поля выше предполагало, что потенциал был минимизирован при φ = 0, так что вакуум, минимизирующий гамильтониан, удовлетворяет ⟨ φ ⟩ = 0 , указывая на то, что ожидаемое значение вакуума (VEV) поля равно нулю. В случаях, связанных со спонтанным нарушением симметрии , возможно иметь ненулевое VEV, поскольку потенциал минимизируется для значения φ = v . Это происходит, например, если V ( φ ) = gφ ⁴ − 2 m ² φ ² с g > 0 и m ² > 0 , для которых минимальная энергия находится при v = ± m / √ g . Значение v в одном из этих вакуумов можно рассматривать как конденсат поля φ . Каноническое квантование тогда может быть выполнено для смещенного поля φ ( x , t ) − v , и состояния частиц относительно смещенного вакуума определяются квантованием смещенного поля. Эта конструкция используется в механизме Хиггса в стандартной модели физики элементарных частиц .

Математическое квантование

Квантование деформации

Классическая теория описывается с использованием пространственноподобного расслоения пространства-времени , при этом состояние в каждом срезе описывается элементом симплектического многообразия с эволюцией времени, заданной симплектоморфизмом, порожденным функцией Гамильтона над симплектическим многообразием. Квантовая алгебра «операторов» является ħ - деформацией алгебры гладких функций над симплектическим пространством, такой что ведущий член в разложении Тейлора по ħ коммутатора [ A , B ] , выраженного в формулировке фазового пространства, есть iħ { A , B } . (Здесь фигурные скобки обозначают скобку Пуассона . Все подчиненные члены закодированы в скобке Мойала , подходящей квантовой деформации скобки Пуассона.) В общем случае для задействованных величин (наблюдаемых), и предоставления аргументов таких скобок, ħ -деформации весьма неоднозначны — квантование является «искусством» и задается физическим контекстом. (Две различные квантовые системы могут представлять две различные, неэквивалентные деформации одного и того же классического предела , ħ → 0. )

Теперь ищем унитарные представления этой квантовой алгебры. Относительно такого унитарного представления симплектоморфизм в классической теории теперь деформировался бы в (метаплектическое) унитарное преобразование . В частности, симплектоморфизм эволюции во времени, порожденный классическим гамильтонианом, деформируется в унитарное преобразование, порожденное соответствующим квантовым гамильтонианом.

Дальнейшее обобщение состоит в рассмотрении многообразия Пуассона вместо симплектического пространства для классической теории и выполнении ħ -деформации соответствующей алгебры Пуассона или даже супермногообразий Пуассона .

Геометрическое квантование

В отличие от теории деформационного квантования, описанной выше, геометрическое квантование стремится построить фактическое гильбертово пространство и операторы на нем. Начиная с симплектического многообразия , сначала строится предквантовое гильбертово пространство, состоящее из пространства квадратично-интегрируемых сечений соответствующего линейного расслоения над . На этом пространстве можно отобразить все классические наблюдаемые в операторы на предквантовом гильбертовом пространстве, причем коммутатор в точности соответствует скобке Пуассона. Однако предквантовое гильбертово пространство явно слишком велико, чтобы описать квантование . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Затем следует выбрать поляризацию, то есть (грубо говоря) выбор переменных на -мерном фазовом пространстве. Квантовое гильбертово пространство тогда является пространством сечений, которые зависят только от выбранных переменных, в том смысле, что они ковариантно постоянны в других направлениях. Если выбранные переменные действительны, мы получаем что-то вроде традиционного пространства Шредингера-Гильберта. Если выбранные переменные комплексные, мы получаем что-то вроде пространства Сигала–Баргмана . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Смотрите также

• Принцип соответствия
• Операторы создания и уничтожения
• скобка Дирака
• Кронштейн Moyal
• Формулировка фазового пространства (квантовой механики)
• Геометрическое квантование

Ссылки

1. Дирак, П. А. М. (1925). «Фундаментальные уравнения квантовой механики». Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 109 (752): 642–653. Bibcode :1925RSPSA.109..642D. doi : 10.1098/rspa.1925.0150 .
2. Дирак, ПАМ (1982). Принципы квантовой механики . США: Oxford University Press. ISBN 0-19-852011-5.
3. ван дер Варден, BL (1968). Источники квантовой механики . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0486618811.
4. Швебер, СС (1983). QED и люди, которые это сделали . Принстон: Princeton University Press. ISBN 0691033277.
5. Холл 2013 Теорема 13.13
6. Groenewold, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Physica . 12 (7). Elsevier BV: 405–460. Bibcode : 1946Phy....12..405G. doi : 10.1016/s0031-8914(46)80059-4. ISSN  0031-8914.
7. Холл 2013 Раздел 13.4
8. Shewell, John Robert (1959). «О формировании квантово-механических операторов». American Journal of Physics . 27 (1). Американская ассоциация учителей физики (AAPT): 16–21. Bibcode : 1959AmJPh..27...16S. doi : 10.1119/1.1934740. ISSN  0002-9505.
9. ALI, S. TWAREQUE; Engliš, MIROSLAV (2005). «Методы квантования: руководство для физиков и аналитиков». Обзоры по математической физике . 17 (4): 391–490. arXiv : math-ph/0405065 . doi :10.1142/s0129055x05002376. ISSN  0129-055X. S2CID  119152724.
10. Эта трактовка основана в первую очередь на гл. 1 в Connes, Alain ; Marcolli, Matilde (2008). Noncommutative Geometry, Quantum Fields, and Motives (PDF) . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4210-2. Архивировано из оригинала (PDF) 2009-12-29 . Получено 2010-05-16 .

Исторические справки

• Сильван С. Швебер : QED и люди, которые ее создали , Princeton Univ. Press, 1994, ISBN 0-691-03327-7 

Общие технические ссылки

• Александр Альтланд, Бен Саймонс: Теория поля конденсированного состояния , Cambridge Univ. Press, 2009, ISBN 978-0-521-84508-3 
• Джеймс Д. Бьоркен, Сидней Д. Дрелл: Релятивистская квантовая механика , Нью-Йорк, McGraw-Hill, 1964
• Холл, Брайан С. (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158.
• Введение в квантовую теорию поля , М. Э. Пескин и Х. Д. Шредер, ISBN 0-201-50397-2 
• Франц Швабль: Advanced Quantum Mechanics , Берлин и др., Springer, 2009 ISBN 978-3-540-85061-8 

Внешние ссылки

• Педагогические пособия по квантовой теории поля Щелкните по ссылкам на главы 1 и 2 на этом сайте, чтобы найти обширное упрощенное введение во вторичное квантование. См. раздел 1.5.2 в главе 1. См. раздел 2.7 и резюме главы в главе 2.