В теории чисел числовое поле F называется вполне вещественным, если при каждом вложении F в комплексные числа образ лежит внутри действительных чисел . Эквивалентные условия заключаются в том, что F порождается над Q одним корнем целочисленного многочлена P , причем все корни P действительны; или что тензорная алгебра произведения F с вещественным полем над Q изоморфна тензорной степени R .
Например, квадратичные поля F степени 2 над Q являются либо действительными (и тогда вполне вещественными), либо комплексными, в зависимости от того, присоединен ли к Q квадратный корень из положительного или отрицательного числа . В случае кубических полей кубический целочисленный многочлен P, неприводимый над Q , будет иметь хотя бы один действительный корень. Если оно имеет один действительный и два комплексных корня, соответствующее кубическое расширение Q , определенное присоединением вещественного корня, не будет полностью вещественным, хотя это поле действительных чисел.
Полно действительные числовые поля играют в алгебраической теории чисел особую значительную роль . Абелево расширение Q либо вполне вещественно, либо содержит вполне вещественное подполе , над которым оно имеет степень два.
Любое числовое поле Галуа над рациональными числами должно быть либо полностью действительным, либо полностью мнимым .