Определенная квадратичная форма

Тип однородного многочлена степени 2

В математике определенная квадратичная форма — это квадратичная форма над некоторым действительным векторным пространством V , которая имеет один и тот же знак (всегда положительный или всегда отрицательный) для каждого ненулевого вектора V. В соответствии с этим знаком квадратичная форма называется положительно-определенной или отрицательно-определенной .

Полуопределенная (или полуопределенная ) квадратичная форма определяется примерно таким же образом, за исключением того, что «всегда положительная» и «всегда отрицательная» заменяются на «никогда не отрицательная» и «никогда не положительная» соответственно. Другими словами, она может принимать нулевые значения для некоторых ненулевых векторов V .

Неопределенная квадратичная форма принимает как положительные , так и отрицательные значения и называется изотропной квадратичной формой .

В более общем смысле эти определения применимы к любому векторному пространству над упорядоченным полем . ^[1]

Ассоциированная симметричная билинейная форма

Квадратичные формы соответствуют один к одному симметричным билинейным формам над тем же пространством. ^[2] Симметричная билинейная форма также описывается как определенная , полуопределенная и т. д. в соответствии с ее ассоциированной квадратичной формой. Квадратичная форма Q и ее ассоциированная симметричная билинейная форма B связаны следующими уравнениями:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&=B(x,x)\\B(x,y)&=B(y,x)={\tfrac {1}{2}}[Q(x+y)-Q(x)-Q(y)]~.\end{aligned}}}$

Последняя формула возникает из расширения ${\displaystyle \;Q(x+y)=B(x+y,x+y)~.}$

Примеры

В качестве примера пусть , и рассмотрим квадратичную форму ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}}$

где и c ₁ и c ₂ являются константами. Если c ₁ > 0 и c ₂ > 0 , квадратичная форма Q является положительно определенной, поэтому Q оценивается как положительное число всякий раз, когда Если одна из констант положительна, а другая равна 0, то Q является положительно полуопределенной и всегда оценивается как 0 или положительное число. Если c ₁ > 0 и c ₂ < 0 , или наоборот, то Q является неопределенной и иногда оценивается как положительное число, а иногда как отрицательное число. Если c ₁ < 0 и c ₂ < 0 , квадратичная форма является отрицательно определенной и всегда оценивается как отрицательное число всякий раз, когда И если одна из констант отрицательна, а другая равна 0, то Q является отрицательно полуопределенной и всегда оценивается как 0 или отрицательное число. ${\displaystyle ~x=[x_{1},x_{2}]\in V}$ ${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$ ${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$

В общем случае квадратичная форма от двух переменных также будет включать в себя член перекрестного произведения по x ₁ · x ₂ :

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}+2c_{3}x_{1}x_{2}~.}$

Эта квадратичная форма положительно определена, если и отрицательно определена, если и и неопределенна, если Она положительно или отрицательно полуопределена, если со знаком полуопределенности, совпадающим со знаком ${\displaystyle \;c_{1}>0\;}$ ${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$ ${\displaystyle \;c_{1}<0\;}$ ${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$ ${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}<0~.}$ ${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0\;,}$ ${\displaystyle \;c_{1}~.}$

Эта двумерная квадратичная форма появляется в контексте конических сечений, центрированных в начале координат. Если общая квадратичная форма выше приравнена к 0, то полученное уравнение будет уравнением эллипса, если квадратичная форма положительно или отрицательно определена, гиперболы , если она неопределена, и параболы, если ${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0~.}$

Квадрат евклидовой нормы в n -мерном пространстве, наиболее часто используемая мера расстояния, равна

${\displaystyle {x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}~.}$

В двух измерениях это означает, что расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов расстояний вдоль оси и оси. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Матричная форма

Квадратичную форму можно записать в терминах матриц как

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x}$

где x — любой декартов вектор n × 1 , в котором хотя бы один элемент не равен 0; A — симметричная матрица n × n ; а верхний индекс ^T обозначает транспонированную матрицу . Если A диагональна , это эквивалентно нематричной форме, содержащей исключительно члены, включающие квадраты переменных; но если A имеет какие-либо ненулевые недиагональные элементы, нематричная форма также будет содержать некоторые члены, включающие произведения двух различных переменных. ${\displaystyle \;[x_{1},\cdots ,x_{n}]^{\mathsf {T}}\;}$

Положительная или отрицательная определённость, или полуопределённость, или неопределённость этой квадратичной формы эквивалентна тому же свойству A , которое можно проверить, рассмотрев все собственные значения A или проверив знаки всех его главных миноров .

Оптимизация

Определенные квадратичные формы легко поддаются задачам оптимизации . Предположим, что матричная квадратичная форма дополнена линейными членами, как

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x+b^{\mathsf {T}}x\;,}$

где b — вектор констант размером n × 1. Условия первого порядка для максимума или минимума находятся путем установки производной матрицы в нулевой вектор:

${\displaystyle 2A\,x+b={\vec {0}}\;,}$

давая

${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{2}}\,A^{-1}b\;,}$

предполагая, что A невырождена . Если квадратичная форма, а значит, и A , положительно определена, то в этой точке выполняются условия второго порядка для минимума. Если квадратичная форма отрицательно определена, то выполняются условия второго порядка для максимума.

Важным примером такой оптимизации является множественная регрессия , в которой ищется вектор оценочных параметров, который минимизирует сумму квадратов отклонений от идеального соответствия в наборе данных.

Смотрите также

• Изотропная квадратичная форма
• Положительно-определенная функция
• Положительно-определенная матрица
• Поляризационная идентичность

Примечания

1. Милнор и Хусемоллер 1973, стр. 61.
2. Это верно только для поля с характеристикой, отличной от 2, но здесь мы рассматриваем только упорядоченные поля , которые обязательно имеют характеристику 0.

Ссылки

• Китаока, Ёсиюки (1993). Арифметика квадратичных форм . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 106. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Збл  0785.11021.
• Ланг, Серж (2004), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (Исправленное четвертое издание, пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 578, ISBN 978-0-387-95385-4.
• Милнор, Дж .; Хуземоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . Том. 73. Спрингер. ISBN 3-540-06009-X. Збл  0292.10016.