Полуправильный многогранник

Изогональный многогранник с правильными гранями

В геометрии , по определению Торольда Госсета, полуправильный многогранник обычно понимается как многогранник , который является вершинно-транзитивным и все грани которого являются правильными многогранниками . В 1912 году Э. Л. Элте составил более длинный список под названием «Полуправильные многогранники гиперпространств», который включал более широкое определение.

Список Госсета

В трехмерном пространстве и ниже термины полуправильный многогранник и однородный многогранник имеют одинаковые значения, поскольку все однородные многоугольники должны быть правильными . Однако, поскольку не все однородные многогранники являются правильными , число полуправильных многогранников в размерностях выше трех намного меньше числа однородных многогранников в том же числе размерностей.

Три выпуклых полуправильных 4-мерных многогранника — это выпрямленный 5-ячейник , плосконосый 24-ячейник и выпрямленный 600-ячейник . Единственными полуправильными многогранниками в более высоких размерностях являются многогранники k 21 , где выпрямленный 5-ячейник является частным случаем k = 0. Все они были перечислены Госсетом, но доказательство полноты этого списка было опубликовано только в работе Макарова (1988) для четырех измерений и Blind & Blind (1991) для более высоких размерностей.

4-мерные многогранники Госсета (в скобках указаны его имена)

Выпрямленный 5-ячеечный (Тетроктаэдрический),

Выпрямленный 600-ячеечный (октикосаэдрический),

Плосконосый 24-ячеечный (Тетрикосаэдрический),,или

Полуправильные E-многогранники в высших размерностях

5-демикуб (5-ик полуправильный), 5-многогранник ,↔

2 ₂₁ многогранник (6-й полуправильный), 6-многогранник ,или

3 ₂₁ многогранник (7-ic полуправильный), 7-многогранник ,

4 ₂₁ многогранник (8-ми кратный полуправильный), 8-ми кратный многогранник ,

Евклидовы соты

Тетраэдрально -октаэдрические соты в евклидовом трехмерном пространстве имеют чередующиеся тетраэдрические и октаэдрические ячейки.

Полуправильные многогранники можно расширить до полуправильных сот . Полуправильные евклидовы соты — это тетраэдрально-октаэдрические соты (3D), перемежающиеся кубические соты (3D) и соты 5 21 (8D).

Соты Госсета :

1. Тетраэдрально-октаэдрические соты или чередующиеся кубические соты (простая проверка тетраоктаэдрической структуры),↔(Также квазиправильный многогранник )
2. Перевернутые кубические соты (сложная тетрооктаэдрическая проверка),

Полурегулярные E-соты:

• 5 ₂₁ сота (9-ic check) (8D евклидовы соты),

Госсет (1900) дополнительно допустил, что евклидовы соты являются гранями многомерных евклидовых сот, приведя следующие дополнительные цифры:

1. Гиперкубическая сотовая призма, названная Госсетом ( n – 1)-ичным полушахом (аналогично одному ряду или вертикали шахматной доски)
2. Чередующиеся шестиугольные пластинчатые соты (тетроктаэдрические полуклетки),

Гиперболические соты

Гиперболические тетраэдрально-октаэдрические соты имеют тетраэдрические и два типа октаэдрических ячеек.

Существуют также гиперболические однородные соты, состоящие только из обычных ячеек (Коксетер и Уитроу, 1950), в том числе:

• Гиперболические однородные соты , 3D соты:
  1. Альтернативный порядок-5 кубических сот ,↔(Также квазиправильный многогранник )
  2. Тетраэдрально-октаэдрические соты ,
  3. Тетраэдр-икосаэдрические соты ,
• Паракомпактные однородные соты , трехмерные соты, включающие в себя однородные мозаики в качестве ячеек:
  1. Выпрямленные тетраэдрические соты порядка 6 ,
  2. Ректифицированная квадратная плитка с сотами ,
  3. Исправленный заказ-4 квадратная плитка сотовая ,↔
  4. Альтернативный порядок-6 кубических сот ,↔(Также квазирегулярный)
  5. Чередующиеся шестиугольные соты ,↔
  6. Чередующийся порядок-4 шестиугольные соты мозаики ,↔
  7. Чередующийся порядок-5 шестиугольных сотовых плиток ,↔
  8. Чередующийся порядок-6 шестиугольных сотовых плиток ,↔
  9. Чередующиеся квадратные соты ,↔(Также квазирегулярный)
  10. Кубически-квадратная черепица с сотами ,
  11. Заказ-4 квадратная плитка сотовая ,=
  12. Тетраэдрально-треугольная черепичная сота ,
• 9D гиперболические паракомпактные соты:
  1. 6 ₂₁ сота (10-я проверка),

Смотрите также

• Полуправильный многогранник

Ссылки

• Слепой, Г.; Слепой, Р. (1991). «Полуправильные многогранники». Комментарии по математике Helvetici . 66 (1): 150–154. дои : 10.1007/BF02566640. MR  1090169. S2CID  119695696.
• Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8.
• Коксетер, Х. С. М.; Уитроу, Г. Дж. (1950). «Структура мира и неевклидовы соты». Труды Королевского общества . 201 (1066): 417–437. Bibcode : 1950RSPSA.201..417C. doi : 10.1098/rspa.1950.0070. MR  0041576. S2CID  120322123.
• Эльте, ЭЛ (1912). Полуправильные многогранники гиперпространств . Гронинген: Гронингенский университет. ISBN 1-4181-7968-X.
• Госсет, Торольд (1900). «О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений». Вестник математики . 29 : 43–48.
• Макаров, П.В. (1988). «О выводе четырехмерных полуправильных многогранников». Вопросы дискретной геометрической математики и механики АН СССР . 103 : 139–150, 177. МР  0958024.