5 21 соты

Тип равномерной тесселяции

В геометрии соты 5 ₂₁ — это равномерная мозаика 8-мерного евклидова пространства. Символ 5 ₂₁ взят из Коксетера и назван в честь длины трех ветвей его диаграммы Коксетера-Дынкина. ^[1]

Помещая сферы в его вершины, получаем максимально плотную упаковку сфер в 8 измерениях. Это доказала Марина Вязовская в 2016 году с помощью теории модульных форм . За эту работу Вязовская была награждена медалью Филдса в 2022 году.

Эти соты были впервые изучены Госсетом, который назвал их 9-мерной полуправильной фигурой ^[2] (Госсет рассматривал соты в n измерениях как вырожденные n +1 многогранники).

Каждая вершина сот 5 ₂₁ окружена 2160 8-ортоплексами и 17280 8-симплициями .

Вершинной фигурой сот Госсета является полуправильный многогранник 4 _21. Это последняя фигура в семействе k 21 .

Эти соты являются в высшей степени регулярными в том смысле, что их группа симметрии (аффинная группа Вейля) действует транзитивно на k -гранях при k ≤ 6. Все k -грани при k ≤ 7 являются симплексами. ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$

Строительство

Он создан с помощью конструкции Витхоффа на основе набора из 9 гиперплоских зеркал в 8-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Коксетера-Дынкина .

Удаление узла на конце ветви длиной 2 оставляет 8-ортоплекс , 6 ₁₁ .

Удаление узла на конце ветви длиной 1 оставляет 8-симплекс .

Вершинная фигура определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это создает многогранник 4 21 .

Фигура ребра определяется из фигуры вершины путем удаления окольцованного узла и окольцования соседнего узла. Это создает многогранник 3 21 .

Фигура грани определяется из фигуры ребра путем удаления окольцованного узла и окольцования соседнего узла. Это дает многогранник 2 21 .

Фигура ячейки определяется из фигуры грани путем удаления окольцованного узла и окольцования соседнего узла. Это дает многогранник 1 21 .

Поцелуй номер

Каждая вершина этой мозаики является центром 7-сферы в плотнейшей упаковке в 8 измерениях; ее число соприкосновения равно 240, представленное вершинами ее вершинной фигуры 4 21 .

решетка E8

${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$содержит как подгруппу индекса 5760. ^[3] Оба могут рассматриваться как аффинные расширения из разных узлов: ${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$ ${\displaystyle A_{8}}$

${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$содержит как подгруппу индекса 270. ^[4] Оба могут рассматриваться как аффинные расширения из разных узлов: ${\displaystyle {\tilde {D}}_{8}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}_{8}}$ ${\displaystyle D_{8}}$

Расположение вершин 5 ₂₁ называется решеткой E8 . ^[5]

Решетка E8 может быть также построена как объединение вершин двух 8-демикубических сот (называемая решеткой D ₈ ² или D ₈ ⁺ ), а также как объединение вершин трех 8-симплексных сот (называемая решеткой A ₈ ³ ): ^[6]

=∪=∪∪

Обычные сложные соты

Используя комплексную систему координат, его также можно построить как правильный комплексный многогранник , учитывая символ 3{3}3{3}3{3}3{3}3 и диаграмму Коксетера ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$ . Его элементы находятся в относительной пропорции как 1 вершина, 80 3-ребер, 270 ₃ {3} ₃ граней, 80 ₃ {3} ₃ {3} ₃ ячеек и 1 ₃ {3} _{3 {3} 3} {3} ₃ {3} _{3 ячеек} многогранника Виттинга . ^[7]

Связанные многогранники и соты

5 ₂₁ является седьмым в размерной серии полуправильных многогранников , определенных в 1900 году Торольдом Госсетом . Каждый член последовательности имеет предыдущий член в качестве своей вершинной фигуры . Все грани этих многогранников являются правильными многогранниками , а именно симплексами и ортоплексами .

Смотрите также

• решетка E8
• 1 ₅₂ соты
• 2 ₅₁ соты

Примечания

1. Коксетер, 1973, Глава 5: Калейдоскоп
2. Госсет, Торольд (1900). «О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений». Вестник математики . 29 : 43–48.
3. NW Johnson: Геометрии и преобразования , (2018) 12.5: Евклидовы группы Коксетера, стр.294
4. Джонсон (2011) стр.177
5. «Решетка E8».
6. Калейдоскопы: Избранные труды Х.С.М. Коксетера, статья 18, «Крайние формы» (1950)
7. Правильные выпуклые многогранники Коксетера, 12.5 Многогранник Виттинга

Ссылки

• Коксетер Красота геометрии: Двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников) 
• Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники ((3-е изд.) ред.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8.
• Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (Документ 24) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• NW Johnson : Геометрии и преобразования , (2015)