stringtranslate.com

Упаковка сфер

Упаковка сфер находит практическое применение при укладке пушечных ядер .

В геометрии упаковка сфер — это расположение неперекрывающихся сфер внутри содержащего пространства. Рассматриваемые сферы обычно имеют одинаковый размер, а пространство обычно представляет собой трехмерное евклидово пространство . Однако задачи упаковки сфер можно обобщить для рассмотрения неравных сфер, пространств других измерений (где задача становится упаковкой кругов в двух измерениях или упаковкой гиперсфер в более высоких измерениях) или неевклидовых пространств, таких как гиперболическое пространство .

Типичная задача упаковки сфер — найти расположение, в котором сферы заполняют как можно больше пространства. Доля пространства, заполненного сферами, называется плотностью упаковки расположения. Поскольку локальная плотность упаковки в бесконечном пространстве может меняться в зависимости от объема, по которому она измеряется, проблема обычно заключается в максимизации средней или асимптотической плотности, измеренной по достаточно большому объему.

Для равных сфер в трех измерениях самая плотная упаковка использует приблизительно 74% объема. Случайная упаковка равных сфер обычно имеет плотность около 63,5%. [1]

Классификация и терминология

Решетчатая конфигурация (обычно называемая регулярной ) — это конфигурация , в которой центры сфер образуют очень симметричный рисунок, для однозначного определения которого требуется всего лишь n векторов (в n - мерном евклидовом пространстве ). Решетчатые конфигурации являются периодическими. Конфигурации, в которых сферы не образуют решетку (часто называемые нерегулярными ), все еще могут быть периодическими, но также апериодическими (собственно говоря, непериодическими ) или случайными . Из-за высокой степени симметрии решетчатые упаковки легче классифицировать, чем нерешетчатые. Периодические решетки всегда имеют четко определенные плотности.

Обычная упаковка

Регулярное расположение равных сфер на плоскости сменяется нерегулярным расположением неравных сфер (пузырьков).
Решетка HCP (слева) и решетка FCC (справа) являются двумя наиболее распространенными конфигурациями с самой высокой плотностью.
Два способа сложить три плоскости из сфер

Плотная упаковка

В трехмерном евклидовом пространстве плотнейшая упаковка равных сфер достигается семейством структур, называемых плотноупакованными структурами. Один из методов создания такой структуры заключается в следующем. Рассмотрим плоскость с компактным расположением сфер на ней. Назовем ее A. Для любых трех соседних сфер четвертая сфера может быть помещена сверху в углубление между тремя нижними сферами. Если мы сделаем это для половины отверстий во второй плоскости над первой, мы создадим новый компактный слой. Для этого есть два возможных варианта, назовем их B и C. Предположим, что мы выбрали B. Тогда одна половина полостей B лежит над центрами шаров в A, а другая половина лежит над полостями A, которые не были использованы для B. Таким образом, шары третьего слоя могут быть размещены либо непосредственно над шарами первого, что даст слой типа A, либо над отверстиями первого слоя, которые не были заняты вторым слоем, что даст слой типа C. Объединение слоев типов A, B и C дает различные плотноупакованные структуры.

Два простых расположения в пределах семейства плотноупакованных соответствуют регулярным решеткам. Одно называется кубической плотной упаковкой (или гранецентрированной кубической , «FCC») — где слои чередуются в последовательности ABCABC.... Другое называется гексагональной плотной упаковкой («HCP»), где слои чередуются в последовательности ABAB.... [ сомнительно – обсудить ] Но возможны многие последовательности укладки слоев (ABAC, ABCBA, ABCBAC и т. д.), и все еще генерируют плотноупакованную структуру. Во всех этих расположениях каждая сфера касается 12 соседних сфер, [2] и средняя плотность равна

В 1611 году Иоганн Кеплер предположил, что это максимально возможная плотность среди как регулярных, так и нерегулярных расположений — это стало известно как гипотеза Кеплера . Карл Фридрих Гаусс доказал в 1831 году, что эти упаковки имеют самую высокую плотность среди всех возможных решётчатых упаковок. [3] В 1998 году Томас Каллистер Хейлз , следуя подходу, предложенному Ласло Фейешем Тотом в 1953 году, объявил о доказательстве гипотезы Кеплера. Доказательство Хейлза — это доказательство исчерпыванием, включающее проверку многих отдельных случаев с использованием сложных компьютерных вычислений. Рецензенты заявили, что они «на 99% уверены» в правильности доказательства Хейлза. 10 августа 2014 года Хейлз объявил о завершении формального доказательства с использованием автоматизированной проверки доказательств , что развеяло любые сомнения. [4]

Другие распространенные решетчатые упаковки

Некоторые другие решетчатые упаковки часто встречаются в физических системах. К ним относятся кубическая решетка с плотностью , гексагональная решетка с плотностью и тетраэдрическая решетка с плотностью . [5]

Забитые набивки с низкой плотностью

Упаковки, в которых все сферы удерживаются своими соседями, чтобы оставаться в одном месте, называются жесткими или зажатыми . Строго зажатая (механически устойчивая даже как конечная система) регулярная упаковка сфер с самой низкой известной плотностью представляет собой разбавленный («туннелированный») кристалл ГЦК с плотностью всего лишь π √ 2 /9 ≈ 0,49365 . [6] Самая свободная известная регулярная зажатая упаковка имеет плотность приблизительно 0,0555. [7]

Неправильная упаковка

Если мы попытаемся построить плотно упакованную коллекцию сфер, у нас будет соблазн всегда помещать следующую сферу в полость между тремя упакованными сферами. Если пять сфер собраны таким образом, они будут соответствовать одному из регулярно упакованных расположений, описанных выше. Однако шестая сфера, размещенная таким образом, сделает структуру несовместимой с любым регулярным расположением. Это приводит к возможности случайной плотной упаковки сфер, которая устойчива к сжатию. [8] Вибрация случайной рыхлой упаковки может привести к расположению сферических частиц в регулярные упаковки, процесс, известный как зернистая кристаллизация . Такие процессы зависят от геометрии контейнера, удерживающего сферические зерна. [2]

Когда сферы случайным образом добавляются в контейнер, а затем сжимаются, они, как правило, образуют то, что известно как «нерегулярная» или «застрявшая» конфигурация упаковки, когда их больше нельзя сжимать. Эта нерегулярная упаковка, как правило, будет иметь плотность около 64%. Недавние исследования аналитически предсказывают, что она не может превышать предел плотности 63,4% [9] Эта ситуация отличается от случая одного или двух измерений, где сжатие набора одномерных или двумерных сфер (то есть отрезков линий или окружностей) даст регулярную упаковку.

Упаковка гиперсфер

Задача упаковки сфер — это трехмерная версия класса задач упаковки шаров в произвольных измерениях. В двух измерениях эквивалентная задача — упаковка кругов на плоскости. В одном измерении — упаковка отрезков прямых в линейную вселенную. [10]

В размерностях выше трех самые плотные решетчатые упаковки гиперсфер известны вплоть до 8 измерений. [11] Очень мало известно о нерегулярных упаковках гиперсфер; возможно, что в некоторых размерностях самая плотная упаковка может быть нерегулярной. Некоторое подтверждение этой гипотезы исходит из того факта, что в определенных размерностях (например, 10) самая плотная известная нерегулярная упаковка плотнее самой плотной известной регулярной упаковки. [12]

В 2016 году Марина Вязовская объявила о доказательстве того, что решетка E 8 обеспечивает оптимальную упаковку (независимо от регулярности) в восьмимерном пространстве [13] , а вскоре после этого она и группа соавторов объявили о похожем доказательстве того, что решетка Лича оптимальна в 24 измерениях. [14] Этот результат основывался на предыдущих методах, которые показали, что эти две решетки очень близки к оптимальным, и улучшил их. [15] Новые доказательства включают использование преобразования Лапласа тщательно выбранной модулярной функции для построения радиально-симметричной функции f такой, что f и ее преобразование Фурье f̂   оба равны 1 в начале координат и оба равны нулю во всех других точках оптимальной решетки, причем f отрицательно вне центральной сферы упаковки и f̂ положительно. Затем формула суммирования Пуассона для f   используется для сравнения плотности оптимальной решетки с плотностью любой другой упаковки. [16] До того, как доказательство было официально рассмотрено и опубликовано, математик Питер Сарнак назвал его «поразительно простым» и написал: «Вы просто начинаете читать статью, и вы знаете, что это правильно». [17]

Другое направление исследований в высоких размерностях — это попытка найти асимптотические границы для плотности плотнейших упаковок. Известно, что при больших n плотнейшая решетка в размерности n имеет плотность между cn ⋅ 2 − n (для некоторой константы c ) и 2 −(0,599+o(1)) n . [18] Предполагаемые границы лежат между ними. [19] В препринте 2023 года Марсело Кампос, Мэтью Йенссен, Маркус Михелэн и Джулиан Сахасрабудхе улучшили нижнюю границу максимальной плотности до , [20] [21] среди своих методов они используют отсечение Редля .

Неравномерная упаковка сфер

Плотная упаковка сфер с отношением радиусов 0,64799 и плотностью 0,74786 [22]

Многие проблемы в химических и физических науках могут быть связаны с проблемами упаковки, где доступно более одного размера сфер. Здесь есть выбор между разделением сфер на области плотно упакованных равных сфер или объединением нескольких размеров сфер в составную или интерстициальную упаковку. Когда доступно много размеров сфер (или распределение ), проблема быстро становится неразрешимой, но некоторые исследования бинарных твердых сфер (два размера) доступны.

Когда вторая сфера намного меньше первой, можно расположить большие сферы в плотно упакованном расположении, а затем расположить малые сферы в октаэдрических и тетраэдрических зазорах. Плотность этой интерстициальной упаковки чувствительно зависит от соотношения радиусов, но в пределе экстремальных соотношений размеров меньшие сферы могут заполнять зазоры с той же плотностью, что и заполненное пространство большими сферами. [23] Даже если большие сферы не находятся в плотно упакованном расположении, всегда можно вставить несколько меньших сфер до 0,29099 радиуса большей сферы. [24]

Когда радиус меньшей сферы больше 0,41421 радиуса большей сферы, она больше не может вписаться даже в октаэдрические отверстия плотноупакованной структуры. Таким образом, за этой точкой структура-хозяин должна либо расшириться, чтобы вместить интерстиции (что ставит под угрозу общую плотность), либо перестроиться в более сложную кристаллическую составную структуру. Известны структуры, которые превышают плотность плотной упаковки для отношений радиусов до 0,659786. [22] [25]

Также были получены верхние границы плотности, которые могут быть получены в таких бинарных упаковках. [26]

Во многих химических ситуациях, таких как ионные кристаллы , стехиометрия ограничена зарядами составляющих ионов. Это дополнительное ограничение на упаковку, вместе с необходимостью минимизировать кулоновскую энергию взаимодействующих зарядов, приводит к разнообразию оптимальных схем упаковки.

Верхняя граница плотности строго защемленной упаковки сфер с любым набором радиусов равна 1 — примером такой упаковки сфер является упаковка Аполлона. Нижняя граница для такой упаковки сфер равна 0 — примером является упаковка Дионисия. [27]

Гиперболическое пространство

Хотя концепция окружностей и сфер может быть расширена до гиперболического пространства , нахождение самой плотной упаковки становится намного сложнее. В гиперболическом пространстве нет предела количеству сфер, которые могут окружать другую сферу (например, окружности Форда можно рассматривать как расположение идентичных гиперболических окружностей, в которых каждая окружность окружена бесконечным числом других окружностей). Понятие средней плотности также становится намного сложнее для точного определения. Самые плотные упаковки в любом гиперболическом пространстве почти всегда нерегулярны. [28]

Несмотря на эту трудность, К. Бёрёцки дает универсальную верхнюю границу для плотности упаковок сфер гиперболического n -пространства, где n  ≥ 2. [29] В трех измерениях граница Бёрёцки составляет приблизительно 85,327613% и реализуется упаковкой орисфер тетраэдрических сот порядка 6 с символом Шлефли {3,3,6}. [30] В дополнение к этой конфигурации известно, что в гиперболическом 3-пространстве существуют по крайней мере три другие упаковки орисфер , которые реализуют верхнюю границу плотности. [31]

Соприкасающиеся пары, тройки и четверки

Контактный граф произвольной конечной упаковки единичных шаров — это граф, вершины которого соответствуют элементам упаковки, и две вершины которого соединены ребром, если соответствующие два элемента упаковки касаются друг друга. Мощность множества ребер контактного графа дает число касающихся пар, число 3-циклов в контактном графе дает число касающихся троек, а число тетраэдров в контактном графе дает число касающихся четверок (в общем случае для контактного графа, связанного с упаковкой сфер в n измерениях, мощность множества n -симплексов в контактном графе дает число касающихся ( n  + 1)-кортежей в упаковке сфер). В случае трехмерного евклидова пространства нетривиальные верхние оценки числа касающихся пар, троек и четверок [32] были доказаны Кароли Бездеком и Сэмюэлем Ридом из Университета Калгари.

Задача поиска расположения n одинаковых сфер, которое максимизирует число точек контакта между сферами, известна как «задача о липкой сфере». Максимум известен для n ≤ 11, а для больших n известны только предположительные значения . [33]

Другие пространства

Упаковка сфер в углах гиперкуба (со сферами, определенными расстоянием Хэмминга ) соответствует проектированию кодов с исправлением ошибок : если сферы имеют радиус t , то их центры являются кодовыми словами (2 t  + 1)-кода с исправлением ошибок. Упаковки решеток соответствуют линейным кодам. Существуют и другие, более тонкие связи между упаковкой евклидовых сфер и кодами с исправлением ошибок. Например, двоичный код Голея тесно связан с 24-мерной решеткой Лича.

Более подробную информацию об этих связях см . в книге « Упаковки сфер, решетки и группы» Конвея и Слоана . [34]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ У, Юйгун; Фань, Чжиган; Лу, Юйчжу (1 мая 2003 г.). «Объемная и внутренняя плотность упаковки случайной плотной упаковки твердых сфер». Журнал материаловедения . 38 (9): 2019–2025. doi :10.1023/A:1023597707363. ISSN  1573-4803. S2CID  137583828.
  2. ^ ab Dai, Weijing; Reimann, Joerg; Hanaor, Dorian; Ferrero, Claudio; Gan, Yixiang (13 марта 2019 г.). "Modes of wall induced granular crystallization in vibrational packing". Granular Matter . 21 (2): 26. arXiv : 1805.07865 . doi :10.1007/s10035-019-0876-8. ISSN  1434-7636. S2CID  254106945.
  3. ^ Гаус, CF (1831). « Обсуждение книги Л. А. Сибера: Исследования характеристик положительных троичных квадратичных форм и т. д.» Göttingsche Gelehrte Anzeigen .
  4. ^ "Долгосрочное хранение для Google Code Project Hosting". Архив Google Code .
  5. ^ «Wolfram Math World, Упаковка сфер».
  6. ^ Torquato, S. ; Stillinger, FH (2007). «К порогу застревания сферических упаковок: туннелированные кристаллы». Журнал прикладной физики . 102 (9): 093511–093511–8. arXiv : 0707.4263 . Bibcode :2007JAP...102i3511T. doi :10.1063/1.2802184. S2CID  5704550.
  7. ^ «Wolfram Math World, Упаковка сфер».
  8. ^ Чайкин, Пол (июнь 2007 г.). «Случайные мысли». Physics Today . 60 (6). Американский институт физики: 8. Bibcode : 2007PhT....60f...8C. doi : 10.1063/1.2754580. ISSN  0031-9228.
  9. ^ Song, C.; Wang, P.; Makse, HA (29 мая 2008 г.). «Фазовая диаграмма для застрявшей материи». Nature . 453 (7195): 629–632. arXiv : 0808.2196 . Bibcode :2008Natur.453..629S. doi :10.1038/nature06981. PMID  18509438. S2CID  4420652.
  10. ^ Гриффит, Дж. С. (1962). «Упаковка равных 0-сфер». Nature . 196 (4856): 764–765. Bibcode :1962Natur.196..764G. doi :10.1038/196764a0. S2CID  4262056.
  11. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Упаковка гиперсфер». MathWorld .
  12. ^ Sloane, NJA (1998). «Проблема упаковки сфер». Documenta Mathematica . 3 : 387–396. arXiv : math/0207256 . Bibcode :2002math......7256S.
  13. ^ Вязовская, Марина (1 января 2017 г.). «Проблема упаковки сфер в размерности 8». Annals of Mathematics . 185 (3): 991–1015. arXiv : 1603.04246 . doi : 10.4007/annals.2017.185.3.7. ISSN  0003-486X. S2CID  119286185.
  14. ^ Кон, Генри; Кумар, Абхинав; Миллер, Стивен; Радченко, Данило; Вязовская, Марина (1 января 2017 г.). «Проблема упаковки сфер в размерности 24». Annals of Mathematics . 185 (3): 1017–1033. arXiv : 1603.06518 . doi : 10.4007/annals.2017.185.3.8. ISSN  0003-486X. S2CID  119281758.
  15. ^ Кон, Генри; Кумар, Абхинав (2009), «Оптимальность и уникальность решетки Лича среди решеток», Annals of Mathematics , 170 (3): 1003–1050, arXiv : math.MG/0403263 , doi :10.4007/annals.2009.170.1003, ISSN  1939-8980, MR  2600869, S2CID  10696627, Zbl  1213.11144 Кон, Генри; Кумар, Абхинав (2004), «Самая плотная решетка в двадцати четырех измерениях», Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society , 10 (7): 58–67, arXiv : math.MG/0408174 , Bibcode : 2004math......8174C, doi : 10.1090/S1079-6762-04-00130-1, ISSN  1079-6762, MR  2075897, S2CID  15874595
  16. ^ Миллер, Стивен Д. (4 апреля 2016 г.), Решение проблемы упаковки сфер в 24 измерениях с помощью модульных форм, Институт перспективных исследований , архивировано из оригинала 21 декабря 2021 г.. Видео часового выступления одного из соавторов Вязовской, объясняющего новые доказательства.
  17. ^ Кларрайх, Эрика (30 марта 2016 г.), «Упаковка сфер решена в высших измерениях», Quanta Magazine
  18. ^ Кон, Генри (2017), «Концептуальный прорыв в упаковке сфер» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 64 (2): 102–115, arXiv : 1611.01685 , doi : 10.1090/noti1474, ISSN  0002-9920, MR  3587715, S2CID  16124591
  19. ^ Torquato, S.; Stillinger, FH (2006), "Новые предполагаемые нижние границы оптимальной плотности упаковок сфер", Experimental Mathematics , 15 (3): 307–331, arXiv : math/0508381 , doi : 10.1080/10586458.2006.10128964, MR  2264469, S2CID  9921359
  20. ^ Кампос, Марсело; Йенссен, Мэтью; Мишелен, Маркус; Сахасрабудхе, Джулиан (2023). «Новая нижняя граница для упаковки сфер». arXiv : 2312.10026 [math.MG].
  21. ^ Хьюстон-Эдвардс, Келси (30 апреля 2024 г.). «Чтобы плотно упаковать сферы, математики бросают их наугад». Журнал Quanta . Получено 30 апреля 2024 г.
  22. ^ ab O'Toole, PI; Hudson, TS (2011). «Новые высокоплотные упаковки бинарных сфер аналогичного размера». Журнал физической химии C. 115 ( 39): 19037. doi :10.1021/jp206115p.
  23. ^ Хадсон, DR (1949). «Плотность и упаковка в агрегате смешанных сфер». Журнал прикладной физики . 20 (2): 154–162. Bibcode : 1949JAP....20..154H. doi : 10.1063/1.1698327.
  24. ^ Зонг, К. (2002). «От глубоких дыр к свободным плоскостям». Бюллетень Американского математического общества . 39 (4): 533–555. doi : 10.1090/S0273-0979-02-00950-3 .
  25. ^ Маршалл, GW; Хадсон, TS (2010). «Плотные бинарные упаковки сфер». Вклад в алгебру и геометрию . 51 (2): 337–344.
  26. ^ де Лаат, Дэвид; де Оливейра Фильо, Фернандо Марио; Валлентин, Франк (12 июня 2012 г.). «Верхние оценки для упаковок сфер нескольких радиусов». Форум математики, Сигма . 2 . arXiv : 1206.2608 . дои : 10.1017/fms.2014.24. S2CID  11082628.
  27. ^ Деннис, Роберт; Корвин, Эрик (2 сентября 2021 г.). «Упаковки жестких сфер Дионисия механически стабильны при исчезающе низких плотностях». Physical Review . 128 (1): 018002. arXiv : 2006.11415 . doi :10.1103/PhysRevLett.128.018002.
  28. ^ Боуэн, Л.; Радин, К. (2002). «Самая плотная упаковка равных сфер в гиперболическом пространстве». Дискретная и вычислительная геометрия . 29 : 23–39. doi : 10.1007/s00454-002-2791-7 .
  29. ^ Бёрочки, К. (1978). «Упаковка сфер в пространствах постоянной кривизны». Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae . 32 (3–4): 243–261. дои : 10.1007/BF01902361. S2CID  122561092.
  30. ^ Бёрочки, К.; Флориан, А. (1964). «Über die dichteste Kugelpackung im Hyperbolischen Raum». Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae . 15 (1–2): 237–245. дои : 10.1007/BF01897041. S2CID  122081239.
  31. ^ Kozma, RT; Szirmai, J. (2012). «Оптимально плотные упаковки для полностью асимптотических мозаик Коксетера с помощью оробалов разных типов». Monatshefte für Mathematik . 168 : 27–47. arXiv : 1007.0722 . doi :10.1007/s00605-012-0393-x. S2CID  119713174.
  32. ^ Bezdek, Karoly; Reid, Samuel (2013). «Контактные графы сферических упаковок снова». Journal of Geometry . 104 (1): 57–83. arXiv : 1210.5756 . doi : 10.1007/s00022-013-0156-4. S2CID  14428585.
  33. ^ "Наука липких сфер". American Scientist . 6 февраля 2017 г. Получено 14 июля 2020 г.
  34. ^ Конвей, Джон Х .; Слоан, Нил JA (1998). Упаковки сфер, решетки и группы (3-е изд.). Springer Science & Business Media. ISBN 0-387-98585-9.

Библиография

Внешние ссылки

Нетехнический обзор упаковки в гиперболическом пространстве.