В геометрии термин полуправильный многогранник (или полуправильный многогранник ) разными авторами используется по-разному.
В своем первоначальном определении это многогранник с правильными многоугольными гранями и группой симметрии , транзитивной по вершинам ; сегодня его чаще называют однородным многогранником (это следует из определения Торольда Госсета 1900 года более общего полуправильного многогранника ). [1] [2] К этим многогранникам относятся:
Эти полуправильные тела могут быть полностью заданы конфигурацией вершин : списком граней по количеству сторон в порядке их расположения вокруг вершины. Например: 3.5.3.5 представляет икосододекаэдр , в котором вокруг каждой вершины чередуются два треугольника и два пятиугольника . Напротив: 3.3.3.5 — пятиугольная антипризма . Эти многогранники иногда называют вершинно-транзитивными .
Начиная с Госсета, другие авторы по-разному использовали термин полурегулярный в отношении многогранников более высоких размерностей. Э. Л. Эльте [3] дал определение, которое Коксетер счел слишком искусственным. Сам Коксетер назвал фигуры Госсета однородными , и лишь весьма ограниченное подмножество их классифицировало как полуправильные. [4]
Третьи пошли по противоположному пути, относя больше многогранников к полуправильным. К ним относятся:
Еще один источник путаницы заключается в том, как определяются архимедовы тела, причем опять же появляются разные интерпретации.
Определение полуправильных многогранников, данное Госсетом, включает фигуры более высокой симметрии: правильные и квазиправильные многогранники. Некоторые более поздние авторы предпочитают говорить, что они не являются полуправильными, потому что они более правильны - тогда говорят, что однородные многогранники включают в себя правильные, квазиправильные и полуправильные. Эта система именования работает хорошо и устраняет многие (но далеко не все) путаницы.
На практике даже самые выдающиеся авторитеты могут запутаться, определяя данный набор многогранников как полуправильные и/или архимеды, а затем предполагая (или даже заявляя) другой набор в последующих обсуждениях. Предположение, что данное определение применимо только к выпуклым многогранникам, вероятно, является наиболее распространенной ошибкой. Коксетер, Кромвель [5] и Канди и Роллетт [6] виновны в таких оговорках.
Иоганн Кеплер ввел категорию полуправильных тел в своей книге «Harmonices Mundi» (1619), включающую 13 архимедовых тел , два бесконечных семейства ( призмы и антипризмы на правильных основаниях) и два каталонских тела с переходными краями , ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр . Он также рассматривал ромб как полуправильный многоугольник (равносторонний и чередующийся с двумя углами), а также звездчатые многоугольники , теперь называемые изотоксальными фигурами , которые он использовал в плоских мозаиках . Тригональный трапецоэдр , топологический куб с конгруэнтными ромбическими гранями, также можно было бы квалифицировать как полуправильный, хотя Кеплер не упомянул его конкретно.
Во многих работах полуправильный многогранник используется как синоним архимедова тела . [7] Например, Канди и Роллетт (1961).
Мы можем различать лицерегулярные и вершинно-транзитивные фигуры, основанные на Госсете, а также их вертикально-правильные (или верси-правильные) и гранично-транзитивные двойственные фигуры.
Коксетер и др. (1954) используют термин «полуправильные многогранники» для классификации однородных многогранников с символом Витхоффа формы pq | r — определение, охватывающее только шесть архимедовых тел, а также правильные призмы (но не правильные антипризмы) и многочисленные невыпуклые тела. Позже Коксетер (1973) процитировал определение Госсета без комментариев, тем самым приняв его косвенно.
Эрик Вайсштейн , Роберт Уильямс и другие используют этот термин для обозначения выпуклых однородных многогранников , исключая пять правильных многогранников , включая архимедовы тела, однородные призмы и однородные антипризмы (перекрывающиеся с кубом как призмой и правильным октаэдром как антипризмой). . [8] [9]
Питер Кромвель (1997) пишет в сноске к странице 149, что «в современной терминологии «полуправильные многогранники» относятся к архимедовым и каталанским (двойственным архимедовым) телам». На странице 80 он описывает тринадцать Архимедов как полуправильные, а на странице 367 и далее. он обсуждает каталонцев и их отношения к «полурегулярным» архимедам. Подразумевается, что каталонцы считаются неполурегулярными, что фактически противоречит (или, по крайней мере, запутывает) определению, которое он дал в предыдущей сноске. Он игнорирует невыпуклые многогранники.