В физике полюс Ландау (или московский ноль , или призрак Ландау ) [1] — это масштаб импульса (или энергии) , при котором константа связи (сила взаимодействия) квантовой теории поля становится бесконечной. Такая возможность была указана физиком Львом Ландау и его коллегами в 1954 году. [2] [3] Тот факт, что связи зависят от масштаба импульса (или длины), является центральной идеей ренормгруппы .
Полюса Ландау появляются в теориях, которые не являются асимптотически свободными , таких как квантовая электродинамика (КЭД) или теория φ 4 — скалярное поле с квартикальным взаимодействием — например, может описывать бозон Хиггса . В этих теориях перенормированная константа связи растет с энергией. Полюс Ландау появляется, когда связь становится бесконечной при конечном масштабе энергии. В теории, претендующей на полноту, это можно считать математической непоследовательностью. Возможным решением является то, что перенормированный заряд может стремиться к нулю при удалении обрезания, что означает, что заряд полностью экранируется квантовыми флуктуациями ( поляризацией вакуума ). Это случай квантовой тривиальности , [4] , что означает, что квантовые поправки полностью подавляют взаимодействия при отсутствии обрезания.
Поскольку полюс Ландау обычно определяется посредством пертурбативных однопетлевых или двухпетлевых вычислений, возможно, что полюс является просто признаком того, что пертурбативное приближение нарушается при сильной связи. Теория возмущений также может быть недействительной, если существуют неадиабатические состояния . Решеточная калибровочная теория предоставляет средства для решения вопросов квантовой теории поля за пределами области теории возмущений и, таким образом, использовалась для попытки решения этого вопроса.
Численные вычисления, выполненные в этой структуре, по-видимому, подтверждают вывод Ландау о том, что в КЭД перенормированный заряд полностью исчезает при бесконечном обрезании. [5] [6] [7] [8]
Согласно Ландау, Абрикосову и Халатникову [2], связь наблюдаемого заряда g obs с «голым» зарядом g 0 для перенормируемых теорий поля при Λ ≫ m определяется выражением
где m — масса частицы, а Λ — обрезание импульса. Если g 0 < ∞ и Λ → ∞, то g obs → 0 , и теория выглядит тривиальной. Фактически, инвертирование уравнения 1 , так что g 0 (связанное с масштабом длины Λ −1 ), показывает точное значение g obs ,
По мере роста Λ голый заряд g 0 = g (Λ) увеличивается, чтобы в конечном итоге расходиться в точке перенормировки
Эта особенность представляет собой полюс Ландау с отрицательным вычетом , g (Λ) ≈ −Λ Ландау / ( β 2 (Λ − Λ Ландау )) .
Однако на самом деле рост g 0 делает уравнения 1 , 2 недействительными в области g 0 ≈ 1 , поскольку они были получены для g 0 ≪ 1 , так что непертурбативное существование полюса Ландау становится сомнительным.
Фактическое поведение заряда g ( μ ) как функции масштаба импульса μ определяется уравнением Гелл-Манна – Лоу [9]
что дает уравнения 1 , 2 , если его интегрировать при условиях g ( μ ) = g obs для μ = m и g ( μ ) = g 0 для μ = Λ , когда в правой части сохраняется только член с β 2. Общее поведение g ( μ ) зависит от вида функции β ( g ) .
Согласно классификации Боголюбова и Ширкова [10] , возможны три качественно различных случая:
Ландау и Померанчук [11] попытались обосновать возможность (c) в случае КЭД и теории φ 4 . Они отметили, что рост g 0 в уравнении 1 приводит наблюдаемый заряд g obs к постоянному пределу, который не зависит от g 0 . Такое же поведение можно получить из функциональных интегралов, опуская квадратичные члены в действии. Если пренебрежение квадратичными членами справедливо уже для g 0 ≪ 1 , оно тем более справедливо для g 0 порядка или больше единицы: это дает основание считать уравнение 1 справедливым для произвольного g 0 . Справедливость этих соображений на количественном уровне исключается неквадратичной формой β -функции. [ необходима цитата ]
Тем не менее, они могут быть корректны качественно. Действительно, результат g obs = const( g 0 ) может быть получен из функциональных интегралов только для g 0 ≫ 1 , в то время как его справедливость для g 0 ≪ 1 , основанная на уравнении 1 , может быть связана с другими причинами; для g 0 ≈ 1 этот результат, вероятно, нарушается, но совпадение двух постоянных значений по порядку величины можно ожидать из условия соответствия. Результаты Монте-Карло [12] , по-видимому, подтверждают качественную справедливость аргументов Ландау–Померанчука, хотя возможна и другая интерпретация.
Случай (c) в классификации Боголюбова и Ширкова соответствует квантовой тривиальности в полной теории (вне контекста ее возмущений), как можно увидеть с помощью reductio ad absurdum . Действительно, если g obs < ∞ , теория внутренне противоречива. Единственный способ избежать этого — при μ 0 → ∞ , что возможно только при g obs → 0. Широко распространено мнение [ кем? ] , что и КЭД, и теория φ 4 тривиальны в пределе континуума .
В теории, предназначенной для представления физического взаимодействия, где константа связи, как известно, не равна нулю, полюса Ландау или тривиальность могут рассматриваться как признак неполноты теории . Например, КЭД обычно не считается [ требуется ссылка ] полной теорией сама по себе, поскольку она не описывает другие фундаментальные взаимодействия и содержит полюс Ландау. Традиционно КЭД является частью более фундаментальной электрослабой теории . Группа U(1) Y электрослабой теории также имеет полюс Ландау, который обычно рассматривается [ кем? ] как сигнал о необходимости окончательного встраивания в Великую унифицированную теорию . Великая унифицированная шкала обеспечила бы естественное обрезание значительно ниже шкалы Ландау, не давая полюсу иметь наблюдаемые физические последствия.
Проблема полюса Ландау в КЭД представляет чисто академический интерес по следующей причине. Роль g obs в уравнениях 1 , 2 играет постоянная тонкой структуры α ≈ 1/137 , а масштаб Ландау для КЭД оценивается как10 286 эВ , что находится далеко за пределами любой энергетической шкалы, соответствующей наблюдаемой физике. Для сравнения, максимальные энергии, доступные на Большом адронном коллайдере, имеют порядок10 13 эВ , в то время как масштаб Планка , при котором квантовая гравитация становится важной, а актуальность самой квантовой теории поля может быть поставлена под сомнение, составляет10 28 эВ .
Бозон Хиггса в Стандартной модели физики элементарных частиц описывается теорией φ 4 (см. Квартальное взаимодействие ). Если последний имеет полюс Ландау, то этот факт используется для установления «границы тривиальности» на массу Хиггса. Граница зависит от масштаба, в котором предполагается появление новой физики, и максимального допустимого значения квартальной связи (ее физическое значение неизвестно). Для больших связей требуются непертурбативные методы. Это может даже привести к предсказуемой массе Хиггса в асимптотических сценариях безопасности . Решетчатые вычисления также были полезны в этом контексте. [13]
Более глубокое понимание физического смысла и обобщение процесса перенормировки, приводящего к полюсам Ландау, исходит из физики конденсированного состояния. В статье Лео П. Каданова 1966 года была предложена группа перенормировки «блок-спин». [14] Идея блокировки — это способ определения компонентов теории на больших расстояниях как совокупностей компонентов на более коротких расстояниях. Этот подход был разработан Кеннетом Уилсоном . [15] За эти решающие вклады он был удостоен Нобелевской премии в 1982 году.
Предположим, что у нас есть теория, описываемая некоторой функцией Z переменных состояния { s i } и набором констант связи { J k } . Эта функция может быть статистической суммой , действием или гамильтонианом . Рассмотрим некоторое блокирующее преобразование переменных состояния { s i } → {} , количестводолжно быть меньше числа s i . Теперь попробуем переписать Z только в терминах. Если это достижимо путем определенного изменения параметров, { J k } → {} , то говорят, что теория перенормируема . Самой важной информацией в потоке РГ являются ее неподвижные точки . Возможные макроскопические состояния системы в больших масштабах задаются этим набором неподвижных точек. Если эти неподвижные точки соответствуют теории свободного поля, говорят, что теория демонстрирует квантовую тривиальность и обладает полюсом Ландау. Многочисленные неподвижные точки появляются при изучении теорий решеточного Хиггса , но неизвестно, соответствуют ли они теориям свободного поля. [4]
Решение проблемы полюса Ландау требует вычисления функции Гелл-Манна–Лоу β ( g ) при произвольном g и, в частности, ее асимптотического поведения при g → ∞ . Диаграммные вычисления позволяют получить лишь несколько коэффициентов разложения β 2 , β 3 , ... , которые не позволяют исследовать функцию β в целом. Прогресс стал возможен после разработки метода Липатова для вычисления больших порядков теории возмущений: [16] Теперь можно попытаться интерполировать известные коэффициенты β 2 , β 3 , ... с их поведением больших порядков, а затем просуммировать ряды возмущений.
Первые попытки реконструкции функции β этим методом опираются на тривиальность теории φ 4 . Применение более продвинутых методов суммирования дало показатель α в асимптотическом поведении β ( g ) ∝ g α , значение, близкое к единице. Гипотеза об асимптотическом поведении β ( g ) ∝ g была недавно представлена аналитически для теории φ 4 и КЭД. [17] [18] [19] Вместе с положительностью β ( g ) , полученной суммированием ряда, это предполагает случай (b) вышеуказанной классификации Боголюбова и Ширкова и, следовательно, отсутствие полюса Ландау в этих теориях, предполагая, что теория возмущений верна (но см. выше обсуждение во введении).