Последовательная мера риска

В области актуарной науки и финансовой экономики существует несколько способов определения риска; Чтобы прояснить концепцию, теоретики описали ряд свойств, которыми может обладать или не обладать мера риска . Когерентная мера риска — это функция, которая удовлетворяет свойствам монотонности , субаддитивности , однородности и трансляционной инвариантности .

Характеристики

Рассмотрим случайный результат, рассматриваемый как элемент линейного пространства измеримых функций, определенного в соответствующем вероятностном пространстве. Функционал → называется когерентной мерой риска, если он удовлетворяет следующим свойствам: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \varrho :{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Нормализованный

${\displaystyle \varrho (0)=0}$

То есть риск при отсутствии активов равен нулю.

Монотонность

${\displaystyle \mathrm {If} \;Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}}\;\mathrm {and} \;Z_{1}\leq Z_{2}\;\mathrm {a.s.} ,\;\mathrm {then} \;\varrho (Z_{1})\geq \varrho (Z_{2})}$

То есть, если портфель всегда имеет лучшие значения, чем портфель почти во всех сценариях, тогда риск должен быть меньше, чем риск . ^[2] Например, If является опционом колл «в деньгах» (или иным образом) на акцию, а также опционом колл «в деньгах» с более низкой ценой исполнения. В управлении финансовыми рисками монотонность означает, что портфель с большей будущей доходностью имеет меньший риск. ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$

Субаддитивность

${\displaystyle \mathrm {If} \;Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {then} \;\varrho (Z_{1}+Z_{2})\leq \varrho (Z_{1})+\varrho (Z_{2})}$

Действительно, риск двух портфелей вместе не может быть хуже, чем сложение двух рисков по отдельности: это принцип диверсификации . В управлении финансовыми рисками субаддитивность означает, что диверсификация выгодна. Принцип субаддитивности иногда также рассматривается как проблематичный. ^{[3] [4]}

Положительная однородность

${\displaystyle \mathrm {If} \;\alpha \geq 0\;\mathrm {and} \;Z\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {then} \;\varrho (\alpha Z)=\alpha \varrho (Z)}$

Грубо говоря, если вы удвоите свой портфель, вы удвоите и свой риск. В управлении финансовыми рисками положительная однородность подразумевает, что риск позиции пропорционален ее размеру.

Трансляционная инвариантность

Если — детерминированный портфель с гарантированной доходностью , то ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Z\in {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \varrho (Z+A)=\varrho (Z)-a}$

Портфель просто добавляет деньги в ваш портфель . В частности, если тогда . В управлении финансовыми рисками трансляционная инвариантность подразумевает, что добавление определенной суммы капитала снижает риск на ту же сумму. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle a=\varrho (Z)}$ ${\displaystyle \varrho (Z+A)=0}$

Выпуклые меры риска

Впоследствии понятие согласованности было смягчено. Действительно, понятия субаддитивности и положительной однородности можно заменить понятием выпуклости : ^[5]

Выпуклость

${\displaystyle {\text{If }}Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}}{\text{ and }}\lambda \in [0,1]{\text{ then }}\varrho (\lambda Z_{1}+(1-\lambda )Z_{2})\leq \lambda \varrho (Z_{1})+(1-\lambda )\varrho (Z_{2})}$

Примеры мер риска

Стоимость под угрозой

Хорошо известно, что подверженная риску стоимость не является последовательной мерой риска, поскольку она не учитывает свойство субаддитивности. Непосредственным следствием этого является то, что стоимость, подверженная риску, может препятствовать диверсификации. ^{[1] Однако} стоимость, подверженная риску , является согласованной при допущении эллиптически распределенных убытков (например, нормально распределенных ), когда стоимость портфеля является линейной функцией цен активов. Однако в этом случае величина риска становится эквивалентной подходу средней дисперсии, при котором риск портфеля измеряется дисперсией доходности портфеля.

Функция преобразования Ванга (функция искажения) для значения под угрозой равна . Невогнутость доказывает несогласованность этой меры риска. ${\displaystyle g(x)=\mathbf {1} _{x\geq 1-\alpha }}$ ${\displaystyle g}$

Иллюстрация

В качестве простого примера, демонстрирующего несогласованность стоимости, подверженной риску, рассмотрим VaR портфеля с доверительной вероятностью 95% в течение следующего года двух облигаций с нулевым купоном, допускающих дефолт, со сроком погашения через 1 год, номинированных в наших расчетах. валюта.

Предположим следующее:

• Текущая доходность по двум облигациям составляет 0%.
• Две облигации от разных эмитентов.
• Каждая облигация имеет 4% вероятность дефолта в течение следующего года.
• Событие дефолта по любой облигации не зависит от другой.
• В случае дефолта облигации имеют ставку возврата 30%.

В этих условиях VaR 95% для владения любой из облигаций равен 0, поскольку вероятность дефолта составляет менее 5%. Однако если мы держим портфель, который состоит из 50% стоимости каждой облигации, то VaR 95% составит 35% (= 0,5*0,7 + 0,5*0), поскольку вероятность дефолта хотя бы одной из облигаций составляет 7,84% (= 1 - 0,96*0,96), что превышает 5%. Это нарушает свойство субаддитивности, показывающее, что VaR не является последовательной мерой риска.

Средняя стоимость под риском

Средняя стоимость под риском (иногда называемая ожидаемым дефицитом или условной стоимостью под риском или ) является последовательным показателем риска, даже несмотря на то, что она получена из стоимости под риском, которая таковой не является. Область может быть расширена для более общих сердец Орлица из более типичных пространств Lp . ^[6] ${\displaystyle AVaR}$

Энтропийное значение под угрозой

Энтропийное значение риска является последовательным показателем риска. ^[7]

Хвостовая стоимость под угрозой

Хвостовое значение риска (или хвостовое условное ожидание) является согласованной мерой риска только тогда, когда базовое распределение является непрерывным .

Функция преобразования Ванга (функция искажения) для значения хвоста, находящегося под угрозой , равна . Вогнутость доказывает согласованность этой меры риска в случае непрерывного распределения. ${\displaystyle g(x)=\min({\frac {x}{\alpha }},1)}$ ${\displaystyle g}$

Мера риска пропорциональной опасности (PH)

Мера риска PH (или мера пропорционального риска опасности) преобразует уровни опасности с помощью коэффициента . ${\displaystyle \scriptstyle \left(\lambda (t)={\frac {f(t)}{{\bar {F}}(t)}}\right)}$ ${\displaystyle \xi }$

Функция преобразования Ванга (функция искажения) для меры риска PH равна . Вогнутость if доказывает последовательность этой меры риска. ${\displaystyle g_{\alpha }(x)=x^{\xi }}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \scriptstyle \xi <{\frac {1}{2}}}$

Пример функции преобразования Ванга или функции искажения

g-энтропийные меры риска

g-энтропийные меры риска — это класс теоретико-информационных последовательных мер риска, которые включают в себя некоторые важные случаи, такие как CVaR и EVAR. ^[7]

Мера риска Ванга

Мера риска Ванга определяется следующей функцией преобразования Ванга (функцией искажения) . Согласованность этой меры риска является следствием вогнутости . ${\displaystyle g_{\alpha }(x)=\Phi \left[\Phi ^{-1}(x)-\Phi ^{-1}(\alpha )\right]}$ ${\displaystyle g}$

Мера энтропийного риска

Энтропийная мера риска представляет собой выпуклую меру риска, которая не является последовательной. Это связано с экспоненциальной полезностью .

Цена суперхеджирования

Цена суперхеджирования является последовательной мерой риска.

множество значений

В ситуации с портфелями с -оценкой, когда риск можно измерить в активах, набор портфелей является подходящим способом отобразить риск. Измерения риска с установленной стоимостью полезны для рынков с транзакционными издержками . ^[8] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle n\leq d}$

Характеристики

Многозначной когерентной мерой риска является функция , где и где – постоянный конус платежеспособности , а – набор портфелей эталонных активов. должен обладать следующими свойствами: ^[9] ${\displaystyle R:L_{d}^{p}\rightarrow \mathbb {F} _{M}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{M}=\{D\subseteq M:D=cl(D+K_{M})\}}$ ${\displaystyle K_{M}=K\cap M}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle R}$

Нормализованный

${\displaystyle K_{M}\subseteq R(0)\;\mathrm {and} \;R(0)\cap -\mathrm {int} K_{M}=\emptyset }$

Перевод на М

${\displaystyle \forall X\in L_{d}^{p},\forall u\in M:R(X+u1)=R(X)-u}$

монотонный

${\displaystyle \forall X_{2}-X_{1}\in L_{d}^{p}(K)\Rightarrow R(X_{2})\supseteq R(X_{1})}$

сублинейный

Общая основа преобразования Ванга

Преобразование Ванга кумулятивной функции распределения

Преобразование Ванга кумулятивной функции распределения представляет собой возрастающую функцию, где и . ^[10] Эта функция называется функцией искажения или функцией преобразования Ванга. ${\displaystyle g\colon [0,1]\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle g(0)=0}$ ${\displaystyle g(1)=1}$

Функция двойного искажения . ^{[11] [12]} Учитывая вероятностное пространство , тогда для любой случайной величины и любой функции искажения мы можем определить новую вероятностную меру такую, что для любой из этого следует, что ^[11] ${\displaystyle {\tilde {g}}(x)=1-g(1-x)}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (A)=g(\mathbb {P} (X\in A)).}$

Принцип актуарной премии

Для любой возрастающей вогнутой функции преобразования Ванга мы могли бы определить соответствующий принцип премии: ^[10] ${\displaystyle \varrho (X)=\int _{0}^{+\infty }g\left({\bar {F}}_{X}(x)\right)dx}$

Последовательная мера риска

Когерентная мера риска может быть определена с помощью преобразования Ванга кумулятивной функции распределения тогда и только тогда, когда она вогнута. ^[10] ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

Многозначная выпуклая мера риска

Если вместо сублинейного свойства R является выпуклым, то R является многозначной выпуклой мерой риска.

Двойное представительство

Нижнюю полунепрерывную выпуклую меру риска можно представить как ${\displaystyle \varrho }$

${\displaystyle \varrho (X)=\sup _{Q\in {\mathcal {M}}(P)}\{E^{Q}[-X]-\alpha (Q)\}}$

такая, что является штрафной функцией и представляет собой набор вероятностных мер, абсолютно непрерывных относительно P (« вероятностная мера «реального мира» )», т.е. Двойная характеристика привязана к пространствам , сердцам Орлица и их двойственным пространствам. ^[6] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P)=\{Q\ll P\}}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Нижняя полунепрерывная мера риска когерентна тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде

${\displaystyle \varrho (X)=\sup _{Q\in {\mathcal {Q}}}E^{Q}[-X]}$

такой, что . ^[13] ${\displaystyle {\mathcal {Q}}\subseteq {\mathcal {M}}(P)}$

Смотрите также

• Метрика риска — абстрактная концепция, которую количественно определяет мера риска.
• RiskMetrics - модель управления рисками
• Спектральная мера риска - подмножество последовательных мер риска
• Мера риска искажения
• Условная стоимость под риском
• Энтропийное значение под угрозой
• Финансовый риск

Рекомендации

1. Арцнер, П.; Дельбаен, Ф.; Эбер, Дж. М.; Хит, Д. (1999). «Последовательные меры риска». Математические финансы . 9 (3): 203. дои : 10.1111/1467-9965.00068. S2CID  6770585.
2. Уилмотт, П. (2006). «Количественные финансы». 1 (2-е изд.). Уайли: 342. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
3. Дэн, Дж.; Лавен, Р.Дж.; Вандуфель, С.; Даркевич Г.; Гувертс, MJ (2008). «Может ли последовательная мера риска быть слишком субаддитивной?». Журнал риска и страхования . 75 (2): 365–386. дои : 10.1111/j.1539-6975.2008.00264.x. S2CID  10055021.
4. Рау-Бредов, Х. (2019). «Больше не всегда безопаснее: критический анализ предположения о субаддитивности для согласованных мер риска». Риски . 7 (3): 91. doi : 10.3390/risks7030091 . hdl : 10419/257929 .
5. Фёлльмер, Х.; Шид, А. (2002). «Выпуклые меры риска и торговых ограничений». Финансы и стохастика . 6 (4): 429–447. дои : 10.1007/s007800200072. hdl : 10419/62741 . S2CID  1729029.
6. Патрик Черидито; Тяньхуэй Ли (2008). «Двойная характеристика свойств мер риска на сердцах Орлича». Математика и финансовая экономика . 2 :2–29. дои : 10.1007/s11579-008-0013-7. S2CID  121880657.
7. Ахмади-Джавид, Амир (2012). «Энтропийная ценность риска: новая последовательная мера риска». Журнал теории оптимизации и приложений . 155 (3): 1105–1123. дои : 10.1007/s10957-011-9968-2. S2CID  46150553.
8. Жуини, Элиес; Меддеб, Монсеф; Тузи, Низар (2004). «Векторно-когерентные меры риска». Финансы и стохастика . 8 (4): 531–552. CiteSeerX 10.1.1.721.6338 . дои : 10.1007/s00780-004-0127-6. 
9. Хамель, А.Х.; Хейде, Ф. (2010). «Двойственность для множественных мер риска». SIAM Journal по финансовой математике . 1 (1): 66–95. CiteSeerX 10.1.1.514.8477 . дои : 10.1137/080743494. 
10. Ван, Шон (1996). «Расчет премии путем преобразования плотности премии слоя». Бюллетень АСТИН . 26 (1): 71–92. дои : 10.2143/ast.26.1.563234 .
11. Бальбас, А.; Гарридо, Дж.; Майорал, С. (2008). «Свойства мер риска искажений». Методология и вычисления в прикладной теории вероятности . 11 (3): 385. doi :10.1007/s11009-008-9089-z. hdl : 10016/14071 . S2CID  53327887.
12. Джулия Л. Вирч; Мэри Р. Харди. «Меры риска искажений: согласованность и стохастическое доминирование» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 5 июля 2016 года . Проверено 10 марта 2012 г.
13. Фёлльмер, Ганс; Шид, Александр (2004). Стохастические финансы: введение в дискретное время (2-е изд.). Вальтер де Грюйтер. ISBN 978-3-11-018346-7.