В физике и технике постоянная времени , обычно обозначаемая греческой буквой τ (тау), является параметром , характеризующим реакцию на входной сигнал линейной нестационарной (LTI) системы первого порядка. [1] [примечание 1] Постоянная времени является основной характеристической единицей системы LTI первого порядка.
Во временной области обычный выбор для изучения временной характеристики — это переходная характеристика на входной сигнал шага или импульсная характеристика на входной сигнал дельта-функции Дирака . [2] В частотной области (например, рассматривая преобразование Фурье переходной характеристики или используя входные данные, представляющие собой простую синусоидальную функцию времени) постоянная времени также определяет полосу пропускания нестационарной системы первого порядка. , то есть частота, при которой мощность выходного сигнала падает до половины значения, которое она имеет на низких частотах.
Постоянная времени также используется для характеристики частотной характеристики различных систем обработки сигналов — магнитных лент , радиопередатчиков и приемников , оборудования для резки и воспроизведения записей, а также цифровых фильтров — которые могут быть смоделированы или аппроксимированы системами LTI первого порядка. Другие примеры включают постоянную времени, используемую в системах управления для контроллеров интегрального и дифференциального действия, которые часто являются пневматическими , а не электрическими.
Постоянные времени являются особенностью анализа сосредоточенной системы (метода анализа сосредоточенной мощности) для тепловых систем, используемого, когда объекты охлаждаются или нагреваются равномерно под влиянием конвективного охлаждения или потепления. [3]
Физически постоянная времени представляет собой время, необходимое для того, чтобы реакция системы затухала до нуля, если бы система продолжала затухать с начальной скоростью, из-за постепенного изменения скорости затухания значение реакции фактически уменьшится до 1 . / e ≈ 36,8% за это время (скажем, со ступенчатого уменьшения). В возрастающей системе постоянная времени — это время, в течение которого переходная реакция системы достигает 1 - 1 / e ≈ 63,2% от ее конечного (асимптотического) значения (скажем, при ступенчатом увеличении). При радиоактивном распаде постоянная времени связана с постоянной распада ( λ ) и представляет собой как среднее время жизни распадающейся системы (например, атома) до ее распада, так и время, которое требуется для всех атомов, кроме 36,8%. распадаться. По этой причине постоянная времени больше, чем период полураспада , за который распадается только 50% атомов.
Системы LTI первого порядка характеризуются дифференциальным уравнением
где τ представляет собой константу экспоненциального затухания , а V является функцией времени t
Ступенчатая функция Хевисайда , часто обозначаемая u ( t ) :
Пример решения дифференциального уравнения с начальным значением V 0 и без вынуждающей функции:
где
— начальное значение V. Таким образом, ответ представляет собой экспоненциальное затухание с постоянной времени τ .
Предполагать
Такое поведение называется «затухающей» экспоненциальной функцией. Время τ (тау) называется «постоянной времени» и может использоваться (как в этом случае) для указания того, насколько быстро затухает экспоненциальная функция.
Здесь:
Через период в одну постоянную времени функция достигает e −1 = примерно 37% от своего начального значения. В случае 4 после пяти постоянных времени функция достигает значения менее 1% от исходного. В большинстве случаев этот порог в 1% считается достаточным, чтобы предположить, что функция упала до нуля - как правило, в технике управления устойчивой системой является та, которая демонстрирует такое общее затухающее поведение.
Предположим, что вынуждающая функция выбрана синусоидальной, поэтому:
(Отклик на входной сигнал действительного косинуса или синусоидальной волны можно получить, взяв действительную или мнимую часть конечного результата на основании формулы Эйлера .) Общее решение этого уравнения для времен t ≥ 0 с , предполагая V ( t = 0 ) = V 0 это:
В течение длительного времени затухающие экспоненты становятся незначительными, и стационарное решение или долговременное решение имеет вид:
Величина этого ответа:
Обозначение f 3dB связано с выражением мощности в децибелах и наблюдением, что половинная мощность соответствует падению значения | В ∞ | на коэффициент 1/2 или на 3 децибела.
Таким образом, постоянная времени определяет пропускную способность этой системы.
Предположим, что принудительная функция выбрана в качестве входного шага, поэтому:
с u ( t ) ступенчатая функция Хевисайда. Общее решение этого уравнения для времени t ≥ 0 с , предполагая, что V ( t = 0) = V 0 , выглядит следующим образом:
(Можно заметить, что этот отклик представляет собой предел ω → 0 вышеуказанного ответа на синусоидальный входной сигнал.)
Долговременное решение не зависит от времени и начальных условий:
Постоянная времени остается неизменной для одной и той же системы независимо от начальных условий. Проще говоря, система приближается к своему окончательному, установившемуся состоянию с постоянной скоростью, независимо от того, насколько близко она находится к этому значению в любой произвольной начальной точке.
Например, рассмотрим электродвигатель, запуск которого хорошо моделируется системой LTI первого порядка. Предположим, что при запуске из состояния двигателя двигатель принимает1/8секунды, чтобы достичь 63% от номинальной скорости в 100 об/мин или 63 об/мин — недостаток в 37 об/мин. Тогда окажется, что после следующего1/8секунды двигатель ускоряется еще на 23 об/мин, что составляет 63% от разницы в 37 об/мин. Это доводит его до 86 об/мин — все еще на 14 об/мин ниже. После третьего1/8секунды двигатель наберет дополнительные 9 об/мин (63% от разницы в 14 об/мин), что соответствует 95 об/мин.
Фактически, при любой начальной скорости s ≤ 100 об/мин 1/8Через секунду этот конкретный двигатель наберет дополнительные 0,63 × (100 − с ) об/мин.
В цепи RL , состоящей из одного резистора и катушки индуктивности, постоянная времени ' ' (в секундах ) равна
где R — сопротивление (в Омах ), а L — индуктивность (в генри ).
Аналогично, в RC-цепи , состоящей из одного резистора и конденсатора, постоянная времени (в секундах) равна:
где R — сопротивление (в Омах ), а C — емкость (в фарадах ).
Электрические цепи часто более сложны, чем эти примеры, и могут иметь несколько постоянных времени (некоторые примеры см. в разделе « Переходная характеристика и разделение полюсов »). В случае присутствия обратной связи система может демонстрировать нестабильные, возрастающие колебания. Кроме того, физические электрические цепи редко являются по-настоящему линейными системами, за исключением возбуждений с очень низкой амплитудой; однако широко используется приближение линейности.
В цифровых электронных схемах часто используется еще одна мера - FO4 . Это можно преобразовать в единицы постоянной времени с помощью уравнения . [4]
Постоянные времени являются особенностью анализа сосредоточенных систем (метода анализа сосредоточенной мощности) для тепловых систем, используемого, когда объекты охлаждаются или нагреваются равномерно под влиянием конвективного охлаждения или нагревания . При этом передача тепла от тела к окружающей среде в данный момент времени пропорциональна разности температур тела и окружающей среды: [5]
где h — коэффициент теплопередачи , а As — площадь поверхности, T — температурная функция, т. е. T ( t ) — температура тела в момент времени t , а T a — постоянная температура окружающей среды. Положительный знак указывает на то, что F является положительным, когда тепло покидает тело, поскольку его температура выше температуры окружающей среды ( F — поток наружу). Если тепло теряется в окружающую среду, эта теплопередача приводит к падению температуры тела, определяемой по формуле: [5]
где ρ = плотность, c p = удельная теплоемкость и V – объем тела. Знак минус указывает на падение температуры при передаче тепла наружу от тела (т. е. при F > 0). Приравнивая эти два выражения для теплопередачи,
Очевидно, что это система LTI первого порядка, которую можно представить в виде:
с
Другими словами, большие массы ρV с более высокими теплоемкостями c p приводят к более медленному изменению температуры (большая постоянная времени τ ), а большие площади поверхности A s с большей теплоотдачей h приводят к более быстрому изменению температуры (меньшая постоянная времени τ ).
Сравнение с вводным дифференциальным уравнением предполагает возможное обобщение на случай изменяющихся во времени температур окружающей среды T a . Однако, сохраняя простой пример с постоянной средой, подставляя переменную Δ T ≡ ( T - T a ), можно найти:
Говорят, что системы, для которых охлаждение удовлетворяет приведенному выше экспоненциальному уравнению, удовлетворяют закону охлаждения Ньютона . Решение этого уравнения предполагает, что в таких системах разница между температурой системы и ее окружения Δ T как функция времени t определяется выражением:
где Δ T 0 — начальная разность температур в момент времени t = 0. Другими словами, тело принимает ту же температуру, что и окружающая среда, с экспоненциально медленной скоростью, определяемой постоянной времени.
В возбудимой клетке, такой как мышца или нейрон , постоянная времени мембранного потенциала равна
где r m — сопротивление мембраны, а c m — емкость мембраны.
Сопротивление мембраны зависит от количества открытых ионных каналов , а емкость — от свойств липидного бислоя .
Постоянная времени используется для описания подъема и падения мембранного напряжения, где подъем описывается выражением
и падение описывается
где напряжение указано в милливольтах, время — в секундах, а время — в секундах.
V max определяется как максимальное изменение напряжения от потенциала покоя , где
где r m — сопротивление мембраны, а I — мембранный ток.
Настройка t = для подъема устанавливает V ( t ) равным 0,63 В макс . Это означает, что постоянная времени — это время, прошедшее после достижения 63 % от V max .
Настройка t = для падения устанавливает V ( t ) равным 0,37 В max , что означает, что константа времени — это время, прошедшее после того, как оно упало до 37% от V max .
Чем больше постоянная времени, тем медленнее нарастает или падает потенциал нейрона. Большая постоянная времени может привести к временному суммированию или алгебраическому суммированию повторяющихся потенциалов. Короткая постоянная времени скорее создает детектор совпадений посредством пространственного суммирования .
При экспоненциальном распаде , например, радиоактивного изотопа, постоянную времени можно интерпретировать как среднее время жизни . Период полураспада T HL или T 1/2 связан с константой экспоненциального затухания соотношением
Постоянная времени — это количество времени, которое требуется метеорологическому датчику, чтобы отреагировать на быстрое изменение показателя, и до тех пор, пока он не начнет измерять значения в пределах допуска по точности, обычно ожидаемого от датчика.
Чаще всего это касается измерений температуры, температуры точки росы, влажности и давления воздуха. Особенно страдают радиозонды из-за их быстрого увеличения высоты.