Уравнения Озеена

Формулы для течения вязкой и несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса

В гидродинамике уравнения Озеена ( или поток Озеена ) описывают течение вязкой и несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса , как это было сформулировано Карлом Вильгельмом Озееном в 1910 году. Поток Озеена является улучшенным описанием этих потоков по сравнению с потоком Стокса с (частичным) включением конвективного ускорения . ^[1]

Работа Осина основана на экспериментах Г. Г. Стокса , который изучал падение сферы через вязкую жидкость. Он разработал поправочный член, включающий инерционные факторы, для скорости потока, используемой в расчетах Стокса, чтобы решить проблему, известную как парадокс Стокса . Его приближение приводит к улучшению расчетов Стокса.

Уравнения

Уравнения Озеена в случае объекта, движущегося с постоянной скоростью потока U через жидкость, которая находится в покое вдали от объекта, и в системе отсчета, связанной с объектом, имеют вид: ^[1] где $${\displaystyle {\begin{aligned}-\rho \mathbf {U} \cdot \nabla \mathbf {u} &=-\nabla p\,+\,\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} ,\\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0,\end{aligned}}}$$

• u - возмущение скорости потока, вызванное движущимся объектом, т.е. полная скорость потока в системе отсчета, движущейся вместе с объектом, равна − U + u ,
• p — давление ,
• ρ — плотность жидкости,
• μ — динамическая вязкость ,
• ∇ — оператор градиента , а
• ∇ ² — оператор Лапласа .

Граничные условия для течения Озеена вокруг твердого объекта следующие: r — расстояние от центра объекта, а p _{∞ —} невозмущенное давление вдали от объекта. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=\mathbf {U} &&{\text{at the object surface}},\\\mathbf {u} &\to 0&&{\text{and}}\quad p\to p_{\infty }\quad {\text{for}}\quad r\to \infty ,\end{aligned}}}$$

Продольные и поперечные волны[2]

Фундаментальным свойством уравнения Озеена является то, что общее решение можно разбить на продольные и поперечные волны.

Решение представляет собой продольную волну, если скорость безвихревая и, следовательно, вязкий член выпадает. Уравнения становятся ${\displaystyle \left(\mathbf {u} _{\text{L}},p'\right)}$ $${\displaystyle {\mathbf {u} _{\text{L}}}_{t}+U{\mathbf {u} _{\text{L}}}_{x}+{\frac {1}{\rho }}\nabla p=0,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} _{\text{L}}=0,\quad \nabla \times \mathbf {u} _{\text{L}}=0}$$

В результате $${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{L}}=\nabla \phi ,\quad \nabla ^{2}\phi =0,\quad p'=p-p_{\infty }=-\rho U\mathbf {u} _{\text{L}}}$$

Скорость выводится из теории потенциала, а давление — из линеаризованных уравнений Бернулли.

Решение представляет собой поперечную волну, если давление тождественно равно нулю, а поле скорости является соленоидальным. Уравнения имеют вид ${\displaystyle (\mathbf {u} _{\text{T}},0)}$ ${\displaystyle p'}$ $${\displaystyle {\mathbf {u} _{\text{T}}}_{t}+U{\mathbf {u} _{\text{T}}}_{x}=\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} _{\text{T}},\quad \nabla \cdot \mathbf {u_{T}} =0.}$$

Тогда полное решение Озеена имеет вид $${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{\text{T}}}$$

теорема о расщеплении, выдвинутая Горацием Лэмбом . ^[3] Расщепление является уникальным, если указаны условия на бесконечности (скажем, ). ${\displaystyle \mathbf {u} =0,\ p=p_{\infty }}$

Для некоторых потоков Озеена возможно дальнейшее расщепление поперечной волны на безвихревую и вращательную составляющие Пусть будет скалярной функцией, которая удовлетворяет и исчезает на бесконечности и наоборот пусть будет задано таким образом, что , тогда поперечная волна есть где определяется из и является единичным вектором. Ни один из них или не является поперечным сам по себе, но является поперечным. Следовательно, ${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{T}}=\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}.}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle U\chi _{x}=\nu \nabla ^{2}\chi }$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{T}}=(u_{\text{T}},v_{\text{T}})}$ ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }v_{\text{T}}\,dy=0}$ $${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{T}}=-{\frac {\nu }{U}}\nabla \chi +\chi \mathbf {i} ,\quad \mathbf {u} _{\text{1}}=-{\frac {\nu }{U}}\nabla \chi ,\quad \mathbf {u} _{\text{2}}=\chi \mathbf {i} .}$$ ${\displaystyle \chi }$ ${\textstyle \chi ={\frac {U}{\nu }}\int _{y}^{\infty }v_{T}\,dy}$ ${\displaystyle \mathbf {i} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}}$ $${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{\text{T}}=\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}}$$

Единственным вращательным компонентом является бытие . ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$

Фундаментальные решения[2]

Фундаментальное решение , обусловленное особой точечной силой, встроенной в течение Озеена, — это Озеенлет . Замкнутые фундаментальные решения для обобщенных нестационарных потоков Стокса и Озеена, связанных с произвольными зависящими от времени поступательными и вращательными движениями, были получены для ньютоновских ^[4] и микрополярных ^[5] жидкостей.

Используя уравнение Озеена, Хорас Лэмб смог вывести улучшенные выражения для вязкого течения вокруг сферы в 1911 году, улучшив закон Стокса в сторону несколько более высоких чисел Рейнольдса. ^[1] Кроме того, Лэмб вывел — впервые — решение для вязкого течения вокруг кругового цилиндра. ^[1]

Решение для реакции сингулярной силы при отсутствии внешних границ можно записать как ${\displaystyle \mathbf {f} }$ $${\displaystyle U\mathbf {u} _{x}+{\frac {1}{\rho }}\nabla p-\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\mathbf {f} ,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$$

Если , где — сингулярная сила, сосредоточенная в точке , — произвольная точка, — заданный вектор, задающий направление сингулярной силы, то при отсутствии границ скорость и давление выводятся из фундаментального тензора и фундаментального вектора ${\displaystyle \mathbf {f} =\delta (q,q_{o})\mathbf {a} }$ ${\displaystyle \delta (q,q_{o})}$ ${\displaystyle q_{o}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \Gamma (q,q_{o})}$ ${\displaystyle \Pi (q,q_{o})}$ $${\displaystyle \mathbf {u} (q)=\Gamma (q,q_{o})\mathbf {a} ,\quad p'=p-p_{\infty }=\Pi (q,q_{o})\cdot \mathbf {a} }$$

Теперь, если — произвольная функция пространства, то решение для неограниченной области имеет вид , где — бесконечно малый элемент объема/площади вокруг точки . ${\displaystyle \mathbf {f} }$ $${\displaystyle \mathbf {u} (q)=\int \Gamma (q,q_{o})\mathbf {f} (q_{o})dq_{o},\quad p'(q)=\int \Pi (q,q_{o})\cdot \mathbf {f} (q_{o})dq_{o}}$$ ${\displaystyle dq_{o}}$ ${\displaystyle q_{o}}$

Двумерный

Без потери общности, взятые в начале координат и . Тогда фундаментальный тензор и вектор равны где , где — модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка. ${\displaystyle q_{o}=(0,0)}$ ${\displaystyle q=(x,y)}$ $${\displaystyle \Gamma ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial A}{\partial x}}&{\frac {\partial A}{\partial y}}\\{\frac {\partial A}{\partial y}}&-{\frac {\partial A}{\partial x}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2\pi \nu }}e^{\lambda x}K_{o}(\lambda r){\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \Pi ={\frac {\rho }{2\pi }}\nabla (\ln r)}$$ $${\displaystyle \lambda ={\frac {U}{2\nu }},\quad r^{2}=x^{2}+y^{2},\quad A=-{\frac {1}{2\pi U}}\left[\ln r+e^{\lambda x}K_{o}(\lambda r)\right]}$$ ${\displaystyle K_{o}(\lambda r)}$

Трёхмерный

Без потери общности взяты в начале координат и . Тогда фундаментальный тензор и вектор равны где ${\displaystyle q_{o}=(0,0,0)}$ ${\displaystyle q=(x,y,z)}$ $${\displaystyle \Gamma ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial A}{\partial x}}&{\frac {\partial B}{\partial x}}&{\frac {\partial C}{\partial x}}\\{\frac {\partial A}{\partial y}}&{\frac {\partial B}{\partial y}}&{\frac {\partial C}{\partial y}}\\{\frac {\partial A}{\partial z}}&{\frac {\partial B}{\partial z}}&{\frac {\partial C}{\partial z}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{4\pi \nu }}{\frac {e^{-\lambda (r-x)}}{r}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad \Pi =-{\frac {\rho }{4\pi }}\nabla \left({\frac {1}{r}}\right)}$$

• ${\displaystyle \lambda ={\frac {U}{2\nu }},}$
• ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},}$
• ${\displaystyle A={\frac {1}{4\pi U}}{\frac {1-e^{-\lambda (r-x)}}{r}},}$
• ${\displaystyle B=-{\frac {1}{4\pi U}}{\frac {\left[1-e^{-\lambda (r-x)}\right]y}{r(r-x)}},}$
• ${\displaystyle C=-{\frac {1}{4\pi U}}{\frac {\left[1-e^{-\lambda (r-x)}\right]z}{r(r-x)}}}$

Расчеты

Озеен считал сферу неподвижной, а жидкость текущей со скоростью потока ( ) на бесконечном расстоянии от сферы. Инерционные члены в расчетах Стокса не учитывались. ^[6] Это предельное решение, когда число Рейнольдса стремится к нулю. Когда число Рейнольдса мало и конечно, например, 0,1, необходима поправка на инерционный член. Озеен подставил следующие значения скорости потока в уравнения Навье-Стокса . ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle u_{1}=u+u_{1}',\qquad u_{2}=u_{2}',\qquad u_{3}=u_{3}'.}$$

Подставляя их в уравнения Навье-Стокса и пренебрегая квадратичными членами в штрихованных величинах, получаем приближение Озеена: $${\displaystyle u{\partial u_{1}' \over \partial x_{1}}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x_{1}}+\nu \nabla ^{2}u_{i}'\qquad \left({i=1,2,3}\right).}$$

Поскольку движение симметрично относительно оси, а дивергенция вектора завихренности всегда равна нулю, мы получаем: функцию можно исключить, добавив к подходящей функции в , — функция завихренности, а предыдущую функцию можно записать как: и путем некоторого интегрирования решение для равно: таким образом, если принять — «привилегированное направление», то получим: ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{U \over 2v}{\partial \over \partial x}\right)\chi =G(x)=0}$$ ${\displaystyle G(x)}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {U \over v}{\partial u' \over \partial x}=\nabla ^{2}u'}$$ ${\displaystyle \chi }$ $${\displaystyle e^{-Ux \over 2v}\chi ={{Ce^{-U\operatorname {Re} \over 2v}} \over \operatorname {Re} }}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \varphi ={A_{0} \over \operatorname {Re} }+A_{1}{\partial \over \partial x}{1 \over \operatorname {Re} }+A_{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}{1 \over \operatorname {Re} }+\ldots }$$

затем, применяя три граничных условия, мы получаем новый улучшенный коэффициент сопротивления, который теперь становится: и, наконец, когда решение Стокса было решено на основе приближения Озеена, оно показало, что результирующая сила сопротивления определяется выражением $${\displaystyle C=-{3 \over 2}Ua,\ A_{0}=-{3 \over 2}va,\ A_{1}={1 \over 4}Ua^{3}\ {\text{, etc.}}}$$ $${\displaystyle C_{\text{d}}={12 \over \operatorname {Re} }\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} \right)}$$ $${\displaystyle F=6\pi \,\mu \,au\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} \right),}$$

где:

• ${\displaystyle \mathrm {Re} =\rho ua/\mu }$— число Рейнольдса, основанное на радиусе сферы, ${\displaystyle a}$
• ${\displaystyle F}$это гидродинамическая сила
• ${\displaystyle u}$скорость потока
• ${\displaystyle \mu \,}$вязкость жидкости

Сила из уравнения Озеена отличается от силы Стокса в раз $${\displaystyle 1+{3 \over 8}\mathrm {Re} .}$$

Поправка к решению Стокса

Уравнения для возмущения имеют вид: ^[7] но когда поле скорости имеет вид: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla u'&~=0\\u\cdot \nabla u'&~=-\nabla p+\nu \nabla ^{2}u',\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{y}&=u\cos \theta \left({1+{a^{3} \over 2r^{3}}-{3a \over 2r}}\right)\\u_{z}&=-u\sin \theta \left({1-{a^{3} \over 4r^{3}}-{3a \over 4r}}\right).\end{aligned}}}$$

В дальнем поле ≫ 1 вязкое напряжение определяется последним членом. То есть: ${\displaystyle {r \over a}}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}u'=O\left({a^{3} \over r^{3}}\right).}$$

В инерционном члене доминирует член: $${\displaystyle u{\partial u' \over \partial z_{1}}\sim O\left({a^{2} \over r^{2}}\right).}$$

Тогда ошибка определяется соотношением: $${\displaystyle u{{\partial u' \over \partial z_{1}} \over {\nu \nabla ^{2}u'}}=O\left({r \over a}\right).}$$

Это становится неограниченным для ≫ 1, поэтому инерцию нельзя игнорировать в дальней зоне. Принимая ротор, уравнение Стокса дает Поскольку тело является источником завихренности , станет неограниченным логарифмически для больших Это, безусловно, нефизично и известно как парадокс Стокса . ${\displaystyle {r \over a}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\zeta \,=0.}$ ${\displaystyle \zeta \,}$ ${\displaystyle {r \over a}.}$

Решение для движущейся сферы в несжимаемой жидкости

Рассмотрим случай твердой сферы, движущейся в неподвижной жидкости с постоянной скоростью. Жидкость моделируется как несжимаемая жидкость (т.е. с постоянной плотностью ), и стационарность означает, что ее скорость стремится к нулю по мере того, как расстояние от сферы стремится к бесконечности.

Для реального тела будет наблюдаться переходный эффект из-за его ускорения в начале движения; однако через достаточное время он будет стремиться к нулю, так что скорость жидкости повсюду будет приближаться к той, которая получена в гипотетическом случае, когда тело уже движется в течение бесконечного времени.

Таким образом, мы предполагаем, что сфера радиуса a движется с постоянной скоростью в несжимаемой жидкости, которая находится в состоянии покоя на бесконечности. Мы будем работать в координатах , которые движутся вместе со сферой с центром координат, расположенным в центре сферы. Мы имеем: ${\displaystyle {\vec {U}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {u}}\left(\left\|{{\vec {x}}_{m}}\right\|=a\right)&={\vec {U}}\\{\vec {u}}\left(\left\|{{\vec {x}}_{m}}\right\|\rightarrow \infty \right)&\rightarrow 0\end{aligned}}}$$

Поскольку эти граничные условия, а также уравнения движения, являются инвариантными во времени (т.е. они не изменяются при сдвиге времени ) при выражении в координатах, решение зависит от времени только через эти координаты. ${\displaystyle t\rightarrow t+\Delta t}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$

Уравнения движения — это уравнения Навье-Стокса, определенные в неподвижной системе координат . В то время как пространственные производные равны в обеих системах координат, производная по времени, которая появляется в уравнениях, удовлетворяет: где производная берется по отношению к движущимся координатам . В дальнейшем мы опускаем индекс m . ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {x}}_{m}-{\vec {U}}\cdot t}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}\left({\vec {x}},t\right)}{\partial t}}=\sum _{i}{{\frac {d{x_{m}}_{i}}{dt}}{\frac {\partial {\vec {u}}\left({\vec {x}}_{m}\right)}{\partial {x_{m}}_{i}}}}=-\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}_{m}\right){\vec {u}}}$$ ${\displaystyle {\vec {\nabla }}_{m}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$

Приближение Озеена сводится к пренебрежению нелинейным членом в . Таким образом, несжимаемые уравнения Навье-Стокса принимают вид: для жидкости с плотностью ρ и кинематической вязкостью ν = μ/ρ (μ — динамическая вязкость ). p — давление . ${\displaystyle {\vec {u}}}$ $${\displaystyle \left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {u}}+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}={\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p}$$

В силу уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости решение можно выразить с помощью векторного потенциала . Он оказывается направленным по направлению , а его величина эквивалентна функции тока, используемой в двумерных задачах. Оказывается: где — число Рейнольдса для потока, близкого к сфере. ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}=0}$ ${\displaystyle {\vec {\psi }}}$ ${\displaystyle {\vec {\varphi }}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=Ua^{2}\left(-{\frac {a}{4r^{2}}}\sin \theta +3{\frac {1-\cos \theta }{r\sin \theta }}{\frac {1-e^{-{\frac {Rr}{4a}}(1+\cos \theta )}}{R}}\right)\\{\vec {u}}&={\vec {\nabla }}\times (\psi {\hat {\varphi }})={\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\psi \sin \theta \right){\hat {r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\psi \right){\hat {\theta }}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle R=2aU/\nu }$

Обратите внимание, что в некоторых обозначениях заменяется на , так что вывод из более похож на его вывод из функции тока в двумерном случае (в полярных координатах). ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \Psi =\psi \cdot r\sin \theta }$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle \Psi }$

Разработка

${\displaystyle \psi }$можно выразить следующим образом: $${\displaystyle \psi =\psi _{1}+\psi _{2}-\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}}$$

где: , так что . $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}&\equiv -{\frac {Ua^{3}}{4r^{2}}}\sin \theta \\\psi _{2}&\equiv {\frac {3Ua^{2}}{Rr}}{\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle k\equiv {\frac {R}{4a}}}$$ ${\displaystyle {\frac {U}{2k}}={\frac {2Ua}{R}}=\nu }$

Векторный лапласиан вектора типа имеет вид : . ${\displaystyle V(r,\theta ){\hat {\varphi }}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left(V(r,\theta ){\hat {\varphi }}\right)={\hat {\varphi }}\cdot \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)V(r,\theta )=\\&{\hat {\varphi }}\cdot \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}V(r,\theta )\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}V(r,\theta )\right)-{\frac {V(r,\theta )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]\end{aligned}}}$$

Таким образом, можно подсчитать, что: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\left(\psi _{1}{\hat {\varphi }}\right)&=0\\\nabla ^{2}\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }}\right)&=0\end{aligned}}}$$

Поэтому: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}{\vec {\psi }}&=-\nabla ^{2}\left(\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\right)\\&=-\left(\psi _{2}\nabla ^{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}+2{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}{\frac {\partial }{\partial r}}e^{-kr(1+\cos \theta )}+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}e^{-kr(1+\cos \theta )}\right){\hat {\varphi }}\\&=-{\frac {6Ua^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {k^{2}}{r}}+{\frac {k}{r^{2}}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\end{aligned}}}$$

Таким образом, завихренность равна: $${\displaystyle {\vec {\omega }}\equiv {\vec {\nabla }}\times {\vec {u}}=-\nabla ^{2}{\vec {\psi }}={\frac {6Ua^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {k^{2}}{r}}+{\frac {k}{r^{2}}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}}$$

где мы использовали исчезновение дивергенции для связи векторного лапласиана и двойного ротора . ${\displaystyle {\vec {\psi }}}$

Левая часть уравнения движения представляет собой ротор следующего уравнения: $${\displaystyle \left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}+\nu \nabla ^{2}{\vec {\psi }}=\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}-\nu {\vec {\omega }}}$$

Мы вычисляем производную отдельно для каждого члена в . ${\displaystyle \psi }$

Обратите внимание, что: $${\displaystyle {\vec {U}}=U\left(\cos \theta {\hat {r}}-\sin \theta {\hat {\theta }}\right)}$$

А также: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}&=-{\frac {1}{r}}\psi _{2}\\\sin \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}&=\psi _{2}\end{aligned}}}$$

Таким образом, мы имеем: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{1}{\hat {\varphi }}\right)&=U\left(\cos \theta {\frac {\partial \psi _{1}}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial \psi _{1}}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}={\frac {3U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta \cos \theta {\hat {\varphi }}\\\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }}\right)&=U\left(\cos \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}=-U{\frac {1}{r}}(1+\cos \theta )\psi _{2}{\hat {\varphi }}=-{\frac {3U^{2}a^{2}}{Rr^{2}}}\sin \theta {\hat {\varphi }}\\\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(-\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\right)&=-e^{-kr(1+\cos \theta )}\left(\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }})+\psi _{2}\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(-kr(1+\cos \theta \right){\hat {\varphi }}\right)\right)\\&=U\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}\left({\frac {1}{r}}(1+\cos \theta )+\cos \theta {\frac {\partial (kr(1+\cos \theta ))}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial (kr(1+\cos \theta ))}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}\\&=U\psi _{2}(1+\cos \theta )\left({\frac {1}{r}}+k\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}={\frac {3U^{2}a^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {k}{r}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\\&={\frac {U}{2k}}{\vec {\omega }}=\nu {\vec {\omega }}\end{aligned}}}$$

Объединяя все термины, имеем: $${\displaystyle \left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}+\nu \nabla ^{2}{\vec {\psi }}=\left({\frac {3U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta \cos \theta -{\frac {3U^{2}a^{2}}{Rr^{2}}}\sin \theta \right){\hat {\varphi }}}$$

Взяв ротор, мы находим выражение, которое равно умноженному на градиент следующей функции, которая является давлением: ${\displaystyle 1/\rho }$ $${\displaystyle p=p_{0}-{\frac {3\mu Ua}{2r^{2}}}\cos \theta +{\frac {\rho U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)}$$

где - давление на бесконечности, - полярный угол, исходящий с противоположной стороны от передней точки торможения ( где - передняя точка торможения). ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta =\pi }$

Кроме того, скорость выводится путем взятия ротора : ${\displaystyle {\vec {\psi }}}$ $${\displaystyle {\vec {u}}=U\left[-{\frac {a^{3}}{2r^{3}}}\cos \theta +{\frac {3a^{2}}{Rr^{2}}}-{\frac {3a^{2}}{R}}\left({\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {k}{r}}[1-\cos \theta ]\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}\right]{\hat {r}}-U\left[{\frac {a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta +{\frac {3a^{2}}{Rr}}k\sin \theta e^{-kr(1+\cos \theta )}\right]{\hat {\theta }}}$$

Эти p и u удовлетворяют уравнению движения и, таким образом, составляют решение приближения Озеена.

Модификации приближения Озеена

Однако можно задаться вопросом, был ли поправочный член выбран случайно, поскольку в системе отсчета, движущейся вместе со сферой, жидкость вблизи сферы почти покоится, и в этой области инерционная сила пренебрежимо мала, и уравнение Стокса вполне обосновано. ^[6] Вдали от сферы скорость потока приближается к u , и приближение Озеена более точно. ^[6] Но уравнение Озеена было получено путем применения уравнения для всего поля потока. На этот вопрос ответили Праудман и Пирсон в 1957 году, ^[8] которые решили уравнения Навье-Стокса и дали улучшенное решение Стокса в окрестности сферы и улучшенное решение Озеена на бесконечности, и сопоставили два решения в предполагаемой общей области их применимости. Они получили:

$${\displaystyle F=6\pi \,\mu \,aU\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} +{9 \over 40}\operatorname {Re} ^{2}\ln \operatorname {Re} +{\mathcal {O}}\left(\operatorname {Re} ^{2}\right)\right).}$$

Приложения

Метод и формулировка для анализа потока при очень низком числе Рейнольдса важны. Медленное движение мелких частиц в жидкости распространено в биоинженерии . Формулировка Озеена может использоваться в связи с потоком жидкостей в различных особых условиях, таких как: содержание частиц, осаждение частиц, центрифугирование или ультрацентрифугирование суспензий, коллоидов и крови посредством изоляции опухолей и антигенов. ^[6] Жидкость даже не обязательно должна быть жидкостью, а частицы не обязательно должны быть твердыми. Ее можно использовать в ряде приложений, таких как образование смога и распыление жидкостей.

Кровоток в мелких сосудах, таких как капилляры , характеризуется малыми числами Рейнольдса и Вомерсли . Сосуд диаметром 10 мкм с потоком 1 миллиметр/секунду , вязкостью 0,02 пуаз для крови, плотностью 1 г/см3 ^и частотой сердечных сокращений 2 Гц будет иметь число Рейнольдса 0,005 и число Вомерсли 0,0126. При этих малых числах Рейнольдса и Вомерсли вязкие эффекты жидкости становятся преобладающими. Понимание движения этих частиц имеет важное значение для доставки лекарств и изучения метастазирования раковых заболеваний.

Примечания

1. Batchelor (2000), §4.10, стр. 240–246.
2. Lagerstrom, Paco Axel. Теория ламинарного течения. Princeton University Press, 1996.
3. Лэмб, Гораций. Гидродинамика. Издательство Кембриджского университета, 1932.
4. Шу, Цзянь-Джун; Чванг, AT (2001). «Обобщенные фундаментальные решения для нестационарных вязких течений». Physical Review E. 63 ( 5): 051201. arXiv : 1403.3247 . Bibcode : 2001PhRvE..63e1201S. doi : 10.1103/PhysRevE.63.051201. PMID  11414893. S2CID  22258027.
5. Шу, Цзянь-Джун; Ли, Дж. С. (2008). «Фундаментальные решения для микрополярных жидкостей». Журнал инженерной математики . 61 (1): 69–79. arXiv : 1402.5023 . Bibcode :2008JEnMa..61...69S. doi :10.1007/s10665-007-9160-8. S2CID  3450011.
6. Фунг (1997)
7. Мэй 2011
8. Праудман и Пирсон (1957)

Ссылки

• Осеен, Карл Вильгельм (1910), «Über die Stokes'sche formel, und über eine verwandte Aufgabe in der Hydrodynamik», Архив для математики, астрономии и физики , vi (29)
• Бэтчелор, Джордж (2000), Введение в гидродинамику , Кембриджская математическая библиотека (второе издание в мягкой обложке), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-66396-0, г-н  1744638
• Фунг, Юань-чэн (1997), Биомеханика: Кровообращение (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Mei, CC (4 апреля 2011 г.), «Усовершенствование Озеена для медленного течения мимо тела» (PDF) , Advanced Environmental Fluid Mechanics , Web.Mit.edu , получено 28 февраля 2013 г.
• Праудман, И.; Пирсон, Дж. Р. А. (1957), «Разложения при малых числах Рейнольдса для потока около сферы и кругового цилиндра», Журнал механики жидкости , 2 (3): 237–262, Bibcode : 1957JFM.....2..237P, doi : 10.1017/S0022112057000105, S2CID  119410137