Почти везде

Везде, кроме множества нулевой меры

Функция 1/x дифференцируема и непрерывна почти всюду, точнее, всюду, за исключением точки x = 0 .

В теории меры (раздел математического анализа ) свойство выполняется почти всюду , если в техническом смысле множество, для которого выполняется свойство, охватывает почти все возможности. Понятие «почти всюду» является сопутствующим понятием концепции нулевой меры и аналогично понятию почти наверняка в теории вероятностей .

Более конкретно, свойство выполняется почти всюду, если оно выполняется для всех элементов множества, за исключением подмножества меры нуль, ^{[1] [2]} или, что эквивалентно, если множество элементов, для которого выполняется свойство, является conull . В случаях, когда мера не является полной , достаточно, чтобы множество содержалось в множестве меры нуль. При обсуждении множеств действительных чисел обычно подразумевается мера Лебега, если не указано иное.

Термин почти везде сокращается как ae ; ^[3] в более старой литературе используется сокращение pp , обозначающее эквивалентную французскую фразу presque partout . ^[4]

Множество с полной мерой — это множество, дополнение которого имеет меру ноль. В теории вероятностей термины почти наверняка , почти наверняка и почти всегда относятся к событиям с вероятностью 1, не обязательно включающим все исходы. Это в точности множества полной меры в вероятностном пространстве.

Иногда вместо того, чтобы сказать, что свойство выполняется почти всюду, говорят, что свойство выполняется почти для всех элементов (хотя термин «почти все» может иметь и другие значения).

Определение

Если — пространство с мерой , то говорят, что свойство выполняется почти всюду в , если существует измеримое множество с , и все обладают свойством . ^[5] Другой распространенный способ выразить то же самое — сказать, что «почти каждая точка удовлетворяет » или что «почти для каждого выполняется ». ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\in \Sigma }$ ${\displaystyle \mu (N)=0}$ ${\displaystyle x\in X\setminus N}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P(x)}$

Не требуется , чтобы множество имело меру ноль; оно может быть неизмеримым. Согласно вышеприведенному определению, достаточно, чтобы оно содержалось в некотором множестве , которое измеримо и имеет меру ноль. Однако эта техническая тонкость исчезает при рассмотрении полного пространства меры : если является полным, то существует с мерой ноль тогда и только тогда, когда является измеримым с мерой ноль. ${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$ ${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$

Характеристики

• Если свойство имеет место почти везде и подразумевает свойство , то свойство имеет место почти везде. Это следует из монотонности мер. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$
• Если — конечная или счетная последовательность свойств, каждое из которых выполняется почти всюду, то их конъюнкция выполняется почти всюду. Это следует из счетной субаддитивности мер. ${\displaystyle (P_{n})}$ ${\displaystyle \forall nP_{n}}$
• Напротив, если — несчетное семейство свойств, каждое из которых выполняется почти всюду, то их конъюнкция не обязательно выполняется почти всюду. Например, если — мера Лебега на и — свойство не быть равным (т.е. верно тогда и только тогда, когда ), то каждое выполняется почти всюду, но конъюнкция не выполняется нигде. ${\displaystyle (P_{x})_{x\in \mathbf {R} }}$ ${\displaystyle \forall xP_{x}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X=\mathbf {R} }$ ${\displaystyle P_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P_{x}(y)}$ ${\displaystyle y\neq x}$ ${\displaystyle P_{x}}$ ${\displaystyle \forall xP_{x}}$

Вследствие первых двух свойств часто можно рассуждать о «почти каждой точке» мерного пространства, как если бы это была обычная точка, а не абстракция. ^{[ требуется цитата ]} Это часто делается неявно в неформальных математических аргументах. Однако следует быть осторожным с этим способом рассуждения из-за третьего пункта выше: универсальная квантификация по несчетным семействам утверждений верна для обычных точек, но не для «почти каждой точки».

Примеры

• Если f  : R → R — интегрируемая по Лебегу функция и почти всюду, то для всех действительных чисел равенство имеет место тогда и только тогда, когда почти всюду. ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0}$$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle f(x)=0}$
• Если f :  [ a , b ] → R — монотонная функция , то f дифференцируема почти всюду.
• Если f  : R → R измеримо по Лебегу и для всех действительных чисел , то существует множество E (зависящее от f ) такое, что если x принадлежит E , то среднее Лебега сходится к f ( x ) при уменьшении к нулю. Множество E называется множеством Лебега функции f . Можно доказать, что его дополнение имеет меру ноль. Другими словами, среднее Лебега функции f сходится к f почти всюду. $${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx<\infty }$$ ${\displaystyle a<b}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }f(t)\,dt}$$ ${\displaystyle \epsilon }$
• Ограниченная функция f  : [ a , b ] → R интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она непрерывна почти всюду.
• Любопытно, что десятичное разложение почти каждого действительного числа в интервале [0, 1] содержит полный текст пьес Шекспира , закодированный в ASCII ; аналогично для любой другой конечной последовательности цифр см. Обычное число .

Определение с использованием ультрафильтров

Вне контекста реального анализа понятие свойства, истинного почти всюду, иногда определяется в терминах ультрафильтра . Ультрафильтр на множестве X — это максимальный набор F подмножеств X, такой что:

1. Если U ∈ F и U ⊆ V , то V ∈ F
2. Пересечение любых двух множеств в F находится в F
3. Пустое множество не находится в F

Свойство P точек в X выполняется почти всюду относительно ультрафильтра F , если множество точек, для которых выполняется P , принадлежит F.

Например, одна из конструкций системы гипердействительных чисел определяет гипердействительное число как класс эквивалентности последовательностей, которые равны почти всюду, как определено ультрафильтром.

Определение почти всюду в терминах ультрафильтров тесно связано с определением в терминах мер, поскольку каждый ультрафильтр определяет конечно-аддитивную меру, принимающую только значения 0 и 1, где множество имеет меру 1 тогда и только тогда, когда оно включено в ультрафильтр.

Смотрите также

• Функция Дирихле — функция, которая почти всюду равна 0.

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Почти везде". mathworld.wolfram.com . Получено 19 ноября 2019 г.
2. Халмос, Пол Р. (1974). Теория меры. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90088-8.
3. "Определение почти везде | Dictionary.com". www.dictionary.com . Получено 19.11.2019 .
4. Урселл, HD (1932-01-01). «О сходимости почти всюду рядов Радемахера и сумм Бохнерфейера функции, почти периодической в ​​смысле Степанова». Труды Лондонского математического общества . s2-33 (1): 457–466. doi :10.1112/plms/s2-33.1.457. ISSN  0024-6115.
5. "Свойства, которые сохраняются почти везде - Mathonline". mathonline.wikidot.com . Получено 19.11.2019 .

Библиография

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера (3-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2.