Почти все

В математике, за незначительными исключениями

В математике термин « почти все » означает «все, кроме незначительного количества». Точнее, если — множество , «почти все элементы » означает «все элементы, кроме тех, которые находятся в незначительном подмножестве » . Значение «незначительный» зависит от математического контекста; например, оно может означать конечный , счетный или нулевой . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Напротив, « почти нет » означает «ничтожно малое количество»; то есть «почти нет элементов » означает «ничтожно малое количество элементов ». ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Значения в различных областях математики

Распространенное значение

В математике «почти все» иногда используется в значении «все (элементы бесконечного множества ), за исключением конечного числа». ^{[1] [2]} Такое использование встречается и в философии. ^[3] Аналогично, «почти все» может означать «все (элементы несчетного множества ), за исключением счетного числа». ^{[сек 1]}

Примеры:

• Почти все положительные целые числа больше 10 ¹² . ^{[4] : 293}
• Почти все простые числа нечетные (единственное исключение — 2). ^[5]
• Почти все многогранники являются неправильными (поскольку существует только девять исключений: пять Платоновых тел и четыре многогранника Кеплера–Пуансо ).
• Если P — ненулевой многочлен , то P(x) ≠ 0 для почти всех x (если не для всех x ).

Значение в теории меры

Функция Кантора как функция, имеющая нулевую производную почти всюду

Когда речь идет о действительных числах , иногда «почти все» может означать «все действительные числа, за исключением нулевого набора ». ^{[6] [7] [sec 2]} Аналогично, если S — некоторое множество действительных чисел, «почти все числа в S » может означать «все числа в S, за исключением тех, что находятся в нулевом наборе». ^[8] Действительную прямую можно рассматривать как одномерное евклидово пространство . В более общем случае n -мерного пространства (где n — положительное целое число) эти определения можно обобщить до «всех точек, за исключением тех, что находятся в нулевом наборе» ^{[sec 3]} или «всех точек в S, за исключением тех, что находятся в нулевом наборе» (в этот раз S — множество точек в пространстве). ^[9] Еще более обще, «почти все» иногда используется в смысле « почти везде » в теории меры , ^{[10] [11] [sec 4]} или в тесно связанном смысле « почти наверняка » в теории вероятностей . ^{[11] [sec 5]}

Примеры:

• В пространстве меры , таком как вещественная прямая, счетные множества являются нулевыми. Множество рациональных чисел счетно, поэтому почти все вещественные числа являются иррациональными. ^[12]
• Первая статья Георга Кантора по теории множеств доказала, что множество алгебраических чисел также счетно, поэтому почти все действительные числа являются трансцендентными . ^{[13] [сек. 6]}
• Почти все числа нормальные . ^[14]
• Множество Кантора также является нулевым. Таким образом, почти все действительные числа не входят в него, хотя оно несчетно. ^[6]
• Производная функции Кантора равна 0 почти для всех чисел в единичном интервале . ^[15] Это следует из предыдущего примера, поскольку функция Кантора локально постоянна и, таким образом, имеет производную 0 вне множества Кантора.

Значение в теории чисел

В теории чисел «почти все положительные целые числа» может означать «положительные целые числа в наборе, естественная плотность которого равна 1». То есть, если A — набор положительных целых чисел, и если доля положительных целых чисел в A ниже n (из всех положительных целых чисел ниже n ) стремится к 1, когда n стремится к бесконечности, то почти все положительные целые числа входят в A. [ ^{16] [17] [sec 7]}

В более общем смысле, пусть S будет бесконечным множеством положительных целых чисел, например, множеством четных положительных чисел или множеством простых чисел , если A является подмножеством S , и если доля элементов S ниже n , которые находятся в A (из всех элементов S ниже n ), стремится к 1, когда n стремится к бесконечности, то можно сказать, что почти все элементы S находятся в A.

Примеры:

• Естественная плотность коконечных множеств положительных целых чисел равна 1, поэтому каждое из них содержит почти все положительные целые числа.
• Почти все положительные целые числа являются составными . ^{[сек 7] [доказательство 1]}
• Почти все четные положительные числа можно выразить как сумму двух простых чисел. ^{[4] : 489}
• Почти все простые числа изолированы . Более того, для каждого положительного целого числа g почти все простые числа имеют простые промежутки больше g как слева, так и справа; то есть, нет других простых чисел между p − g и p + g . ^[18]

Значение в теории графов

В теории графов , если A — это множество (конечных помеченных ) графов , можно сказать, что оно содержит почти все графы, если доля графов с n вершинами, которые находятся в A, стремится к 1, когда n стремится к бесконечности. ^[19] Однако иногда проще работать с вероятностями, ^[20] поэтому определение переформулируется следующим образом. Доля графов с n вершинами, которые находятся в A, равна вероятности того, что случайный граф с n вершинами (выбранный с равномерным распределением ) находится в A , и выбор графа таким образом имеет тот же результат, что и генерация графа путем подбрасывания монеты для каждой пары вершин, чтобы решить, соединять ли их. ^[21] Следовательно, эквивалентно предыдущему определению, множество A содержит почти все графы, если вероятность того, что граф с n вершинами , сгенерированный подбрасыванием монеты, находится в A, стремится к 1, когда n стремится к бесконечности. ^{[20] [22]} Иногда последнее определение модифицируется таким образом, что граф выбирается случайным образом каким-то другим способом , где не все графы с n вершинами имеют одинаковую вероятность, ^[21] и эти модифицированные определения не всегда эквивалентны основному.

Использование термина «почти все» в теории графов не является стандартным; для этого понятия чаще используется термин « асимптотически почти наверняка ». ^[20]

Пример:

• Почти все графы асимметричны . ^[19]
• Почти все графы имеют диаметр 2. ^[23]

Значение в топологии

В топологии ^[24] и особенно в теории динамических систем ^{[25] [26] [27]} (включая приложения в экономике), ^[28] «почти все» точки топологического пространства могут означать «все точки пространства, за исключением тех, которые находятся в скудном наборе ». Некоторые используют более ограниченное определение, где подмножество содержит почти все точки пространства, только если оно содержит некоторое открытое плотное множество . ^{[26] [29] [30]}

Пример:

• Для неприводимого алгебраического многообразия свойства , которые выполняются для почти всех точек многообразия, являются в точности общими свойствами . ^{[сек 8]} Это связано с тем, что в неприводимом алгебраическом многообразии, снабженном топологией Зарисского , все непустые открытые множества плотны.

Значение в алгебре

В абстрактной алгебре и математической логике , если U является ультрафильтром на множестве X, «почти все элементы X » иногда означает «элементы некоторого элемента U ». ^{[31] [32] [33] [34]} Для любого разбиения X на два непересекающихся множества одно из них обязательно будет содержать почти все элементы X. Можно думать об элементах фильтра на X как о содержащих почти все элементы X , даже если он не является ультрафильтром. ^[34]

Доказательства

1. Теорема о простых числах показывает, что число простых чисел, меньших или равных n , асимптотически равно n /ln( n ). Следовательно, доля простых чисел составляет примерно ln( n )/ n , что стремится к 0, когда n стремится к бесконечности , поэтому доля составных чисел, меньших или равных n, стремится к 1, когда n стремится к бесконечности. ^[17]

Смотрите также

• Почти
• Почти везде
• Почти наверняка

Ссылки

Первичные источники

1. Cahen, Paul-Jean; Chabert, Jean-Luc (3 декабря 1996 г.). Целочисленные многочлены . Математические обзоры и монографии . Т. 48. Американское математическое общество . стр. xix. ISBN 978-0-8218-0388-2. ISSN  0076-5376.
2. Cahen, Paul-Jean; Chabert, Jean-Luc (7 декабря 2010 г.) [Впервые опубликовано в 2000 г.]. "Глава 4: Что нового в целочисленных многочленах на подмножестве?". В Hazewinkel, Michiel (ред.). Non-Noetherian Commutative Ring Theory . Mathematics and Its Applications. Vol. 520. Springer . p. 85. doi :10.1007/978-1-4757-3180-4. ISBN 978-1-4419-4835-9.
3. Gärdenfors, Peter (22 августа 2005 г.). Динамика мысли . Библиотека синтеза. Т. 300. Springer . С. 190–191. ISBN 978-1-4020-3398-8.
4. Курант, Ричард ; Роббинс, Герберт ; Стюарт, Ян (18 июля 1996 г.). Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам (2-е изд.). Oxford University Press . ISBN 978-0-19-510519-3.
5. Мовшовиц-хадар, Ница; Шрики, Атара (2018-10-08). Логика в стране чудес: введение в логику через чтение «Приключений Алисы в стране чудес» — руководство для учителя. World Scientific. стр. 38. ISBN 978-981-320-864-3. Это также можно выразить в утверждении: «Почти все простые числа нечетные».
6. Korevaar, Jacob (1 января 1968 г.). Математические методы: линейная алгебра / нормированные пространства / распределения / интегрирование . Том 1. Нью-Йорк: Academic Press . стр. 359–360. ISBN 978-1-4832-2813-6.
7. Натансон, Исидор П. (июнь 1961 г.). Теория функций действительного переменного . Том. 1. Перевод Борона Лео Ф. (переработанная ред.). Нью-Йорк: Издательство Фредерика Унгара . п. 90. ИСБН 978-0-8044-7020-9.
8. Sohrab, Houshang H. (15 ноября 2014 г.). Basic Real Analysis (2-е изд.). Birkhäuser . стр. 307. doi :10.1007/978-1-4939-1841-6. ISBN 978-1-4939-1841-6.
9. Хельмберг, Гилберт (декабрь 1969). Введение в спектральную теорию в гильбертовом пространстве . Серия North-Holland по прикладной математике и механике. Т. 6 (1-е изд.). Амстердам: North-Holland Publishing Company . стр. 320. ISBN 978-0-7204-2356-3.
10. Vestrup, Eric M. (18 сентября 2003 г.). Теория мер и интегрирования . Wiley Series in Probability and Statistics. Соединенные Штаты: Wiley-Interscience . стр. 182. ISBN 978-0-471-24977-1.
11. Billingsley, Patrick (1 мая 1995 г.). Вероятность и мера (PDF) . Wiley Series in Probability and Statistics (3-е изд.). Соединенные Штаты: Wiley-Interscience . стр. 60. ISBN 978-0-471-00710-4. Архивировано из оригинала (PDF) 23 мая 2018 года.
12. Niven, Ivan (1 июня 1956 г.). Иррациональные числа . Математические монографии Каруса . Т. 11. Rahway: Математическая ассоциация Америки . С. 2–5. ISBN 978-0-88385-011-4.
13. Бейкер, Алан (1984). Краткое введение в теорию чисел. Cambridge University Press . стр. 53. ISBN 978-0-521-24383-4.
14. Грэнвилл, Эндрю ; Рудник, Зеев (7 января 2007 г.). Равнораспределение в теории чисел, введение . Серия научных исследований НАТО II. Т. 237. Springer . стр. 11. ISBN 978-1-4020-5404-4.
15. Берк, Фрэнк (3 ноября 1997 г.). Мера Лебега и интегрирование: Введение . Серия текстов, монографий и трактатов издательства Wiley-Interscience. США: Wiley-Interscience . стр. 260. ISBN 978-0-471-17978-8.
16. Харди, Г. Х. (1940). Рамануджан: Двенадцать лекций по темам, предложенным его жизнью и работой. Cambridge University Press . стр. 50.
17. Hardy, GH ; Wright, EM (декабрь 1960). Введение в теорию чисел (4-е изд.). Oxford University Press . стр. 8–9. ISBN 978-0-19-853310-8.
18. Прачар, Карл (1957). Primzahlverteiung . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (на немецком языке). Том. 91. Берлин: Шпрингер . п. 164.Цитируется в Grosswald, Emil (1 января 1984 г.). Topics from the Theory of Numbers (2-е изд.). Boston: Birkhäuser . стр. 30. ISBN 978-0-8176-3044-7.
19. Бабай, Ласло (25 декабря 1995 г.). «Группы автоморфизмов, изоморфизм, реконструкция». В Грэме, Рональде ; Гретшель, Мартин ; Ловас, Ласло (ред.). Справочник по комбинаторике . Том. 2. Нидерланды: Издательство Северной Голландии . п. 1462. ИСБН 978-0-444-82351-9.
20. Спенсер, Джоэл (9 августа 2001 г.). Странная логика случайных графов . Алгоритмы и комбинаторика. Т. 22. Springer . С. 3–4. ISBN 978-3-540-41654-8.
21. Bollobás, Béla (8 октября 2001 г.). Случайные графы . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 73 (2nd ed.). Cambridge University Press . pp. 34–36. ISBN 978-0-521-79722-1.
22. Грэдель, Эрик; Колайтис, Фокион Г.; Либкин, Леонид ; Маркс, Маартен; Спенсер, Джоэл ; Варди, Моше Й .; Венема, Иде; Вайнштейн, Скотт (11 июня 2007 г.). Теория конечных моделей и ее приложения . Тексты по теоретической информатике ( серия EATCS ). Springer . стр. 298. ISBN 978-3-540-00428-8.
23. Бакли, Фред; Харари, Фрэнк (21 января 1990 г.). Расстояние в графах . Эддисон-Уэсли . стр. 109. ISBN 978-0-201-09591-3.
24. Окстоби, Джон К. (1980). Мера и категория . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 2 (2nd ed.). Соединенные Штаты: Springer . pp. 59, 68. ISBN 978-0-387-90508-2.Хотя Окстоби не дает здесь явного определения этому термину, Бабай заимствовал его из «Меры и категории» в своей главе «Группы автоморфизмов, изоморфизм, реконструкция» книги Грэма, Грётшеля и Ловаса « Справочник по комбинаторике» (т. 2), а Броэр и Такенс отмечают в своей книге «Динамические системы и хаос» , что «Мера и категория» сравнивают это значение «почти все» с теоретическим значением меры в действительной прямой (хотя в книге Окстоби обсуждаются также и тощие множества в общих топологических пространствах).
25. Baratchart, Laurent (1987). "Недавние и новые результаты в рациональном приближении L ^{2 ". В} Curtain, Ruth F. (ред.). Моделирование, надежность и снижение чувствительности в системах управления . NATO ASI Series F. Vol. 34. Springer . стр. 123. doi :10.1007/978-3-642-87516-8. ISBN 978-3-642-87516-8.
26. Броер, Хенк; Такенс, Флорис (28 октября 2010 г.). Динамические системы и хаос . Прикладные математические науки. Том. 172. Спрингер . п. 245. дои : 10.1007/978-1-4419-6870-8. ISBN 978-1-4419-6870-8.
27. Шарковский, АН; Коляда, СФ; Сивак, АГ; Федоренко, ВВ (30 апреля 1997 г.). Динамика одномерных отображений . Математика и ее приложения. Т. 407. Springer . С. 33. doi :10.1007/978-94-015-8897-3. ISBN 978-94-015-8897-3.
28. Юань, Джордж Сянь-Чжи (9 февраля 1999 г.). Теория ККМ и ее применение в нелинейном анализе . Чистая и прикладная математика; Серия монографий и учебников. Марсель Деккер . стр. 21. ISBN 978-0-8247-0031-7.
29. Альбертини, Франческа; Зонтаг, Эдуардо Д. (1 сентября 1991 г.). "Транзитивность и прямая доступность дискретно-временных нелинейных систем". В Боннар, Бернар; Брайд, Бернар; Готье, Жан-Поль; Купка, Иван (ред.). Анализ управляемых динамических систем . Прогресс в системах и теории управления. Том 8. Биркхойзер . стр. 29. doi :10.1007/978-1-4612-3214-8. ISBN 978-1-4612-3214-8.
30. Де ла Фуэнте, Анхель (28 января 2000 г.). Математические модели и методы для экономистов . Cambridge University Press . стр. 217. ISBN 978-0-521-58529-3.
31. Комьят, Петер ; Тотик, Вильмош (2 мая 2006 г.). Задачи и теоремы по классической теории множеств . Задачники по математике. США: Springer . стр. 75. ISBN 978-0387-30293-5.
32. Зальцманн, Хельмут; Грундхёфер, Тео; Хель, Герман; Лёвен, Райнер (24 сентября 2007 г.). Классические поля: структурные особенности действительных и рациональных чисел. Энциклопедия математики и ее приложений. Т. 112. Cambridge University Press . стр. 155. ISBN 978-0-521-86516-6.
33. Схаутенс, Ганс (2 августа 2010 г.). Использование ультрапроизведений в коммутативной алгебре . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 1999. Springer . стр. 8. doi :10.1007/978-3-642-13368-8. ISBN 978-3-642-13367-1.
34. Rautenberg, Wolfgang (17 декабря 2009 г.). A Concise to Mathematical Logic . Universitext (3-е изд.). Springer . стр. 210–212. doi :10.1007/978-1-4419-1221-3. ISBN 978-1-4419-1221-3.

Вторичные источники

1. Шварцман, Стивен (1 мая 1994 г.). Слова математики: Этимологический словарь математических терминов, используемых в английском языке . Серия Spectrum. Математическая ассоциация Америки . стр. 22. ISBN 978-0-88385-511-9.
2. Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (7 июня 2009 г.). Краткий Оксфордский словарь математики . Oxford Paperback References (4-е изд.). Oxford University Press . стр. 38. ISBN 978-0-19-923594-0.
3. Джеймс, Роберт С. (31 июля 1992 г.). Математический словарь (5-е изд.). Chapman & Hall . стр. 269. ISBN 978-0-412-99031-1.
4. Битюцков, Вадим И. (30 ноября 1987 г.). «Почти везде». В Хазевинкеле, Михил (ред.). Энциклопедия математики . Том. 1. Академическое издательство Клувер . п. 153. дои : 10.1007/978-94-015-1239-8. ISBN 978-94-015-1239-8.
5. Ито, Кийоси , изд. (4 июня 1993 г.). Энциклопедический словарь математики . Том. 2 (2-е изд.). Кингспорт: MIT Press . п. 1267. ИСБН 978-0-262-09026-1.
6. "Почти все действительные числа трансцендентны - ProofWiki". proofwiki.org . Получено 11 ноября 2019 г.
7. Weisstein, Eric W. «Почти все». MathWorld .См. также Weisstein, Eric W. (25 ноября 1988 г.). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (1-е изд.). CRC Press . стр. 41. ISBN 978-0-8493-9640-3.
8. Ито, Кийоси , изд. (4 июня 1993 г.). Энциклопедический словарь математики. Том. 1 (2-е изд.). Кингспорт: MIT Press . п. 67. ИСБН 978-0-262-09026-1.