Орбитальный резонанс

Регулярное и периодическое взаимное гравитационное влияние вращающихся тел

Лапласовский резонанс трех тел, демонстрируемый тремя галилеевыми лунами Юпитера . Соединения выделены кратковременными изменениями цвета. Для каждого соединения Европа-Ганимед (пурпурный) есть два соединения Ио-Европа (зеленый) и три соединения Ио-Ганимед (серый). Эта диаграмма не в масштабе.

В небесной механике орбитальный резонанс возникает, когда вращающиеся тела оказывают регулярное, периодическое гравитационное влияние друг на друга, обычно потому, что их орбитальные периоды связаны соотношением малых целых чисел . Чаще всего эта связь обнаруживается между парой объектов (бинарный резонанс). Физический принцип, лежащий в основе орбитального резонанса, по своей сути похож на раскачивание ребенка на качелях , при этом орбита и качели имеют собственную частоту , а тело, совершающее «толкание», будет действовать в периодическом повторении, чтобы иметь кумулятивный эффект на движение. Орбитальные резонансы значительно усиливают взаимное гравитационное влияние тел (т. е. их способность изменять или ограничивать орбиты друг друга). В большинстве случаев это приводит к нестабильному взаимодействию, при котором тела обмениваются импульсом и смещают орбиты до тех пор, пока резонанс не исчезнет. При некоторых обстоятельствах резонансная система может быть самокорректирующейся и, таким образом, стабильной. Примерами являются резонанс 1:2:4 спутников Юпитера Ганимеда , Европы и Ио , а также резонанс 2:3 между Нептуном и Плутоном . Нестабильные резонансы с внутренними лунами Сатурна приводят к появлению зазоров в кольцах Сатурна . Особый случай резонанса 1:1 между телами с похожими орбитальными радиусами заставляет крупные тела планетной системы выбрасывать большинство других тел, разделяющих их орбиты; это часть гораздо более обширного процесса очистки окрестностей , эффекта, который используется в текущем определении планеты . ^[1]

Двойное резонансное отношение в этой статье следует интерпретировать как отношение количества орбит, завершенных за тот же промежуток времени, а не как отношение орбитальных периодов , которое было бы обратным отношением. Таким образом, отношение 2:3 выше означает, что Плутон завершает два оборота за то время, которое требуется Нептуну для завершения трех. В случае резонансных отношений между тремя или более телами может использоваться любой тип отношения (при этом наименьшие последовательности отношений целых чисел не обязательно являются инверсиями друг друга), и тип отношения будет указан.

История

С момента открытия закона всемирного тяготения Ньютоном в XVII веке устойчивость Солнечной системы волновала многих математиков, начиная с Пьера-Симона Лапласа . Устойчивые орбиты, возникающие в приближении двух тел, игнорируют влияние других тел. Влияние этих дополнительных взаимодействий на устойчивость Солнечной системы очень мало, но поначалу не было известно, могут ли они суммироваться в течение более длительных периодов, чтобы существенно изменить параметры орбиты и привести к совершенно иной конфигурации, или же некоторые другие стабилизирующие эффекты могут поддерживать конфигурацию орбит планет.

Именно Лаплас нашел первые ответы, объясняющие связанные орбиты галилеевых лун (см. ниже). До Ньютона также рассматривались соотношения и пропорции в орбитальных движениях, в том, что называлось «музыкой сфер», или musica universalis .

Статья о резонансных взаимодействиях описывает резонанс в общей современной обстановке. Основным результатом изучения динамических систем является открытие и описание сильно упрощенной модели синхронизации мод; это осциллятор, который получает периодические толчки через слабую связь с некоторым движущим двигателем. Аналогом здесь будет то, что более массивное тело обеспечивает периодический гравитационный толчок меньшему телу, когда оно проходит мимо. Области синхронизации мод называются языками Арнольда .

Типы резонанса

Большие полуоси резонансных транснептуновых объектов (красные) сгруппированы в местах низкоцелых резонансов с Нептуном (вертикальные красные полосы вверху), в отличие от больших полуосей кьюбивано (синие) и нерезонансных (или неизвестных как резонансные) рассеянных объектов (серые).

Карта распределения больших полуосей астероидов , показывающая пробелы Кирквуда , где орбиты дестабилизированы резонансами с Юпитером.

Спиральные волны плотности в кольце Сатурна A, возбуждаемые резонансами с внутренними лунами . Такие волны распространяются от планеты (вверху слева). Большой набор волн чуть ниже центра обусловлен резонансом 6:5 с Янусом .

Эксцентричное кольцо Титана ^[2] в щели Коломбо кольца С Сатурна (в центре) и наклонные орбиты резонансных частиц в изгибной волне ^{[3] [4]} непосредственно внутри него имеют апсидальную и узловую прецессии, соответственно, соизмеримые со средним движением Титана .

В общем случае орбитальный резонанс может

• включают в себя один или любую комбинацию параметров орбиты (например, эксцентриситет против большой полуоси или эксцентриситет против наклонения ).
• действуют в любых временных масштабах от краткосрочных, соизмеримых с периодами обращения, до вековых , измеряемых от 10 ⁴ до 10 ⁶ лет.
• привести либо к долговременной стабилизации орбит, либо быть причиной их дестабилизации.

Орбитальный резонанс среднего движения происходит, когда два тела имеют периоды обращения , которые являются простым целочисленным отношением друг к другу. Он зависит не только от существования такого отношения, и, точнее, отношение периодов не является точно рациональным числом, даже усредненным за длительный период. Например, в случае Плутона и Нептуна (см. ниже) истинное уравнение гласит, что средняя скорость изменения равна нулю, где — долгота Плутона, — долгота Нептуна, а — долгота перигелия Плутона . Поскольку скорость движения последнего составляет около ${\displaystyle 3\alpha _{P}-2\alpha _{N}-\varpi _{P}}$ ${\displaystyle \alpha _{P}}$ ${\displaystyle \alpha _{N}}$ ${\displaystyle \varpi _{P}}$0,97 × 10−4 градусов ^в год, соотношение периодов фактически составляет 1,503 в долгосрочной перспективе. ^[5]

В зависимости от деталей, средний орбитальный резонанс может либо стабилизировать, либо дестабилизировать орбиту. Стабилизация может произойти, когда два тела движутся настолько синхронно, что они никогда не сближаются близко. Например:

• Орбиты Плутона и плутино стабильны, несмотря на пересечение орбиты гораздо большего Нептуна , поскольку они находятся с ним в резонансе 2:3. Резонанс гарантирует, что при приближении к перигелию и орбите Нептуна Нептун будет постоянно удален (в среднем на четверть своей орбиты). Другие (гораздо более многочисленные) пересекающие Нептун тела, которые не находились в резонансе, были выброшены из этой области сильными возмущениями, вызванными Нептуном. Существуют также меньшие, но значительные группы резонансных транснептуновых объектов, занимающих резонансы 1:1 ( троянцы Нептуна ), 3:5 , 4:7 , 1:2 ( твитино ) и 2:5 , среди прочих, по отношению к Нептуну.
• В поясе астероидов за пределами 3,5 а.е. от Солнца резонансы 3:2, 4:3 и 1:1 с Юпитером населены скоплениями астероидов ( семейство Хильды , несколько астероидов Туле и многочисленные троянские астероиды соответственно).

Орбитальные резонансы также могут дестабилизировать одну из орбит. Этот процесс можно использовать для поиска энергоэффективных способов схода космических аппаратов с орбиты . ^{[6] [7]} Для малых тел дестабилизация на самом деле гораздо более вероятна. Например:

• В поясе астероидов в пределах 3,5 а.е. от Солнца основные резонансы среднего движения с Юпитером являются местами разрывов в распределении астероидов, разрывами Кирквуда (особенно в резонансах 4:1, 3:1, 5:2, 7:3 и 2:1). Астероиды были выброшены из этих почти пустых полос повторяющимися возмущениями. Однако все еще есть популяции астероидов, временно присутствующих в этих резонансах или вблизи них. Например, астероиды семейства Алинда находятся в резонансе 3:1 или близко к нему, причем их орбитальный эксцентриситет постоянно увеличивается за счет взаимодействий с Юпитером, пока они в конечном итоге не столкнутся с внутренней планетой, которая вытолкнет их из резонанса.
• В кольцах Сатурна щель Кассини представляет собой щель между внутренним кольцом B и внешним кольцом A , которая была очищена резонансом 2:1 со спутником Мимасом . (Более конкретно, местом резонанса является щель Гюйгенса , которая ограничивает внешний край кольца B. )
• В кольцах Сатурна зазоры Энке и Килера в кольце А очищаются резонансами 1:1 с встроенными лунами Паном и Дафнисом соответственно. Внешний край кольца А поддерживается дестабилизирующим резонансом 7:6 с луной Янусом .

Большинство тел, которые находятся в резонансной орбите, вращаются в одном направлении; однако, ретроградный астероид 514107 Каепаокаавела, по-видимому, находится в стабильном (в течение как минимум миллиона лет) резонансе 1:−1 с Юпитером. ^[8] Кроме того, было обнаружено несколько ретроградных дамоклоидов , которые временно захвачены в резонансе среднего движения с Юпитером или Сатурном . ^[9] Такие орбитальные взаимодействия слабее соответствующих взаимодействий между телами, вращающимися в одном направлении. ^{[9] [10]} Транснептуновый объект 2011 KT ₁₉ имеет наклон орбиты 110 ° по отношению к плоскости орбиты планеты и в настоящее время находится в полярном резонансе 7:9 с Нептуном. ^[11]

Резонанс Лапласа — это резонанс трёх тел с соотношением орбитальных периодов 1:2:4 (что эквивалентно соотношению орбит 4:2:1). Термин возник, потому что Пьер-Симон Лаплас обнаружил, что такой резонанс управляет движениями лун Юпитера Ио , Европы и Ганимеда . В настоящее время он также часто применяется к другим резонансам трёх тел с теми же соотношениями, ^[12] например, между экзопланетами Глизе 876 c, b и e. ^{[13] [14] [15]} Резонансы трёх тел, включающие другие простые целочисленные соотношения, были названы «подобными Лапласу» ^[16] или «типа Лапласа». ^[17]

Резонанс Линдблада приводит в движение спиральные волны плотности как в галактиках (где звезды подвергаются воздействию самих спиральных рукавов), так и в кольцах Сатурна (где частицы колец подвергаются воздействию спутников Сатурна ).

Вековой резонанс происходит, когда прецессия двух орбит синхронизирована (обычно прецессия перигелия или восходящего узла ). Небольшое тело, находящееся в вековом резонансе с гораздо большим телом (например, планетой ), будет прецессировать с той же скоростью, что и большое тело. В течение длительного времени (миллиона лет или около того) вековой резонанс изменит эксцентриситет и наклон малого тела.

Несколько ярких примеров векового резонанса связаны с Сатурном. Существует почти резонанс между прецессией оси вращения Сатурна и прецессией орбитальной оси Нептуна (обе имеют периоды около 1,87 миллиона лет), который был идентифицирован как вероятный источник большого осевого наклона Сатурна (26,7°). ^{[18] [19] [20]} Первоначально Сатурн, вероятно, имел наклон, близкий к наклону Юпитера (3,1°). Постепенное истощение пояса Койпера должно было уменьшить скорость прецессии орбиты Нептуна; в конечном итоге частоты совпали, и осевая прецессия Сатурна была захвачена в спин-орбитальный резонанс, что привело к увеличению наклона Сатурна. (Угловой момент орбиты Нептуна в 10 ⁴ раз больше скорости вращения Сатурна, и, таким образом, доминирует во взаимодействии.) Однако, похоже, резонанс больше не существует. Подробный анализ данных с космического аппарата Кассини дает значение момента инерции Сатурна, которое находится за пределами диапазона существования резонанса, что означает, что ось вращения не остается в фазе с наклоном орбиты Нептуна в долгосрочной перспективе, как это, по-видимому, было в прошлом. Одна из теорий, объясняющих, почему резонанс закончился, заключается в том, что вокруг Сатурна была еще одна луна, орбита которой дестабилизировалась около 100 миллионов лет назад, что возмутило Сатурн. ^{[21] [22]}

Перигелийный вековой резонанс между астероидами и Сатурном ( ν ₆ = g − g ₆ ) помогает формировать пояс астероидов (индекс «6» определяет Сатурн как шестую планету от Солнца). Астероиды, которые приближаются к нему, имеют медленно увеличивающийся эксцентриситет, пока они не становятся Марс-кроссерами , в этот момент они обычно выбрасываются из пояса астероидов близким проходом к Марсу . Этот резонанс формирует внутренние и «боковые» границы пояса астероидов около 2 а. е . и с наклоном около 20°.

Численное моделирование показало, что возможное формирование векового резонанса перигелия между Меркурием и Юпитером ( g ₁ = g ₅ ) может значительно увеличить эксцентриситет Меркурия и, возможно, дестабилизировать внутреннюю часть Солнечной системы через несколько миллиардов лет. ^{[23] [24]}

Кольцо Титана в кольце Сатурна C представляет собой другой тип резонанса, в котором скорость прецессии апсид одной орбиты точно соответствует скорости вращения другой. Внешний конец этого эксцентричного кольца всегда указывает на главную луну Сатурна Титан . ^[2]

Резонанс Козаи возникает, когда наклон и эксцентриситет возмущенной орбиты синхронно колеблются (увеличение эксцентриситета при уменьшении наклона и наоборот). Этот резонанс применим только к телам на сильно наклоненных орбитах; как следствие, такие орбиты, как правило, нестабильны, поскольку растущий эксцентриситет приведет к малым перицентрам , что обычно приводит к столкновению или (для больших лун) разрушению приливными силами .

В качестве примера другого типа резонанса, связанного с эксцентриситетом орбиты, можно привести эксцентриситеты Ганимеда и Каллисто, которые изменяются с общим периодом в 181 год, хотя и с противоположными фазами. ^[25]

Резонансы среднего движения в Солнечной системе

Изображение предполагаемого резонанса Хаумеа 7:12 с Нептуном во вращающейся рамке , где Нептун (синяя точка внизу справа) неподвижен. Смещающееся орбитальное выравнивание Хаумеа относительно Нептуна периодически меняется на противоположное ( либрирует ), сохраняя резонанс.

В Солнечной системе известно лишь несколько резонансов среднего движения (РСП), в которых участвуют планеты, карликовые планеты или более крупные спутники (гораздо большее число связано с астероидами , планетарными кольцами , лунами и более мелкими объектами пояса Койпера , включая множество возможных карликовых планет ).

• 2:3 Плутон – Нептун (также Оркус и другие плутиносы )
• 2:4 Тетис – Мимас (спутники Сатурна). Не упрощено, поскольку необходимо учитывать либрацию узлов.
• 1:2 Диона – Энцелад (спутники Сатурна)
• 3:4 Гиперион – Титан (спутники Сатурна)
• 1:2:4 Ганимед – Европа – Ио (спутники Юпитера, соотношение орбит ).

Кроме того, считается , что Хаумеа находится в резонансе 7:12 с Нептуном, ^{[26] [27]} а Гунгун , как полагают, находится в резонансе 3:10 с Нептуном. ^[28]

Простые целочисленные соотношения между периодами скрывают более сложные соотношения:

• точка соединения может колебаться ( либрировать ) вокруг точки равновесия, определяемой резонансом.
• При ненулевых эксцентриситетах узлы или периапсиды могут дрейфовать (резонансный, короткий период, а не вековая прецессия) .

В качестве иллюстрации последнего рассмотрим известный резонанс 2:1 Ио-Европа. Если бы периоды обращения были в таком отношении, то средние движения (обратные периодам, часто выражаемые в градусах в день) удовлетворяли бы следующему ${\displaystyle n\,\!}$

${\displaystyle n_{\rm {Io}}-2\cdot n_{\rm {Eu}}=0}$

Подставляя данные (из Википедии), получим −0,7395° день ⁻¹ , значение, существенно отличающееся от нуля.

На самом деле резонанс идеальный , но он также включает в себя прецессию перийовия ( ближайшей к Юпитеру точки), . Правильное уравнение (часть уравнений Лапласа) имеет вид: ${\displaystyle {\dot {\omega }}}$

${\displaystyle n_{\rm {Io}}-2\cdot n_{\rm {Eu}}+{\dot {\omega }}_{\rm {Io}}=0}$

Другими словами, среднее движение Ио действительно вдвое больше, чем у Европы, принимая во внимание прецессию перийовия. Наблюдатель, сидящий на (дрейфующем) перийовии, увидит, что луны соединяются в одном и том же месте (элонгация). Другие пары, перечисленные выше, удовлетворяют тому же типу уравнения, за исключением резонанса Мимаса-Тетии. В этом случае резонанс удовлетворяет уравнению

${\displaystyle 4\cdot n_{\rm {Te}}-2\cdot n_{\rm {Mi}}-{\dot {\Omega }}_{\rm {Te}}-{\dot {\Omega }}_{\rm {Mi}}=0}$

Точка соединения вращается вокруг средней точки между узлами двух лун.

Лапласовский резонанс

Иллюстрация резонанса Ио–Европа–Ганимед. От центра наружу: Ио (желтый), Европа (серый) и Ганимед (темный)

Резонанс Лапласа с участием Ио–Европы–Ганимеда включает следующее соотношение, фиксирующее орбитальную фазу лун:

${\displaystyle \Phi _{L}=\lambda _{\rm {Io}}-3\cdot \lambda _{\rm {Eu}}+2\cdot \lambda _{\rm {Ga}}=180^{\circ }}$

где — средние долготы лун (второй знак равенства игнорирует либрацию). ${\displaystyle \lambda }$

Это соотношение делает тройное соединение невозможным. (Лапласовский резонанс в системе Gliese 876 , напротив, связан с одним тройным соединением на орбиту самой внешней планеты, игнорируя либрацию.) График иллюстрирует положения лун после 1, 2 и 3 периодов Ио. либрирует примерно на 180° с амплитудой 0,03°. ^[29] ${\displaystyle \Phi _{L}}$

Другой «лапласоподобный» резонанс касается лун Плутона Стикс , Никс и Гидры : ^[16]

${\displaystyle \Phi =3\cdot \lambda _{\rm {S}}-5\cdot \lambda _{\rm {N}}+2\cdot \lambda _{\rm {H}}=180^{\circ }}$

Это отражает орбитальные периоды для Стикса, Никс и Гидры, соответственно, которые близки к соотношению 18:22:33 (или, в терминах близких резонансов с периодом Харона, 3+3/11:4:6; см. ниже); соответствующее соотношение орбит составляет 11:9:6. На основе соотношений синодических периодов , существует 5 соединений Стикса и Гидры и 3 соединения Никс и Гидры на каждые 2 соединения Стикса и Никс. ^{[16] [30]} Как и в случае с галилеевым спутниковым резонансом, тройные соединения запрещены. либрирует около 180° с амплитудой не менее 10°. ^[16] ${\displaystyle \Phi }$

Резонансы Плутино

Карликовая планета Плутон следует по орбите, запертой в паутине резонансов с Нептуном . Резонансы включают в себя:

• Средний резонанс движения 2:3
• Резонанс перигелия ( либрация около 90°), удерживающий перигелий выше эклиптики
• Резонанс долготы перигелия по отношению к долготе Нептуна

Одним из последствий этих резонансов является то, что разделение по крайней мере в 30 а. е. сохраняется, когда Плутон пересекает орбиту Нептуна. Минимальное разделение между двумя телами в целом составляет 17 а. е., в то время как минимальное разделение между Плутоном и Ураном составляет всего 11 а. е. ^[31] (см. Орбиту Плутона для подробного объяснения и графиков).

Следующее по величине тело в похожем резонансе 2:3 с Нептуном, называемое плутино , является вероятной карликовой планетой Оркус . Оркус имеет орбиту, похожую по наклону и эксцентриситету на орбиту Плутона. Однако, эти два тела ограничены их взаимным резонансом с Нептуном, чтобы всегда находиться в противоположных фазах своих орбит; Оркус, таким образом, иногда описывается как «анти-Плутон». ^[32]

Изображение резонанса между лунами Нептуна Наядой (орбитальное движение которой показано красным) и Талассой , в виде, который вращается вместе с последней.

Наяда:Таласса 73:69 резонанс

Самая внутренняя луна Нептуна, Наяда , находится в резонансе четвертого порядка 73:69 со следующей внешней луной, Талассой . Вращаясь вокруг Нептуна, более наклоненная Наяда последовательно проходит мимо Талассой дважды сверху и затем дважды снизу, в цикле, который повторяется каждые ~21,5 земных дня. Две луны находятся на расстоянии около 3540 км друг от друга, когда они проходят мимо друг друга. Хотя их орбитальные радиусы отличаются всего на 1850 км, Наяда колеблется на ~2800 км выше или ниже орбитальной плоскости Талассой при самом близком сближении. Как это обычно бывает, этот резонанс стабилизирует орбиты, максимизируя разделение при соединении, но это необычно для роли, которую играет наклон орбиты в содействии этому избеганию в случае, когда эксцентриситеты минимальны. ^{[33] [34] [примечание 1]}

Резонансы среднего движения среди внесолнечных планет

Резонансная планетная система из двух планет с соотношением орбит 1:2

Хотя большинство обнаруженных внесолнечных планетных систем не имеют планет в резонансах среднего движения, были обнаружены цепочки из пяти резонансных планет ^[36] и по крайней мере до семи околорезонансных планет ^{[37] . Моделирование показало, что во время} формирования планетной системы появление резонансных цепей планетарных эмбрионов благоприятствует наличию первичного газового диска . После того, как этот газ рассеивается, 90–95% этих цепей должны стать нестабильными, чтобы соответствовать низкой частоте наблюдаемых резонансных цепей. ^[38]

• Как упоминалось выше, Gliese 876 e, b и c находятся в резонансе Лапласа с соотношением периодов 4:2:1 (124,3, 61,1 и 30,0 дней). ^{[13] [39] [40]} В этом случае либрирует с амплитудой 40° ± 13°, а резонанс следует усредненному по времени соотношению: ^[13] ${\displaystyle \Phi _{L}}$

${\displaystyle \Phi _{L}=\lambda _{\rm {c}}-3\cdot \lambda _{\rm {d}}+2\cdot \lambda _{\rm {e}}=0^{\circ }}$

• Kepler-223 имеет четыре планеты в резонансе с соотношением орбит 8:6:4:3 и соотношением периодов 3:4:6:8 (7,3845, 9,8456, 14,7887 и 19,7257 дней). ^{[41] [42] [43] [44]} Это представляет собой первый подтвержденный орбитальный резонанс 4 тел. ^[45] Либрации в этой системе таковы, что близкие встречи между двумя планетами происходят только тогда, когда другие планеты находятся в отдаленных частях своих орбит. Моделирование показывает, что эта система резонансов должна была образоваться посредством планетарной миграции . ^[44]
• Kepler-80 d, e, b, c и g имеют периоды в соотношении ~ 1,000: 1,512: 2,296: 3,100: 4,767 (3,0722, 4,6449, 7,0525, 9,5236 и 14,6456 дней). Однако в системе отсчета, которая вращается вместе с соединениями, это уменьшается до соотношения периодов 4:6:9:12:18 (соотношение орбит 9:6:4:3:2). Соединения d и e, e и b, b и c, и c и g происходят с относительными интервалами 2:3:6:6 (9,07, 13,61 и 27,21 дня) в паттерне, который повторяется примерно каждые 190,5 дней (семь полных циклов во вращающейся системе отсчета) в инерциальной или невращающейся системе отсчета (эквивалентно резонансу с отношением орбит 62:41:27:20:13 в невращающейся системе отсчета, поскольку соединения циркулируют в направлении, противоположном орбитальному движению). Либрации возможных трехчастичных резонансов имеют амплитуды всего около 3 градусов, и моделирование показывает, что резонансная система устойчива к возмущениям. Тройные соединения не происходят. ^{[46] [36]}
• TOI-178 имеет 6 подтвержденных планет, из которых внешние 5 планет образуют похожую резонансную цепь во вращающейся системе отсчета, которая может быть выражена как 2:4:6:9:12 в соотношениях периодов или как 18:9:6:4:3 в соотношениях орбит. Кроме того, самая внутренняя планета b с периодом 1,91d вращается по орбите близко к тому месту, где она также была бы частью той же цепи резонанса Лапласа, поскольку резонанс 3:5 с планетой c был бы выполнен при периоде ~1,95d, что подразумевает, что она могла бы эволюционировать там, но была выведена из резонанса, возможно, приливными силами. ^[47]
• Семь планет TRAPPIST-1 размером с Землю находятся в цепочке близких резонансов (самая длинная из известных цепочек), имея орбитальное отношение приблизительно 24, 15, 9, 6, 4, 3 и 2, или отношения периодов ближайших соседей (исходящих наружу) приблизительно 8/5, 5/3, 3/2, 3/2, 4/3 и 3/2 (1,603, 1,672, 1,506, 1,509, 1,342 и 1,519). Они также сконфигурированы таким образом, что каждая тройка соседних планет находится в резонансе Лапласа (т. е. b, c и d в одной такой конфигурации Лапласа; c, d и e в другой и т. д.). ^{[48] [37]} Ожидается, что резонансная конфигурация будет стабильной в масштабе времени миллиардов лет, если предположить, что она возникла во время планетарной миграции. ^{[49] [50]} Была предоставлена ​​музыкальная интерпретация резонанса. ^[50]
• У Kepler-29 есть пара планет в резонансе 7:9 (соотношение 1/1,28587). ^[43]
• У Kepler-36 есть пара планет, близких к резонансу 6:7. ^[51]
• Kepler-37 d, c и b находятся в пределах одного процента от резонанса с соотношением орбит 8:15:24 и соотношением периодов 15:8:5 (39,792187, 21,301886 и 13,367308 дней). ^[52]
• Из восьми известных планет Kepler-90 , соотношения периодов b:c, c:i и i:d близки к 4:5, 3:5 и 1:4 соответственно (4:4,977, 3:4,97 и 1:4,13), а d, e, f, g и h близки к соотношению периодов 2:3:4:7:11 (2: 3,078: 4,182: 7,051: 11,102; также 7: 11,021). ^{[53] [36]} f, g и h также близки к соотношению периодов 3:5:8 (3: 5,058: 7,964). ^[54] Относительно систем, подобных этой и Kepler-36 , расчеты показывают, что присутствие внешней газовой планеты-гиганта способствует образованию плотно упакованных резонансов среди внутренних суперземель. ^[55]
• HD 41248 имеет пару суперземель в пределах 0,3% от резонанса 5:7 (соотношение 1/1,39718). ^[56]
• K2-138 имеет 5 подтвержденных планет в непрерывной цепочке резонансов около 3:2 (с периодами 2,353, 3,560, 5,405, 8,261 и 12,758 дней). Система была обнаружена в рамках гражданского научного проекта Exoplanet Explorers с использованием данных K2. ^[57] K2-138 может содержать коорбитальные тела (в резонансе среднего движения 1:1). ^[58] Резонансные цепочечные системы могут стабилизировать коорбитальные тела ^[59] , и специальный анализ кривой блеска K2 и лучевой скорости от HARPS может их выявить. ^[58] Последующие наблюдения с помощью космического телескопа Spitzer предполагают, что шестая планета продолжает цепочку резонансов 3:2, оставляя при этом два пробела в цепочке (ее период составляет 41,97 дня). Эти пробелы могут быть заполнены меньшими нетранзиторными планетами. ^{[60] [61]} Будущие наблюдения с помощью CHEOPS позволят измерить изменения времени транзита системы для дальнейшего анализа массы планет и потенциально могут обнаружить другие планетарные тела в системе. ^[62]
• K2-32 имеет четыре планеты в резонансе около 1:2:5:7 (с периодами 4,34, 8,99, 20,66 и 31,71 дня). Планета e имеет радиус, почти идентичный радиусу Земли. Другие планеты имеют размер между Нептуном и Сатурном. ^[63]
• V1298 Tauri имеет четыре подтвержденных планеты, из которых планеты c, d и b находятся вблизи резонанса 1:2:3 (с периодами 8,25, 12,40 и 24,14 дней). Планета e показывает только один транзит в кривой блеска K2 и имеет период больше 36 дней. Планета e может находиться в резонансе низкого порядка (2:3, 3:5, 1:2 или 1:3) с планетой b. Система очень молодая (23±4 млн лет ) и может быть предшественником компактной многопланетной системы. Резонанс 2:3 предполагает, что некоторые близкие планеты могут либо образовываться в резонансах, либо эволюционировать в них за время менее 10 млн лет. Планеты в системе имеют размер между Нептуном и Сатурном. Только планета b имеет размер, аналогичный Юпитеру. ^[64]
• HD 158259 содержит четыре планеты в цепочке около резонанса 3:2 (с периодами 3,432, 5,198, 7,954 и 12,03 дня или отношениями периодов 1,51, 1,53 и 1,51 соответственно), с возможной пятой планетой также около резонанса 3:2 (с периодом 17,4 дня). Экзопланеты были обнаружены с помощью эшельского спектрографа SOPHIE , с использованием метода лучевых скоростей . ^[65]
• Kepler-1649 содержит две планеты размером с Землю, близкие к резонансу 9:4 (с периодами 19,53527 и 8,689099 дней или отношением периодов 2,24825), включая одну ( "c" ) в обитаемой зоне. Необнаруженная планета с периодом 13,0 дней создала бы цепочку резонансов 3:2. ^[66]
• Kepler-88 имеет пару внутренних планет, близких к резонансу 1:2 (соотношение периодов 2,0396), с соотношением масс ~22,5, что приводит к очень большим изменениям времени транзита ~0,5 дня для самой внутренней планеты. Существует еще более массивная внешняя планета на орбите ~1400 дней. ^[67]
• HD 110067 имеет шесть известных планет в резонансном соотношении 54:36:24:16:12:9. ^[68]

Случаи внесолнечных планет, близких к резонансу среднего движения 1:2, довольно распространены. Сообщается, что шестнадцать процентов систем, найденных транзитным методом, имеют пример этого (с отношениями периодов в диапазоне 1,83–2,18), ^[43] , а также одна шестая планетных систем, охарактеризованных с помощью доплеровской спектроскопии (с в этом случае более узким диапазоном отношений периодов). ^[69] Из-за неполного знания систем фактические пропорции, вероятно, будут выше. ^[43] В целом, около трети систем, характеризующихся лучевой скоростью, по-видимому, имеют пару планет, близкую к соизмеримости . ^{[43] [69]} Гораздо более распространено, когда пары планет имеют отношения орбитальных периодов на несколько процентов больше, чем отношение резонанса среднего движения, чем на несколько процентов меньше (особенно в случае резонансов первого порядка, в которых целые числа в отношении отличаются на единицу). ^[43] Было предсказано, что это верно в случаях, когда приливные взаимодействия со звездой значительны. ^[70]

Совпадающие «близкие» отношения среднего движения

Изображение астероида Паллада 18:7 вблизи резонанса с Юпитером во вращающейся рамке ( кликните для анимации ). Юпитер (розовая петля вверху слева) удерживается почти неподвижным. Смещение орбитального выравнивания Паллады относительно Юпитера неуклонно увеличивается со временем; он никогда не меняет курс (т. е. либрации нет).

Изображение Земли : Венера 8:13 около резонанса. При неподвижной Земле в центре невращающейся системы отсчета последовательные нижние соединения Венеры в течение восьми земных лет вычерчивают пентаграммный узор (отражающий разницу между числами в соотношении).

Схема орбит малых внешних четырех лун Плутона , которые следуют последовательности 3:4:5:6 близких резонансов относительно периода его большого внутреннего спутника Харона . Луны Стикс, Никс и Гидра также вовлечены в настоящий резонанс трех тел.

Иногда указывается ряд близких к целочисленным отношениям соотношений между орбитальными частотами планет или основных лун (см. список ниже). Однако они не имеют динамического значения, поскольку нет соответствующей прецессии перигелия или другой либрации, чтобы сделать резонанс идеальным (см. подробное обсуждение в разделе выше). Такие близкие резонансы динамически незначительны, даже если несоответствие довольно мало, поскольку (в отличие от истинного резонанса) после каждого цикла относительное положение тел смещается. При усреднении по астрономически коротким временным масштабам их относительное положение является случайным, как и у тел, которые далеки от резонанса. Например, рассмотрим орбиты Земли и Венеры, которые приходят почти к одинаковой конфигурации после 8 оборотов Земли и 13 оборотов Венеры. Фактическое отношение составляет 0,61518624, что всего на 0,032% отличается от точного значения 8:13. Несоответствие после 8 лет составляет всего 1,5° орбитального движения Венеры. Тем не менее, этого достаточно, чтобы Венера и Земля оказывались в противоположной относительной ориентации к исходной каждые 120 таких циклов, что составляет 960 лет. Таким образом, в масштабах времени в тысячи лет или больше (все еще крошечных по астрономическим меркам) их относительное положение фактически случайно.

Наличие близкого к идеальному резонансу может свидетельствовать о том, что в прошлом существовал идеальный резонанс или что система движется к нему в будущем.

Некоторые совпадения орбитальных частот включают в себя:

1. Несоответствие орбитальной долготы внутреннего тела по сравнению с его положением в начале цикла (цикл определяется как n орбит внешнего тела – см. ниже). Предполагается круговая орбита (т.е. прецессия игнорируется).
2. Время рандомизации — это количество времени, необходимое для того, чтобы несоответствие начальных относительных продольных орбитальных положений тел выросло до 180°. Указанное число округляется до ближайшей первой значащей цифры .
3. Оценочная вероятность получения случайного совпадения орбит с равным или меньшим несоответствием, по крайней мере один раз из n попыток, где n — целое число орбит внешнего тела за цикл, а несоответствие предполагается случайным образом изменяющимся в пределах от 0° до 180°. Значение вычисляется как 1 − ( 1 − ⁠ несоответствие /180°⁠ ) ^​​n . Это грубый расчет, который лишь пытается дать приблизительное представление об относительных вероятностях.
4. Меньше — лучше: чем меньше вероятность возникновения явно резонансной связи как простого случайного выравнивания случайных чисел, тем более правдоподобным является предположение о том, что гравитационное взаимодействие вызывает сохранение связи или продлевает ее/задерживает ее окончательное разрушение другими разрушительными возмущениями.
5. Две близкие сопоставимости, перечисленные для Земли и Венеры, отражены в сроках транзитов Венеры , которые происходят парами с интервалом в 8 лет в цикле, который повторяется каждые 243 года. ^{[71] [73]}
6. Близкий к 1:12 резонанс между Юпитером и Землей имеет случайный побочный эффект, заключающийся в том, что астероиды Алинда , которые занимают (или близки) резонанс 3:1 с Юпитером, оказываются близкими к резонансу 1:4 с Землей.
7. Давно известный ближний резонанс между Юпитером и Сатурном традиционно называется Великим Неравенством . Впервые он был описан Лапласом в серии статей, опубликованных в 1784–1789 годах.
8. Резонансы с ныне исчезнувшей внутренней луной, вероятно, были вовлечены в формирование Фобоса и Деймоса. ^[74]
9. На основе собственных орбитальных периодов , 1684,869 и 1681,601 дня, для Паллады и Цереры соответственно.
10. На основе «правильного» орбитального периода Паллады, 1684,869 дня, и 4332,59 дня для Юпитера.
11. 87 Сильвия — первый астероид, у которого обнаружено более одной луны.
12. Этот резонанс мог быть занят в прошлом. ^[79]
13. Некоторые определения кентавров требуют, чтобы они не были резонансными.
14. Этот резонанс мог быть занят в прошлом. ^[81]
15. Этот резонанс мог быть занят в прошлом. ^[82]
16. Результаты для системы Хаумеа не очень значимы, поскольку, вопреки предположениям, подразумеваемым в расчетах, Намака имеет эксцентричную, некеплеровскую орбиту, которая быстро прецессирует (см. ниже). Хииака и Намака гораздо ближе к резонансу 3:8, чем указано, и могут фактически находиться в нем. ^[87]

Наименее вероятная орбитальная корреляция в списке (то есть связь, которая, по всей вероятности, не является просто случайной) — это связь между Ио и Метидой, за ней следуют связи между Розалиндой и Корделией, Палладой и Церерой, Юпитером и Палладой, Каллисто и Ганимедом, а также Гидрой и Хароном соответственно.

Возможные прошлые резонансы среднего движения

Прошлый резонанс между Юпитером и Сатурном мог сыграть драматическую роль в ранней истории Солнечной системы. Компьютерная модель 2004 года Алессандро Морбиделли из Обсерватории Лазурного берега в Ницце предположила образование резонанса 1:2 между Юпитером и Сатурном из-за взаимодействия с планетезималями , которое заставило их мигрировать внутрь и наружу соответственно. В модели это создало гравитационный толчок, который вытолкнул и Уран, и Нептун на более высокие орбиты, а в некоторых сценариях заставило их поменяться местами, что удвоило бы расстояние Нептуна от Солнца. Результирующее выталкивание объектов из прото-пояса Койпера по мере того, как Нептун двигался наружу, могло бы объяснить позднюю тяжелую бомбардировку через 600 миллионов лет после образования Солнечной системы и происхождение троянских астероидов Юпитера . ^[88] Внешняя миграция Нептуна могла бы также объяснить нынешнюю занятость некоторых его резонансов (в частности, резонанса 2:5) в пределах пояса Койпера.

Хотя средние по размеру луны Сатурна Диона и Тефия сейчас не близки к точному резонансу, они могли находиться в резонансе 2:3 в начале истории Солнечной системы. Это могло привести к орбитальному эксцентриситету и приливному нагреву , которые могли достаточно нагреть внутреннюю часть Тефии, чтобы сформировать подповерхностный океан. Последующее замерзание океана после того, как луны вышли из резонанса, могло сгенерировать растяжение, которое создало огромную систему грабенов Итака-Чазма на Тефии. ^[79]

Спутниковая система Урана заметно отличается от систем Юпитера и Сатурна тем, что у нее отсутствуют точные резонансы между более крупными лунами, в то время как большинство крупных лун Юпитера (3 из 4 крупнейших) и Сатурна (6 из 8 крупнейших) находятся в резонансах среднего движения. Во всех трех спутниковых системах луны, вероятно, были захвачены в резонансы среднего движения в прошлом, поскольку их орбиты смещались из-за приливной диссипации , процесса, при котором спутники получают орбитальную энергию за счет энергии вращения первичной звезды, непропорционально влияя на внутренние луны. Однако в системе Урана из-за меньшей степени сжатия планеты и большего относительного размера ее спутников выход из резонанса среднего движения намного проще. Более низкая сплющенность первичной звезды изменяет ее гравитационное поле таким образом, что различные возможные резонансы располагаются ближе друг к другу. Больший относительный размер спутника увеличивает силу их взаимодействия. Оба фактора приводят к более хаотичному орбитальному поведению в резонансах среднего движения или около них. Выход из резонанса может быть связан с захватом во вторичный резонанс и/или увеличением орбитального эксцентриситета или наклона , вызванным приливной эволюцией .

Резонансы среднего движения, которые, вероятно, когда-то существовали в системе Урана, включают (3:5) Ариэль-Миранда, (1:3) Умбриэль-Миранда, (3:5) Умбриэль-Ариэль и (1:4) Титания-Ариэль. ^{[82] [81]} Доказательства таких прошлых резонансов включают относительно высокие эксцентриситеты орбит внутренних спутников Урана и аномально высокое наклонение орбиты Миранды. Высокие прошлые эксцентриситеты орбит, связанные с резонансами (1:3) Умбриэль-Миранда и (1:4) Титания-Ариэль, могли привести к приливному нагреву недр Миранды и Ариэля, ^[89] соответственно. Миранда, вероятно, вышла из резонанса с Умбриэлем посредством вторичного резонанса, и механизм этого выхода, как полагают, объясняет, почему ее орбитальный наклон более чем в 10 раз превышает наклон других обычных лун Урана (см. Естественные спутники Урана ). ^{[90] [91]}

Подобно случаю Миранды, нынешние наклоны спутников Юпитера Амальтеи и Фивы считаются признаками прошлого прохождения через резонансы 3:1 и 4:2 с Ио соответственно. ^[92]

Считается, что регулярные луны Нептуна Протей и Ларисса прошли через резонанс 1:2 несколько сотен миллионов лет назад; с тех пор луны отдалились друг от друга, потому что Протей находится вне синхронной орбиты , а Ларисса — внутри нее. Считается, что прохождение через резонанс возбудило эксцентриситеты обеих лун до такой степени, что с тех пор они не были полностью погашены. ^{[83] [84]}

В случае спутников Плутона было высказано предположение, что нынешние ближние резонансы являются реликтами предыдущего точного резонанса, который был нарушен приливным затуханием эксцентриситета орбиты Харона (подробнее см. в разделе Естественные спутники Плутона ). Ближние резонансы могут поддерживаться 15% локальной флуктуацией в гравитационном поле Плутона-Харона. Таким образом, эти ближние резонансы могут быть неслучайными.

Меньшая внутренняя луна карликовой планеты Хаумеа , Намака , составляет одну десятую массы большей внешней луны, Хииака . Намака вращается вокруг Хаумеа за 18 дней по эксцентричной, некеплеровской орбите и по состоянию на 2008 год наклонена на 13° от Хииаки. ^[87] В масштабах времени системы она должна была быть приливно затухающей в более круговую орбиту. Похоже, что она была нарушена резонансами с более массивной Хииакой из-за сходящихся орбит, когда она двигалась наружу от Хаумеа из-за приливной диссипации. Луны могли быть захвачены, а затем выходить из орбитального резонанса несколько раз. Вероятно, они прошли через резонанс 3:1 относительно недавно и в настоящее время находятся в резонансе 8:3 или, по крайней мере, близки к нему. Орбита Намаки сильно возмущена , с текущей прецессией около −6,5° в год. ^[87]

Смотрите также

• 1685 Торо , астероид в резонансе 5:8 с Землей
• 3753 Круитни , астероид, находящийся в резонансе с Землей 1:1.
• Арнольд язык
• Соизмеримость (астрономия)
• Закон Дермотта
• Подковообразная орбита , за которой следует объект в другом типе резонанса 1:1
• резонанс Козаи
• Точки Лагранжа
• Меркурий , имеющий спин-орбитальный резонанс 3:2
• Musica universalis («музыка сфер»)
• Резонансное взаимодействие
• Резонансный транснептуновый объект
• Приливная блокировка
• Приливной резонанс
• Закон Тициуса-Боде
• Оператор трансфера
• Троян (небесное тело) , ​​тело в резонансе 1:1
• Венера , период соединения которой с Землей (584 земных дня) близок к 5 солнечным суткам (116,75 дня)

Примечания

1. Природа этого резонанса (игнорируя тонкости, такие как либрация и прецессия) может быть грубо получена из орбитальных периодов следующим образом. Согласно Showalter et al. , 2019, ^[35] периоды Наяды (Pn) и Таласса (Pt) составляют 0,294396 и 0,311484 дня соответственно. Из них период между соединениями можно рассчитать как 5,366 дня (1/[1/Pn – 1/Pt]), что составляет 18,23 (≈ 18,25) орбит Наяды и 17,23 (≈ 17,25) орбит Таласса. Таким образом, после четырех периодов соединения истекает 73 орбиты Наяды и 69 орбит Таласса, и исходная конфигурация будет восстановлена.

Ссылки

1. "Генеральная Ассамблея IAU 2006: Резолюции 5 и 6" (PDF) . IAU. 24 августа 2006 г. . Получено 23 июня 2009 г. .
2. Porco, C. ; Nicholson, PD ; Borderies, N.; Danielson, GE; Goldreich, P. ; Holdberg, JB; Lane, AL (1984). "Эксцентричные сатурнианские колечки на 1,29R _s и 1,45R _s ". Icarus . 60 (1): 1–16. Bibcode :1984Icar...60....1P. doi :10.1016/0019-1035(84)90134-9.
3. Rosen, PA; Lissauer, JJ (1988). "Узловая изгибная волна Titan −1:0 в кольце Сатурна C". Science . 241 (4866): 690–694. Bibcode :1988Sci...241..690R. doi :10.1126/science.241.4866.690. PMID  17839081. S2CID  32938282.
4. Чакрабарти, SK; Бхаттачарья, A. (2001). "Ограничения на параметры кольца C Сатурна при резонансе Титана -1:0". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 326 (2): L23. Bibcode : 2001MNRAS.326L..23C. doi : 10.1046/j.1365-8711.2001.04813.x .
5. Уильямс, Джеймс Г.; Бенсон, Г.С. (1971). «Резонансы в системе Нептун-Плутон». Astronomical Journal . 76 : 167. Bibcode : 1971AJ.....76..167W. doi : 10.1086/111100 . S2CID  120122522.
6. Witze, A. (5 сентября 2018 г.). «Попытка решить проблему космического мусора на Земле». Nature . 561 (7721): 24–26. Bibcode :2018Natur.561...24W. doi : 10.1038/d41586-018-06170-1 . PMID  30185967.
7. Daquin, J.; Rosengren, AJ; Alessi, EM; Deleflie, F.; Valsecchi, GB; Rossi, A. (2016). «Динамическая структура региона MEO: долгосрочная стабильность, хаос и транспорт». Небесная механика и динамическая астрономия . 124 (4): 335–366. arXiv : 1507.06170 . Bibcode : 2016CeMDA.124..335D. doi : 10.1007/s10569-015-9665-9. S2CID  119183742.
8. Wiegert, P.; Connors, M.; Veillet, C. (30 марта 2017 г.). «Ретроградный соорбитальный астероид Юпитера». Nature . 543 (7647): 687–689. Bibcode :2017Natur.543..687W. doi :10.1038/nature22029. PMID  28358083. S2CID  205255113.
9. Morais, MHM; Namouni, F. (21 сентября 2013 г.). «Астероиды в ретроградном резонансе с Юпитером и Сатурном». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society Letters . 436 (1): L30–L34. arXiv : 1308.0216 . Bibcode : 2013MNRAS.436L..30M. doi : 10.1093/mnrasl/slt106 . S2CID  119263066.
10. Мораис, Мария Елена Морейра; Намуни, Фатхи (12 октября 2013 г.). «Ретроградный резонанс в плоской задаче трех тел». Небесная механика и динамическая астрономия . 117 (4): 405–421. arXiv : 1305.0016 . Bibcode :2013CeMDA.117..405M. doi :10.1007/s10569-013-9519-2. ISSN  1572-9478. S2CID  254379849.
11. Мораис, МХМ; Номуни, Ф. (2017). «Первый транснептуновый объект в полярном резонансе с Нептуном». Письма. Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 472 (1): L1–L4. arXiv : 1708.00346 . Bibcode :2017MNRAS.472L...1M. doi : 10.1093/mnrasl/slx125 .
12. Barnes, R. (2011). «Резонанс Лапласа». В Gargaud, M. (ред.). Энциклопедия астробиологии . Springer Science+Business Media . стр. 905–906. doi :10.1007/978-3-642-11274-4_864. ISBN 978-3-642-11271-3.
13. Rivera, EJ; Laughlin, G.; Butler, RP; Vogt, SS; Haghighipour, N.; Meschiari, S. (2010). «Обзор экзопланет Лика-Карнеги: четвертая планета с массой Урана для GJ 876 в экстрасолнечной конфигурации Лапласа». The Astrophysical Journal . 719 (1): 890–899. arXiv : 1006.4244 . Bibcode :2010ApJ...719..890R. doi :10.1088/0004-637X/719/1/890. S2CID  118707953.
14. Nelson, BE; Robertson, PM; Payne, MJ; Pritchard, SM; Deck, KM; Ford, EB; Wright, JT; Isaacson, HT (2015). «Эмпирически полученный трехмерный резонанс Лапласа в планетной системе Gliese 876». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 455 (3): 2484–2499. arXiv : 1504.07995 . doi : 10.1093/mnras/stv2367 .
15. Marti, JG; Giuppone, CA; Beauge, C. (2013). «Динамический анализ резонанса Лапласа Gliese-876». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 433 (2): 928–934. arXiv : 1305.6768 . Bibcode : 2013MNRAS.433..928M. doi : 10.1093/mnras/stt765 . S2CID  118643833.
16. Шоуолтер, MR ; Гамильтон, DP (2015). «Резонансные взаимодействия и хаотическое вращение малых лун Плутона». Nature . 522 (7554): 45–49. Bibcode :2015Natur.522...45S. doi :10.1038/nature14469. PMID  26040889. S2CID  205243819.
17. Мюррей, CD; Дермотт, SF (1999). Динамика солнечной системы. Cambridge University Press . стр. 17. ISBN 978-0-521-57597-3.
18. Beatty, JK (23 июля 2003 г.). «Почему Сатурн пьян?». Sky & Telescope . Архивировано из оригинала 3 сентября 2009 г. Получено 25 февраля 2009 г.
19. Уорд, У. Р.; Гамильтон, Д. П. (2004). «Наклон Сатурна. I. Аналитическая модель». The Astronomical Journal . 128 (5): 2501–2509. Bibcode : 2004AJ....128.2501W. doi : 10.1086/424533 .
20. Гамильтон, DP; Уорд, WR (2004). «Наклон Сатурна. II. Численная модель». The Astronomical Journal . 128 (5): 2510–2517. Bibcode : 2004AJ....128.2510H. doi : 10.1086/424534. S2CID  33083447.
21. Марьям Эль Мутамид (15 сентября 2022 г.). «Как Сатурн получил свой наклон и свои кольца». Science . 377 (6612): 1264–1265. Bibcode :2022Sci...377.1264E. doi :10.1126/science.abq3184. PMID  36108002. S2CID  252309068.
22. Джек Уиздом и др. (15 сентября 2022 г.). «Потеря спутника могла бы объяснить наклон Сатурна и молодые кольца». Science . 377 (6612): 1285–1289. Bibcode :2022Sci...377.1285W. doi :10.1126/science.abn1234. hdl : 1721.1/148216 . PMID  36107998. S2CID  252310492.
23. Ласкар, Дж. (2008). «Хаотическая диффузия в Солнечной системе». Icarus . 196 (1): 1–15. arXiv : 0802.3371 . Bibcode :2008Icar..196....1L. doi :10.1016/j.icarus.2008.02.017. S2CID  11586168.
24. Ласкар, Дж.; Гастино, М. (2009). «Существование траекторий столкновения Меркурия, Марса и Венеры с Землей». Nature . 459 (7248): 817–819. Bibcode :2009Natur.459..817L. doi :10.1038/nature08096. PMID  19516336. S2CID  4416436.
25. Мусотто, С.; Варад, Ф.; Мур, В.; Шуберт, Г. (2002). «Численное моделирование орбит галилеевых спутников». Икар . 159 (2): 500–504. Бибкод : 2002Icar..159..500M. дои : 10.1006/icar.2002.6939.
26. Браун, ME ; Баркуме, KM; Рагоццин, D.; Шаллер, EL (2007). «Столкновительное семейство ледяных объектов в поясе Койпера» (PDF) . Nature . 446 (7133): 294–296. Bibcode : 2007Natur.446..294B. doi : 10.1038/nature05619. PMID  17361177. S2CID  4430027.
27. Ragozzine, D.; Brown, ME (2007). «Кандидаты в члены и оценка возраста семейства объектов пояса Койпера 2003 EL61». The Astronomical Journal . 134 (6): 2160–2167. arXiv : 0709.0328 . Bibcode : 2007AJ....134.2160R. doi : 10.1086/522334. S2CID  8387493.
28. Buie, MW (24 октября 2011 г.). "Orbit Fit and Astrometric record for 225088". SwRI (Space Science Department) . Получено 14 ноября 2014 г.
29. Синклер, AT (1975). «Орбитальный резонанс среди галилеевых спутников Юпитера». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 171 (1): 59–72. Bibcode : 1975MNRAS.171...59S. doi : 10.1093/mnras/171.1.59 .
30. Witze, A. (3 июня 2015 г.). «Спутники Плутона движутся синхронно». Nature News . doi :10.1038/nature.2015.17681. S2CID  134519717.
31. Малхотра, Р. (1997). "Орбита Плутона" . Получено 26 марта 2007 г.
32. Браун, ME (23 марта 2009 г.). «S/2005 (90482) 1 нуждается в вашей помощи». Планеты Майка Брауна . Получено 25 марта 2009 г.
33. "NASA обнаружило, что спутники Нептуна заперты в "танце избегания"". Jet Propulsion Laboratory . 14 ноября 2019 г. Получено 15 ноября 2019 г.
34. Brozović, M.; Showalter, MR; Jacobson, RA; French, RS; Lissauer, JJ; de Pater, I. (31 октября 2019 г.). «Орбиты и резонансы регулярных спутников Нептуна». Icarus . 338 (2): 113462. arXiv : 1910.13612 . Bibcode :2020Icar..33813462B. doi :10.1016/j.icarus.2019.113462. S2CID  204960799.
35. Showalter, MR; de Pater, I.; Lissauer, JJ; French, RS (2019). «Седьмая внутренняя луна Нептуна» (PDF) . Nature . 566 (7744): 350–353. Bibcode :2019Natur.566..350S. doi :10.1038/s41586-019-0909-9. PMC 6424524 . PMID  30787452. 
36. Shale, CJ; Vanderburg, A. (2017). "Identifying Exoplanets With Deep Learning: A Five Planet Resonant Chain Around Kepler-80 And An Eighth Planet Around Kepler-90" (PDF) . The Astrophysical Journal . 155 (2): 94. arXiv : 1712.05044 . Bibcode :2018AJ....155...94S. doi : 10.3847/1538-3881/aa9e09 . S2CID  4535051 . Получено 15 декабря 2017 г. .
37. Люгер, Р.; Шестович, М.; Крузе, Э.; Гримм, СЛ; Демори, Б.-О.; Агол, Э.; Болмонт, Э.; Фабрики, Д.; Фернандес, CS; Ван Гроотель, В.; Бургассер, А.; Гиллон, М.; Ингаллс, Дж. Г.; Джехин, Э.; Раймонд, С.Н.; Селсис, Ф.; Трио, AHMJ; Барклай, Т.; Баренцен, Г.; Дельрес, Л.; де Вит, Дж.; Форман-Макки, Д.; Холдсворт, ДЛ; Леконт, Дж.; Ледерер, С.; Тюрбет, М.; Алмлики, Ю.; Бенхалдун, З.; Магейн, П.; Моррис, Б. (22 мая 2017 г.). "Резонансная цепь из семи планет в TRAPPIST-1". Nature Astronomy . 1 (6): 0129. arXiv : 1703.04166 . Bibcode : 2017NatAs...1E.129L. doi : 10.1038/s41550-017-0129. S2CID  54770728.
38. Izidoro, A.; Ogihara, M.; Raymond, SN; Morbidelli, A.; Pierens, A.; Bitsch, B.; Cossou, C.; Hersant, F. (2017). «Разрыв цепей: горячие суперземельные системы от миграции и разрушения компактных резонансных цепей». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 470 (2): 1750–1770. arXiv : 1703.03634 . Bibcode : 2017MNRAS.470.1750I. doi : 10.1093/mnras/stx1232 . S2CID  119493483.
39. Лафлин, Г. (23 июня 2010 г.). «Второй резонанс Лапласа». Системный: Характеристика планет . Архивировано из оригинала 29 декабря 2013 г. Получено 30 июня 2015 г.
40. Марси, Ge. W.; Батлер, RP; Фишер, D.; Фогт, SS; Лиссауэр, JJ; Ривера, EJ (2001). "Пара резонансных планет, вращающихся вокруг GJ 876". The Astrophysical Journal . 556 (1): 296–301. Bibcode :2001ApJ...556..296M. doi : 10.1086/321552 .
41. "Планета Кеплер-223 b". Энциклопедия внесолнечных планет . Архивировано из оригинала 22 января 2018 года . Получено 21 января 2018 года .
42. Битти, К. (5 марта 2011 г.). «Кеплер находит планеты в тесном танце». Sky and Telescope . Получено 16 октября 2012 г.
43. Лиссауэр, Дж. Дж .; и др. (2011). «Архитектура и динамика систем транзитных планет Кеплера-кандидата». Серия приложений к астрофизическому журналу . 197 (1): 1–26. arXiv : 1102.0543 . Bibcode : 2011ApJS..197....8L. doi : 10.1088/0067-0049/197/1/8. S2CID  43095783.
44. Mills, SM; Fabrycky, DC; Migaszewski, C.; Ford, EB; Petigura, E.; Isaacson, H. (11 мая 2016 г.). «Резонансная цепочка из четырех транзитных планет, расположенных ниже Нептуна». Nature . 533 (7604): 509–512. arXiv : 1612.07376 . Bibcode :2016Natur.533..509M. doi :10.1038/nature17445. PMID  27225123. S2CID  205248546.
45. Коппес, С. (17 мая 2016 г.). «Система Кеплер-223: ключи к планетарной миграции». Лаборатория реактивного движения . Получено 18 мая 2016 г.
46. MacDonald, MG; Ragozzine, D.; Fabrycky, DC; Ford, EB; Holman, MJ; Isaacson, HT; Lissauer, JJ; Lopez, ED; Mazeh, T. (1 января 2016 г.). "Динамический анализ системы Kepler-80 из пяти транзитных планет". The Astronomical Journal . 152 (4): 105. arXiv : 1607.07540 . Bibcode : 2016AJ....152..105M. doi : 10.3847/0004-6256/152/4/105 . S2CID  119265122.
47. Лелеу, А.; Альберт, Ю.; Хара, Северная Каролина; Хутон, MJ; Уилсон, Т.Г.; Робутель, П.; Делиль, Ж.-Б.; Ласкар, Дж.; Хойер, С.; Ловис, К.; Брайант, EM; Дюкро, Э.; Кабрера, Дж.; Дельрес, Л.; Эктон, Дж.С.; Адибекян В.; Алларт, Р.; Прието, Альенде; Алонсо, Р.; Алвес, Д.; и др. (20 января 2021 г.). «Шесть транзитных планет и цепочка резонансов Лапласа в ТОИ-178». Астрономия и астрофизика . 649 : А26. arXiv : 2101.09260 . Бибкод : 2021A&A...649A..26L. doi : 10.1051/0004-6361/202039767. ISSN  0004-6361. S2CID  231693292.
48. Gillon, M.; Triaud, AHMJ; Demory, B.-O.; Jehin, E.; Agol, E.; Deck, KM; Lederer, SM; de Wit, J.; Burdanov, A. (22 февраля 2017 г.). "Семь умеренных планет земного типа вокруг близлежащей ультрахолодной карликовой звезды TRAPPIST-1". Nature . 542 (7642): 456–460. arXiv : 1703.01424 . Bibcode :2017Natur.542..456G. doi :10.1038/nature21360. PMC 5330437 . PMID  28230125. 
49. Тамайо, Д.; Рейн, Х.; Петрович, К.; Мюррей, Н. (10 мая 2017 г.). «Конвергентная миграция делает TRAPPIST-1 долгоживущим». The Astrophysical Journal . 840 (2): L19. arXiv : 1704.02957 . Bibcode : 2017ApJ...840L..19T. doi : 10.3847/2041-8213/aa70ea . S2CID  119336960.
50. Chang, K. (10 мая 2017 г.). «Гармония, которая удерживает 7 миров размером с Землю от столкновения» Trappist-1. The New York Times . Получено 26 июня 2017 г.
51. Carter, JA; Agol, E.; Chaplin, WJ; et al. (21 июня 2012 г.). «Kepler-36: пара планет с соседними орбитами и разной плотностью». Science . 337 (6094): 556–559. arXiv : 1206.4718 . Bibcode :2012Sci...337..556C. doi :10.1126/science.1223269. PMID  22722249. S2CID  40245894.
52. Barclay, T.; et al. (2013). «Экзопланета размером с Меркурий». Nature . 494 (7438): 452–454. arXiv : 1305.5587 . Bibcode :2013Natur.494..452B. doi :10.1038/nature11914. PMID  23426260. S2CID  205232792.

    • И Баркли, Томас; и др. (2013). «Erratum: Экзопланета размером с Меркурий». Nature . 496 (7444): 252. Bibcode :2013Natur.496..252B. doi : 10.1038/nature12067 .

53. Lissauer, JJ; Marcy, GW; Bryson, ST; Rowe, JF; Jontof-Hutter, D.; Agol, E.; Borucki, WJ; Carter, JA; Ford, EB; Gilliland, RL; Kolbl, R.; Star, KM; Steffen, JH; Torres, G. (25 февраля 2014 г.). "Проверка кандидатов в множественные планеты Кеплера. II: уточненная статистическая структура и описания систем особого интереса". The Astrophysical Journal . 784 (1): 44. arXiv : 1402.6352 . Bibcode :2014ApJ...784...44L. doi :10.1088/0004-637X/784/1/44. S2CID  119108651.
54. Кабрера, Дж.; Чизмадиа, Ш.; Леманн, Х.; Дворак, Р.; Гандольфи, Д.; Рауэр, Х.; Эриксон, А.; Дрейер, К.; Эйгмюллер, Ф.; Хацес, А. (31 декабря 2013 г.). "Планетная система KIC 11442793: компактный аналог Солнечной системы". The Astrophysical Journal . 781 (1): 18. arXiv : 1310.6248 . Bibcode :2014ApJ...781...18C. doi :10.1088/0004-637X/781/1/18. S2CID  118875825.
55. Hands, TO; Alexander, RD (13 января 2016 г.). «Там могут быть гиганты: невидимые планеты с массой Юпитера как скульпторы плотно упакованных планетных систем». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 456 (4): 4121–4127. arXiv : 1512.02649 . Bibcode : 2016MNRAS.456.4121H. doi : 10.1093/mnras/stv2897 . S2CID  55175754.
56. Дженкинс, Дж. С.; Туоми, М.; Брассер, Р.; Иванюк, О.; Мургас, Ф. (2013). «Две суперземли, вращающиеся вокруг солнечного аналога HD 41248 на грани резонанса среднего движения 7:5». The Astrophysical Journal . 771 (1): 41. arXiv : 1304.7374 . Bibcode :2013ApJ...771...41J. doi :10.1088/0004-637X/771/1/41. S2CID  14827197.
57. Кристиансен, Джесси Л.; Кроссфилд, Ян Дж. М.; Баренцен, Г.; Линтотт, К. Дж.; Барклай, Т.; Симмонс, Б. Д.; Петигура, Э.; Шлидер, Дж. Э.; Дрессинг, К. Д.; Вандербург, А.; Аллен, К. (11 января 2018 г.). «Система K2-138: почти резонансная цепочка из пяти субнептуновых планет, обнаруженных гражданскими учеными». The Astronomical Journal . 155 (2): 57. arXiv : 1801.03874 . Bibcode :2018AJ....155...57C. doi : 10.3847/1538-3881/aa9be0 . S2CID  52971376.
58. Лопес, Т.А.; Баррос, SCC; Сантерн, А.; Делей, М.; Адибекян В.; Альменара, Ж.-М.; Армстронг, диджей; Брюггер, Б.; Баррадо, Д.; Бэйлисс, Д.; Бойсе, И.; Бономо, AS; Буши, Ф.; Браун, DJA; Карли, Э.; Деманжон, О.; Дюмуск, X.; Диас, РФ; Фариа, Япония; Фигейра, П.; Фокселл, Э.; Джайлз, Х.; Эбрар, Г.; Ходжатпанах, С.; Кирк, Дж.; Лилло-Бокс, Дж.; Ловис, К.; Мусис, О.; да Нобрега, HJ; Нильсен, Л.Д.; Нил, Джей-Джей; Осборн, HP; Пепе, Ф.; Поллакко, Д.; Сантос, NC; Соуза, SG; Удри, S.; Виган, A.; Уитли, PJ (1 ноября 2019 г.). «Характеристика экзопланет в самой длинной известной резонансной цепи: система K2-138, наблюдаемая HARPS». Астрономия и астрофизика . 631 : A90. arXiv : 1909.13527 . Bibcode :2019A&A...631A..90L. doi :10.1051/0004-6361/201936267. S2CID  203593804.
59. Leleu, Adrien; Coleman, Gavin AL; Ataiee, S. (1 ноября 2019 г.). «Устойчивость коорбитального резонанса при диссипации – применение к его эволюции в протопланетных дисках». Astronomy & Astrophysics . 631 : A6. arXiv : 1901.07640 . Bibcode :2019A&A...631A...6L. doi :10.1051/0004-6361/201834486. S2CID  219840769.
60. "Схема системы K2-138". jpl.nasa.gov . Получено 20 ноября 2019 г. .
61. Хардегри-Ульман, К.; Кристиансен, Дж. (январь 2019 г.). «K2-138 g: Spitzer Spots a Sixth Sub-Neptune for the Citizen Science System». Тезисы заседания Американского астрономического общества № 233. 233 : 164.07. Bibcode : 2019AAS...23316407H.
62. "Программы AO-1 – Программа гостевых наблюдателей CHEOPS – Космос". cosmos.esa.int . Получено 20 ноября 2019 г.
63. Хеллер, Рене; Роденбек, Кай; Хиппке, Михаэль (1 мая 2019 г.). «Transit least-squares survey – I. Discovery and validation of an Earth-sized planet in the four-planet system K2-32 near the 1:2:5:7 frequency response». Астрономия и астрофизика . 625 : A31. arXiv : 1904.00651 . Bibcode : 2019A&A...625A..31H. doi : 10.1051/0004-6361/201935276. ISSN  0004-6361. S2CID  90259349.
64. Дэвид, Тревор Дж.; Петигура, Эрик А.; Люгер, Родриго; Форман-Макки, Дэниел; Ливингстон, Джон Х.; Мамаек, Эрик Э.; Хилленбранд, Линн А. (29 октября 2019 г.). "Четыре новорожденные планеты, проходящие через молодой солнечный аналог V1298 Tau". The Astrophysical Journal . 885 (1): L12. arXiv : 1910.04563 . Bibcode : 2019ApJ...885L..12D. doi : 10.3847/2041-8213/ab4c99 . ISSN  2041-8213. S2CID  204008446.
65. Hara, NC; Bouchy, F.; Stalport, M.; Boisse, I.; Rodrigues, J.; Delisle, J.-B.; Santerne, A.; Henry, GW; Arnold, L.; Astudillo-Defru, N.; Borgniet, S. (2020). "Поиск северных экзопланет с помощью SOPHIE. XVII. Компактная планетная система в цепочке резонансов со средним движением около 3:2". Astronomy & Astrophysics . 636 : L6. arXiv : 1911.13296 . Bibcode :2020A&A...636L...6H. doi :10.1051/0004-6361/201937254. S2CID  208512859.
66. Вандербург, А.; Роуден, П.; Брайсон, С.; Кофлин, Дж.; Баталья, Н.; Коллинз, КА; Латам, Д.У.; Маллалли, С.Э.; Колон, К.Д.; Хенце, К.; Хуан, CX; Куинн, СН (2020). «Планета размером с Землю, обитаемая в зоне, спасена от ложноположительного статуса». The Astrophysical Journal . 893 (1): L27. arXiv : 2004.06725 . Bibcode :2020ApJ...893L..27V. doi : 10.3847/2041-8213/ab84e5 . S2CID  215768850.
67. Weiss, LM; Fabrycky, DC; Agol, E.; Mills, SM; Howard, AW; Isaacson, H.; Petigura, EA; Fulton, B.; Hirsch, L.; Sinukoff, E. (2020). «Открытие долгопериодической эксцентричной планеты Kepler-88 d и характеристика системы с помощью радиальных скоростей и фотодинамического анализа» (PDF) . The Astronomical Journal . 159 (5): 242. arXiv : 1909.02427 . Bibcode :2020AJ....159..242W. doi : 10.3847/1538-3881/ab88ca . S2CID  202539420.
68. Клесман, Элисон (29 ноября 2023 г.). «„Шокирован и восхищен“: астрономы обнаружили шесть планет, вращающихся в резонансе». Журнал Astronomy . Получено 23 декабря 2023 г.
69. Wright, JT; Fakhouri, O.; Marcy, GW; Han, E.; Feng, Y.; Johnson, JA; Howard, AW; Fischer, DA; Valenti, JA; Anderson, J.; Piskunov, N. (2011). "База данных орбит экзопланет". Publications of the Astronomical Society of the Pacific . 123 (902): 412–42. arXiv : 1012.5676 . Bibcode : 2011PASP..123..412W. doi : 10.1086/659427. S2CID  51769219.
70. Terquem, C.; Papaloizou, JCB (2007). «Миграция и формирование систем горячих суперземель и нептунов». The Astrophysical Journal . 654 (2): 1110–1120. arXiv : astro-ph/0609779 . Bibcode : 2007ApJ...654.1110T. doi : 10.1086/509497. S2CID  14034512.
71. Langford, PM (12 марта 2012 г.). "Прохождения Венеры". Астрономическое общество Нормандского острова Гернси. Архивировано из оригинала 11 января 2012 г. Получено 15 января 2016 г.
72. Bazsó, A.; Eybl, V.; Dvorak, R.; Pilat-Lohinger, E.; Lhotka, C. (2010). «Обзор резонансов околосреднего движения между Венерой и Землей». Небесная механика и динамическая астрономия . 107 (1): 63–76. arXiv : 0911.2357 . Bibcode :2010CeMDA.107...63B. doi :10.1007/s10569-010-9266-6. S2CID  117795811.
73. Shortt, D. (22 мая 2012 г.). "Некоторые подробности о транзитах Венеры". Планетарное общество . Получено 22 мая 2012 г.
74. Розенблатт, П.; Чарноз, С.; Дансит, КМ; Терао-Дансит, М.; Трин, А.; Хёдо, Р.; и др. (4 июля 2016 г.). «Аккреция Фобоса и Деймоса в расширенный диск обломков, перемешиваемый переходными лунами» (PDF) . Природа Геонауки . 9 (8): 581–583. Бибкод : 2016NatGe...9..581R. дои : 10.1038/ngeo2742. S2CID  133174714.
75. Гоффин, Э. (2001). «Новое определение массы Паллады». Астрономия и астрофизика . 365 (3): 627–630. Bibcode :2001A&A...365..627G. doi : 10.1051/0004-6361:20000023 .
76. Kovacevic, AB (2012). «Определение массы Цереры на основе наиболее гравитационно эффективных близких сближений». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 419 (3): 2725–2736. arXiv : 1109.6455 . Bibcode : 2012MNRAS.419.2725K. doi : 10.1111/j.1365-2966.2011.19919.x .
77. Тейлор, ДБ (1982). «Вековое движение Паллады». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 199 (2): 255–265. Bibcode : 1982MNRAS.199..255T. doi : 10.1093/mnras/199.2.255 .
78. Goldreich, P. (1965). «Объяснение частого появления соизмеримых средних движений в солнечной системе». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 130 (3): 159–181. Bibcode : 1965MNRAS.130..159G. doi : 10.1093/mnras/130.3.159 .
79. Chen, EMA; Nimmo, F. (2008). "Thermal and Orbital Evolution of Tethys as Constrained by Surface Observations" (PDF) . Lunar and Planetary Science XXXIX . Lunar and Planetary Institute . #1968 . Получено 14 марта 2008 г. .
80. Мюррей, CD; Томпсон, RP (1990). «Орбиты спутников-пастухов, выведенные из структуры колец Урана». Nature . 348 (6301): 499–502. Bibcode :1990Natur.348..499M. doi :10.1038/348499a0. S2CID  4320268.
81. Tittemore, WC; Wisdom, J. (1990). "Приливная эволюция спутников Урана: III. Эволюция через соизмеримости среднего движения Миранда-Умбриэль 3:1, Миранда-Ариэль 5:3 и Ариэль-Умбриэль 2:1". Icarus . 85 (2): 394–443. Bibcode :1990Icar...85..394T. doi :10.1016/0019-1035(90)90125-S. hdl : 1721.1/57632 .
82. Tittemore, WC; Wisdom, J. (1988). «Приливная эволюция спутников Урана I. Прохождение Ариэля и Умбриэля через соизмеримость среднего движения 5:3». Icarus . 74 (2): 172–230. Bibcode :1988Icar...74..172T. doi :10.1016/0019-1035(88)90038-3. hdl : 1721.1/57632 .
83. Zhang, K.; Hamilton, DP (2007). «Орбитальные резонансы во внутренней системе Нептуна: I. Резонанс среднего движения 2:1 Протея–Ларисы». Icarus . 188 (2): 386–399. Bibcode :2007Icar..188..386Z. doi :10.1016/j.icarus.2006.12.002.
84. Zhang, K.; Hamilton, DP (2008). «Орбитальные резонансы во внутренней системе Нептуна: II. Резонансная история Протея, Лариссы, Галатеи и Деспины». Icarus . 193 (1): 267–282. Bibcode :2008Icar..193..267Z. doi :10.1016/j.icarus.2007.08.024.
85. Matson, J. (11 июля 2012 г.). «Новая луна Плутона: телескоп Хаббл обнаружил пятый спутник Плутона». Scientific American . Получено 12 июля 2012 г.
86. Ward, WR; Canup, RM (2006). «Вынужденная резонансная миграция внешних спутников Плутона Хароном». Science . 313 (5790): 1107–1109. Bibcode :2006Sci...313.1107W. doi :10.1126/science.1127293. PMID  16825533. S2CID  36703085.
87. Ragozzine, D.; Brown, ME (2009). "Орбиты и массы спутников карликовой планеты Хаумеа = 2003 EL ₆₁ ". The Astronomical Journal . 137 (6): 4766–4776. arXiv : 0903.4213 . Bibcode : 2009AJ....137.4766R. doi : 10.1088/0004-6256/137/6/4766. S2CID  15310444.
88. Хансен, К. (7 июня 2004 г.). "Орбитальная перетасовка для ранней солнечной системы". Geotimes . Получено 26 августа 2007 г.
89. Tittemore, WC (1990). «Приливное нагревание Ариэля». Icarus . 87 (1): 110–139. Bibcode :1990Icar...87..110T. doi :10.1016/0019-1035(90)90024-4.
90. Tittemore, WC; Wisdom, J. (1989). «Приливная эволюция спутников Урана II. Объяснение аномально высокого наклонения орбиты Миранды» (PDF) . Icarus . 78 (1): 63–89. Bibcode :1989Icar...78...63T. doi :10.1016/0019-1035(89)90070-5. hdl : 1721.1/57632 .
91. Малхотра, Р.; Дермотт, С. Ф. (1990). «Роль вторичных резонансов в орбитальной истории Миранды». Icarus . 85 (2): 444–480. Bibcode :1990Icar...85..444M. doi : 10.1016/0019-1035(90)90126-T .
92. Бернс, JA; Симонелли, DP; Шоуолтер, MR; Гамильтон, DP; Порко, Кэролин C.; Эспозито, LW; Труп, H. (2004). "Система кольца-луны Юпитера" (PDF) . В Багенал, Фрэн; Доулинг, Тимоти Э.; МакКиннон, Уильям Б. (ред.). Юпитер: планета, спутники и магнитосфера. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-03545-3.

• Мюррей, CD; Дермотт, SF (1999). Динамика солнечной системы . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57597-3.
• Малхотра, Рену; Холман, Мэтью; Ито, Такаши (23 октября 2001 г.). «Орбитальные резонансы и хаос в Солнечной системе». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 98 (22): 12342–12343. doi :10.1073/pnas.231384098. PMC  60054. PMID  11606772 .
• Малхотра, Рену (1995). «Происхождение орбиты Плутона: последствия для Солнечной системы за пределами Нептуна». The Astronomical Journal . 110 : 420. arXiv : astro-ph/9504036 . Bibcode : 1995AJ....110..420M. doi : 10.1086/117532. S2CID  10622344.
• Lemaître, A. (2010). "Резонансы: модели и захваты". В Souchay, J.; Dvorak, R. (ред.). Динамика малых тел Солнечной системы и экзопланет . Конспект лекций по физике. Том 790. Springer . С. 1–62. doi :10.1007/978-3-642-04458-8. ISBN 978-3-642-04457-1.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Орбитальный резонанс на Wikimedia Commons