Старая квантовая теория

Предшественник современной квантовой механики (1900–1925)

Старая квантовая теория представляет собой набор результатов 1900–1925 годов ^[1], которые предшествовали современной квантовой механике . Теория никогда не была полной или самосогласованной, а вместо этого представляла собой набор эвристических поправок к классической механике . ^[2] Теория стала пониматься как полуклассическое приближение ^[3] к современной квантовой механике. ^[4] Главными и окончательными достижениями старой квантовой теории были определение современной формы периодической таблицы Эдмундом Стоунером и принцип исключения Паули , оба из которых были основаны на усовершенствованиях Арнольда Зоммерфельда к модели атома Бора . ^{[5] [6]}

Основным инструментом старой квантовой теории было условие квантования Бора–Зоммерфельда — процедура выбора определенных разрешенных состояний классической системы: тогда система может существовать только в одном из разрешенных состояний и не может существовать ни в каком другом состоянии.

История

Старая квантовая теория была инициирована работой Макса Планка 1900 года об излучении и поглощении света в черном теле , с открытием им закона Планка, вводящего его квант действия , и начала серьезно развиваться после того, как работа Альберта Эйнштейна об удельной теплоте твердых тел в 1907 году привлекла к нему внимание Вальтера Нернста . ^[7] Эйнштейн, а затем Дебай , применили квантовые принципы к движению атомов, объяснив аномалию удельной теплоты .

В 1910 году Артур Эрих Хаас продолжил развивать атомную модель Дж. Дж. Томсона в статье ^[8] , в которой изложил подход к атому водорода, включающий квантование электронных орбиталей, тем самым предвосхитив модель Бора (1913) на три года.

Джон Уильям Николсон известен как первый создатель атомной модели, которая квантовала угловой момент как h/2π. ^{[9] [10]} Нильс Бор цитировал его в своей статье 1913 года о модели атома Бора. ^[11]

В 1913 году Нильс Бор продемонстрировал зачатки позднее определенного принципа соответствия и использовал его для формулировки модели атома водорода , которая объяснила линейчатый спектр . В последующие несколько лет Арнольд Зоммерфельд распространил квантовое правило на произвольные интегрируемые системы, используя принцип адиабатической инвариантности квантовых чисел, введенный Лоренцем и Эйнштейном. Зоммерфельд внес решающий вклад ^[12], квантовав z-компоненту углового момента , что в старую квантовую эпоху называлось «пространственным квантованием» (нем. Richtungsquantelung ). Эта модель, которая стала известна как модель Бора–Зоммерфельда , позволила орбитам электрона быть эллипсами вместо окружностей и ввела понятие квантового вырождения . Теория правильно объяснила бы эффект Зеемана , если бы не проблема спина электрона . Модель Зоммерфельда была гораздо ближе к современной квантово-механической картине, чем модель Бора.

На протяжении 1910-х и вплоть до 1920-х годов многие проблемы решались с использованием старой квантовой теории с неоднозначными результатами. Были поняты спектры вращения и колебаний молекул, а также был открыт спин электрона, что привело к путанице полуцелых квантовых чисел. Макс Планк ввел энергию нулевой точки , а Арнольд Зоммерфельд полуклассически квантовал релятивистский атом водорода. Хендрик Крамерс объяснил эффект Штарка . Бозе и Эйнштейн дали правильную квантовую статистику для фотонов.

Расширения Зоммерфельда солнечной системы Боровской модели атома водорода 1913 года , показывающие добавление эллиптических орбит для объяснения тонкой структуры спектра. Круговое n=3 соответствует более высокой энергетической орбитали. ^[13] n=3 имеет несколько орбит из-за азимутального квантового числа.

Крамерс дал рецепт для вычисления вероятностей перехода между квантовыми состояниями в терминах Фурье-компонент движения, идеи, которые были расширены в сотрудничестве с Вернером Гейзенбергом до полуклассического матричного описания вероятностей атомных переходов. Гейзенберг продолжил переформулировать всю квантовую теорию в терминах версии этих матриц перехода, создав матричную механику .

В 1924 году Луи де Бройль представил волновую теорию материи, которая была расширена до полуклассического уравнения для волн материи Альбертом Эйнштейном некоторое время спустя. В 1926 году Эрвин Шредингер нашел полностью квантовомеханическое волновое уравнение, которое воспроизвело все успехи старой квантовой теории без двусмысленностей и противоречий. Волновая механика Шредингера развивалась отдельно от матричной механики, пока Шредингер и другие не доказали, что оба метода предсказывают одни и те же экспериментальные следствия. Поль Дирак позже доказал в 1926 году, что оба метода могут быть получены из более общего метода, называемого теорией преобразований .

В 1950-х годах Джозеф Келлер обновил квантование Бора-Зоммерфельда, используя интерпретацию Эйнштейна 1917 года ^[14] , теперь известную как метод Эйнштейна-Бриллюэна-Келлера . В 1971 году Мартин Гуцвиллер учел, что этот метод работает только для интегрируемых систем, и вывел полуклассический способ квантования хаотических систем из интегралов по траекториям . ^[15]

Основные принципы

Основная идея старой квантовой теории заключается в том, что движение в атомной системе квантуется или дискретно. Система подчиняется классической механике, за исключением того, что не каждое движение разрешено, а только те движения, которые подчиняются условию квантования :

${\displaystyle \oint _{H(p,q)=E}p_{i}\,dq_{i}=n_{i}h}$

где — импульсы системы, а — соответствующие координаты. Квантовые числа — целые числа , а интеграл берется за один период движения при постоянной энергии (как описано гамильтонианом ) . Интеграл — это площадь в фазовом пространстве, которая является величиной, называемой действием, и квантуется в единицах (нередуцированной) постоянной Планка . По этой причине постоянную Планка часто называли квантом действия . ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$

Для того, чтобы старое квантовое условие имело смысл, классическое движение должно быть разделимым, то есть должны быть отдельные координаты, в терминах которых движение является периодическим. Периоды различных движений не обязательно должны быть одинаковыми, они могут быть даже несоизмеримыми, но должен быть набор координат, в котором движение распадается многопериодическим образом. ${\displaystyle q_{i}}$

Мотивацией для старого квантового условия был принцип соответствия , дополненный физическим наблюдением, что квантуемые величины должны быть адиабатическими инвариантами . Учитывая правило квантования Планка для гармонического осциллятора, любое условие определяет правильную классическую величину для квантования в общей системе с точностью до аддитивной константы.

Это условие квантования часто известно как правило Вильсона –Зоммерфельда ^[16], предложенное независимо Уильямом Вильсоном ^{[17] и Арнольдом Зоммерфельдом [18]} .

Примеры

Тепловые свойства гармонического осциллятора

Простейшей системой в старой квантовой теории является гармонический осциллятор , гамильтониан которого имеет вид:

${\displaystyle H={p^{2} \over 2m}+{m\omega ^{2}q^{2} \over 2}.}$

Старая квантовая теория дает рецепт квантования уровней энергии гармонического осциллятора, который в сочетании с распределением вероятности Больцмана термодинамики дает правильное выражение для запасенной энергии и удельной теплоты квантового осциллятора как при низких, так и при обычных температурах. Примененное в качестве модели для удельной теплоты твердых тел, это разрешило противоречие в доквантовой термодинамике, которое беспокоило ученых 19 века. Теперь опишем это.

Уровни H — это орбиты, а квантовое условие заключается в том, что площадь, охватываемая орбитой в фазовом пространстве, является целым числом. Из этого следует, что энергия квантуется согласно правилу Планка:

${\displaystyle E=n\hbar \omega ,\,}$

результат, который был известен задолго до этого и использовался для формулировки старого квантового условия. Этот результат отличается на , от результатов, найденных с помощью квантовой механики. Эта константа игнорируется при выводе старой квантовой теории , и ее значение не может быть определено с ее помощью. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega }$

Тепловые свойства квантованного осциллятора можно найти, усредняя энергию в каждом из дискретных состояний, предполагая, что они заняты весом Больцмана :

${\displaystyle U={\sum _{n}\hbar \omega ne^{-\beta n\hbar \omega } \over \sum _{n}e^{-\beta n\hbar \omega }}={\hbar \omega e^{-\beta \hbar \omega } \over 1-e^{-\beta \hbar \omega }},\;\;\;{\rm {where}}\;\;\beta ={\frac {1}{kT}},}$

kT — постоянная Больцмана, умноженная на абсолютную температуру , которая является температурой, измеренной в более естественных единицах энергии. Эта величина более фундаментальна в термодинамике, чем температура, поскольку она представляет собой термодинамический потенциал, связанный с энергией. ${\displaystyle \beta }$

Из этого выражения легко увидеть, что при больших значениях , при очень низких температурах, средняя энергия U в гармоническом осцилляторе стремится к нулю очень быстро, экспоненциально быстро. Причина в том, что kT является типичной энергией случайного движения при температуре T , и когда она меньше , энергии недостаточно, чтобы дать осциллятору хотя бы один квант энергии. Таким образом, осциллятор остается в своем основном состоянии, почти не запасая энергии. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \hbar \omega }$

Это означает, что при очень низких температурах изменение энергии относительно бета, или, что эквивалентно, изменение энергии относительно температуры, также экспоненциально мало. Изменение энергии относительно температуры — это удельная теплоемкость , поэтому удельная теплоемкость экспоненциально мала при низких температурах, стремясь к нулю, как

${\displaystyle \exp(-\hbar \omega /kT)}$

При малых значениях , при высоких температурах, средняя энергия U равна . Это воспроизводит теорему о равнораспределении классической термодинамики: каждый гармонический осциллятор при температуре T имеет в среднем энергию kT . Это означает, что удельная теплоемкость осциллятора постоянна в классической механике и равна  k . Для набора атомов, соединенных пружинами, разумной модели твердого тела, общая удельная теплоемкость равна общему числу осцилляторов, умноженному на  k . Всего имеется три осциллятора для каждого атома, что соответствует трем возможным направлениям независимых колебаний в трех измерениях. Таким образом, удельная теплоемкость классического твердого тела всегда равна 3 k на атом, или в химических единицах, 3 R на моль атомов. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 1/\beta =kT}$

Одноатомные твердые тела при комнатной температуре имеют примерно одинаковую удельную теплоемкость 3 К на атом, но при низких температурах это не так. Удельная теплоемкость меньше при более низких температурах и стремится к нулю при абсолютном нуле. Это справедливо для всех материальных систем, и это наблюдение называется третьим законом термодинамики . Классическая механика не может объяснить третий закон, потому что в классической механике удельная теплоемкость не зависит от температуры.

Это противоречие между классической механикой и удельной теплоемкостью холодных материалов было отмечено Джеймсом Клерком Максвеллом в 19 веке и оставалось глубокой загадкой для тех, кто отстаивал атомную теорию материи. Эйнштейн разрешил эту проблему в 1906 году, предположив, что движение атомов квантуется. Это было первое применение квантовой теории к механическим системам. Немного позже Питер Дебай дал количественную теорию удельной теплоемкости твердых тел в терминах квантованных осцилляторов с различными частотами (см. Твердое тело Эйнштейна и модель Дебая ).

Одномерный потенциал:У= 0

Одномерные задачи решаются легко. При любой энергии E значение импульса p находится из уравнения сохранения:

${\displaystyle {\sqrt {2m(E-U(q))}}={\sqrt {2mE}}=p={\text{const.}}}$

который интегрируется по всем значениям q между классическими точками поворота , местами, где импульс исчезает. Интеграл проще всего для частицы в ящике длиной L , где квантовое условие:

${\displaystyle 2\int _{0}^{L}p\,dq=nh}$

что дает разрешенные импульсы:

${\displaystyle p={nh \over 2L}}$

и энергетические уровни

${\displaystyle E_{n}={p^{2} \over 2m}={n^{2}h^{2} \over 8mL^{2}}}$

Одномерный потенциал:У=Фх

Другой простой случай для решения с помощью старой квантовой теории — линейный потенциал на положительной полупрямой, постоянная ограничивающая сила F, связывающая частицу с непроницаемой стенкой. Этот случай гораздо сложнее в полной квантово-механической обработке, и в отличие от других примеров, полуклассический ответ здесь не точный, а приблизительный, становясь более точным при больших квантовых числах.

${\displaystyle 2\int _{0}^{\frac {E}{F}}{\sqrt {2m(E-Fx)}}\ dx=nh}$

так что квантовое условие

${\displaystyle {4 \over 3}{\sqrt {2m}}{E^{3/2} \over F}=nh}$

который определяет уровни энергии,

${\displaystyle E_{n}=\left({3nhF \over 4{\sqrt {2m}}}\right)^{2/3}}$

В частном случае F=mg частица удерживается гравитационным потенциалом Земли, а «стеной» здесь является поверхность Земли.

Одномерный потенциал:У=.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 ⁄ 2кх2

Этот случай также легко решается, и полуклассический ответ здесь согласуется с квантовым с точностью до энергии основного состояния. Его интеграл условия квантования равен

${\displaystyle 2\int _{-{\sqrt {\frac {2E}{k}}}}^{\sqrt {\frac {2E}{k}}}{\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}kx^{2}\right)}}\ dx=nh}$

с решением

${\displaystyle E=n{\frac {h}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}=n\hbar \omega }$

для угловой частоты колебаний , как и прежде. ${\displaystyle \omega }$

Ротатор

Другая простая система — ротатор. Ротатор состоит из массы M на конце безмассового жесткого стержня длиной R и в двух измерениях имеет лагранжиан:

${\displaystyle L={MR^{2} \over 2}{\dot {\theta }}^{2}}$

что определяет, что угловой момент J сопряжен с , полярным углом , . Старое квантовое условие требует, чтобы J , умноженное на период, было целым кратным постоянной Планка: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle J=MR^{2}{\dot {\theta }}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle 2\pi J=nh}$

момент импульса должен быть целым кратным . В модели Бора этого ограничения, накладываемого на круговые орбиты, было достаточно для определения уровней энергии. ${\displaystyle \hbar }$

В трех измерениях жесткий ротатор может быть описан двумя углами — и , где — наклон относительно произвольно выбранной оси z , а — угол ротатора в проекции на плоскость x – y . Кинетическая энергия снова является единственным вкладом в лагранжиан: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle L={MR^{2} \over 2}{\dot {\theta }}^{2}+{MR^{2} \over 2}(\sin(\theta ){\dot {\phi }})^{2}}$

А сопряженные импульсы равны и . Уравнение движения для тривиально: является константой: ${\displaystyle p_{\theta }={\dot {\theta }}}$ ${\displaystyle p_{\phi }=\sin(\theta )^{2}{\dot {\phi }}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle p_{\phi }}$

${\displaystyle p_{\phi }=l_{\phi }}$

что является z -компонентой углового момента. Квантовое условие требует, чтобы интеграл константы, которая изменяется от 0 до, был целым кратным h : ${\displaystyle l_{\phi }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle l_{\phi }=m\hbar }$

А m называется магнитным квантовым числом , поскольку z -компонента углового момента представляет собой магнитный момент ротатора вдоль направления z в случае, когда частица на конце ротатора заряжена.

Поскольку трехмерный ротатор вращается вокруг оси, полный угловой момент должен быть ограничен таким же образом, как и двумерный ротатор. Два квантовых условия ограничивают полный угловой момент и z -компоненту углового момента целыми числами l , m . Это условие воспроизводится в современной квантовой механике, но в эпоху старой квантовой теории оно приводило к парадоксу: как можно квантовать ориентацию углового момента относительно произвольно выбранной оси z ? Это, по-видимому, выделяет направление в пространстве.

Это явление, квантование момента импульса вокруг оси, получило название квантования пространства , поскольку оно казалось несовместимым с вращательной инвариантностью. В современной квантовой механике момент импульса квантуется таким же образом, но дискретные состояния определенного момента импульса в любой одной ориентации являются квантовыми суперпозициями состояний в других ориентациях, так что процесс квантования не выбирает предпочтительную ось. По этой причине название «квантование пространства» вышло из употребления, и то же явление теперь называется квантованием момента импульса.

Атом водорода

Угловая часть атома водорода — это просто ротатор, который дает квантовые числа l и m . Единственной оставшейся переменной является радиальная координата, которая совершает периодическое одномерное потенциальное движение, которое можно решить.

Для фиксированного значения полного углового момента L гамильтониан для классической задачи Кеплера имеет вид (единица массы и единица энергии переопределены для поглощения двух констант):

${\displaystyle H={p_{r}^{2} \over 2}+{l^{2} \over 2r^{2}}-{1 \over r}.}$

Зафиксировав энергию как (отрицательную) константу и решив уравнение для радиального импульса , интеграл квантового условия будет иметь вид: ${\displaystyle p_{r}}$

${\displaystyle \oint {\sqrt {2E-{l^{2} \over r^{2}}+{2 \over r}}}\ dr=kh}$

которое может быть решено методом вычетов, ^[12] и дает новое квантовое число , которое определяет энергию в сочетании с . Энергия равна: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle E=-{1 \over 2(k+l)^{2}}}$

и это зависит только от суммы k и l , которая является главным квантовым числом n . Поскольку k положительно, допустимые значения l для любого заданного n не больше n . Энергии воспроизводят те, что в модели Бора, за исключением правильных квантово-механических множественностей, с некоторой неоднозначностью в крайних значениях.

Волны де Бройля

В 1905 году Эйнштейн заметил, что энтропия квантованных осцилляторов электромагнитного поля в ящике для короткой длины волны равна энтропии газа точечных частиц в том же ящике. Количество точечных частиц равно количеству квантов. Эйнштейн пришел к выводу, что кванты можно рассматривать так, как если бы они были локализуемыми объектами (см. ^[19] стр. 139/140), частицами света. Сегодня мы называем их фотонами (название, придуманное Гилбертом Н. Льюисом в письме в Nature . ^{[20] [21] [22]} )

Теоретический аргумент Эйнштейна основывался на термодинамике , на подсчете числа состояний, и поэтому не был полностью убедительным. Тем не менее, он пришел к выводу, что свет имеет свойства как волн, так и частиц , точнее, что электромагнитная стоячая волна с частотой с квантованной энергией: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle E=n\hbar \omega \,}$

следует рассматривать как состоящую из n фотонов, каждый из которых имеет энергию . Эйнштейн не мог описать, как фотоны связаны с волной. ${\displaystyle \hbar \omega }$

Фотоны имеют импульс, а также энергию, и импульс должен быть равен где - волновое число электромагнитной волны. Этого требует теория относительности, поскольку импульс и энергия образуют четырехвектор , как и частота и волновое число. ${\displaystyle \hbar k}$ ${\displaystyle k}$

В 1924 году, будучи кандидатом в доктора наук, Луи де Бройль предложил новую интерпретацию квантового состояния. Он предположил, что вся материя, электроны и фотоны, описываются волнами, подчиняющимися соотношениям.

${\displaystyle p=\hbar k}$

или, выражаясь через длину волны , ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle p={h \over \lambda }}$

Затем он отметил, что квантовое состояние:

${\displaystyle \int p\,dx=\hbar \int k\,dx=2\pi \hbar n}$

подсчитывает изменение фазы волны по мере ее движения по классической орбите и требует, чтобы оно было целым числом, кратным . Выраженное в длинах волн, число длин волн вдоль классической орбиты должно быть целым числом. Это условие конструктивной интерференции, и оно объясняет причину квантованных орбит — волны материи создают стоячие волны только на дискретных частотах, при дискретных энергиях. ${\displaystyle 2\pi }$

Например, для частицы, заключенной в ящик, стоячая волна должна укладываться в целое число длин волн между удвоенным расстоянием между стенками. Условие становится:

${\displaystyle n\lambda =2L}$

так что квантованные импульсы равны:

${\displaystyle p={\frac {nh}{2L}}}$

воспроизводящие старые квантовые уровни энергии.

Это развитие получило более математическую форму благодаря Эйнштейну, который заметил, что фазовая функция для волн, , в механической системе должна быть отождествлена ​​с решением уравнения Гамильтона-Якоби , уравнения, которое Уильям Роуэн Гамильтон считал коротковолновым пределом своего рода волновой механики в 19 веке. Затем Шредингер нашел надлежащее волновое уравнение, которое соответствовало уравнению Гамильтона-Якоби для фазы; теперь оно известно как уравнение Шредингера . ${\displaystyle \theta (J,x)}$

Матрица перехода Крамерса

Старая квантовая теория была сформулирована только для специальных механических систем, которые можно было разделить на переменные угла действия, которые были периодическими. Она не имела дела с испусканием и поглощением излучения. Тем не менее, Хендрик Крамерс смог найти эвристики для описания того, как следует рассчитывать испускание и поглощение.

Крамерс предположил, что орбиты квантовой системы следует анализировать с помощью Фурье, разлагая их на гармоники, кратные частоте орбиты:

${\displaystyle X_{n}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ik\omega t}X_{n;k}}$

Индекс n описывает квантовые числа орбиты, в модели Зоммерфельда это будет n – l – m . Частота – это угловая частота орбиты , а k – индекс для моды Фурье. Бор предположил, что k -я гармоника классического движения соответствует переходу с уровня n на уровень n − k . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle 2\pi /T_{n}}$

Крамерс предположил, что переход между состояниями аналогичен классическому излучению, которое происходит на частотах, кратных частотам орбиты. Скорость излучения пропорциональна , как это было бы в классической механике. Описание было приблизительным, поскольку компоненты Фурье не имели частот, которые бы точно соответствовали энергетическим интервалам между уровнями. ${\displaystyle |X_{k}|^{2}}$

Эта идея привела к развитию матричной механики.

Ограничения

Старая квантовая теория имела некоторые ограничения: ^[23]

• Старая квантовая теория не дает возможности рассчитать интенсивность спектральных линий.
• Она не может объяснить аномальный эффект Зеемана (то есть явление, при котором нельзя пренебречь спином электрона).
• Он не может квантовать "хаотические" системы, то есть динамические системы, в которых траектории не являются ни замкнутыми, ни периодическими, и аналитическая форма которых не существует. Это представляет проблему для таких простых систем, как 2-электронный атом, который является классически хаотичным аналогично знаменитой гравитационной задаче трех тел .

Однако ее можно использовать для описания атомов с более чем одним электроном (например, гелий) и эффекта Зеемана. ^[24] Позднее было высказано предположение, что старая квантовая теория на самом деле является полуклассическим приближением к канонической квантовой механике ^[25], но ее ограничения все еще изучаются.

Смотрите также

• модель Бора
• Модель Бора–Зоммерфельда
• теория БКС

Ссылки

1. Пайс, Авраам (2005). Тонкий Господь: Наука и жизнь Альберта Эйнштейна (иллюстрированное издание). OUP Oxford. стр. 28. ISBN 978-0-19-280672-7.Выдержка из страницы 28
2. тер Хаар, Д. (1967). Старая квантовая теория . Pergamon Press. стр. 206. ISBN 978-0-08-012101-7.
3. Полуклассическое приближение. Энциклопедия математики . URL: https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Полуклассическое_приближение
4. Сакурай, Наполитано (2014). «Квантовая динамика». Современная квантовая механика . Пирсон. ISBN 978-1-292-02410-3.
5. Краг, Хельге (1979). «Вторая атомная теория Нильса Бора». Исторические исследования в области физических наук . 10 : 123–186. doi :10.2307/27757389. JSTOR  27757389.
6. Кумар, Манджит. Квант: Эйнштейн, Бор и великий спор о природе реальности / Манджит Кумар.—1-е американское изд., 2008. Гл.7.
7. Томас Кун, Теория черного тела и квантовый разрыв, 1894–1912 (Чикаго: Издательство Чикагского университета, 1978)
8. • Хаас, Артур Эрих (1910) «Über die elektrodynamische Bedeutung des Planck'schen Strahlungsgesetzes und über eine neue Bestimmung des elektrischen Elementarquantums und der Dimension des Wasserstoffatoms». Sitzungsberichte der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften в Вене . Абт 2А, (119), стр. 119–144.
   • Haas AE Die Entwicklungsgeschichte des Satzes von der Erhaltung der Kraft . Докторская диссертация, Вена, 1909 г.
   • Герман, А. Артур Эрих Хаас, Der erste Quantenansatz für das Atom . Штутгарт, 1965 г. [содержит перепечатку].
9. • Николсон, Дж. В. (1911). «Спектр небулия». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 72 : 49–64. Bibcode :1911MNRAS..72...49N. doi : 10.1093/mnras/72.1.49 .
   • Николсон, Дж. В. (1911). «Конституция солнечной короны. I.: Протофтор». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 72 (2): 139–150. Bibcode : 1911MNRAS..72..139N. doi : 10.1093/mnras/72.2.139 .
   • Николсон, Дж. В. (1912). «Конституция солнечной короны. Иллинойс». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 72 (8): 677–693. doi : 10.1093/mnras/72.8.677 .
   • Николсон, Дж. У. (1912). «О новой небулярной линии в 4353». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 72 (8): 693. Bibcode : 1912MNRAS..72..693N. doi : 10.1093/mnras/72.8.693 .
   • Николсон, Дж. В. (1912). «Конституция солнечной короны. III». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 72 (9): 729–740. doi : 10.1093/mnras/72.9.729 .
10. Маккормах, Рассел (1966). «Атомная теория Джона Уильяма Николсона». Архив истории точных наук . 3 (2): 160–184. doi :10.1007/BF00357268. JSTOR  41133258. S2CID  120797894.
11. Бор, Н. (1913). «О строении атомов и молекул». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . Серия 6. 26 (151): 1–25. Bibcode : 1913PMag...26....1B. doi : 10.1080/14786441308634955.
12. Зоммерфельд, Арнольд (1919). Атомбау и спектральная линия. Брауншвейг: Фридрих Видег и Зон. ISBN 978-3-87144-484-5.
13. https://www.dumdummotijheelcollege.ac.in/pdf/1586768332.pdf. {{cite web}}: Отсутствует или пусто |title=( помощь )
14. Собрание трудов Альберта Эйнштейна, т. 6, А. Энгель, перевод, Princeton U. Press, Принстон, Нью-Джерси (1997), стр. 434
15. Стоун, А. Д. (август 2005 г.). «Неизвестное понимание Эйнштейна и проблема квантования хаоса» (PDF) . Physics Today . 58 (8): 37–43. Bibcode : 2005PhT....58h..37S. doi : 10.1063/1.2062917.
16. Полинг, Линус ; Уилсон, Эдгар Брайт (2012). Введение в квантовую механику: с приложениями к химии . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 9780486134932. OCLC  830473042.
17. Уилсон, Уильям (1915). «LXXXIII. Квантовая теория излучения и линейчатых спектров». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 29 (174): 795–802. doi :10.1080/14786440608635362.
18. Зоммерфельд, Арнольд (1916). «Квантовая теория спектральной линии». Аннален дер Физик . 356 (17): 1–94. Бибкод : 1916АнП...356....1С. дои : 10.1002/andp.19163561702. ISSN  0003-3804.
19. Эйнштейн, Альберт (1905). «Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt» [Об эвристической точке зрения на производство и преобразование света] (PDF) . Аннален дер Физик (на немецком языке). 17 (6): 132–148. Бибкод : 1905АнП...322..132Е. дои : 10.1002/andp.19053220607 . Проверено 18 февраля 2008 г.
20. "18 декабря 1926 г.: Гилберт Льюис упоминает слово "фотон" в письме в Nature". www.aps.org . Получено 09.03.2019 .
21. "Гилберт Н. Льюис". Фонд атомного наследия . Получено 2019-03-09 .
22. Краг, Хельге (2014). «Фотон: новый свет на старое имя». arXiv : 1401.0293 [physics.hist-ph].
23. Чаддха, Г.С. (2006). Квантовая механика. Нью-Дели: New Age international. С. 8–9. ISBN 978-81-224-1465-3.
24. Соловьев, Е.А. (2011). «Классический подход в атомной физике». European Physical Journal D. 65 ( 3): 331–351. arXiv : 1003.4387 . Bibcode :2011EPJD...65..331S. doi :10.1140/epjd/e2011-20261-6. S2CID  119204790.
25. Л. Д. Ландау , Е. М. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Т. 3 (3-е изд.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.

Дальнейшее чтение

• Тьюлис, Дж., ред. (1962). Энциклопедический словарь по физике .
• Пайс, Абрахам (1982). «Статистическая интерпретация квантовой механики Макса Борна» (PDF) . Science . 218 (4578): 1193–8. Bibcode :1982Sci...218.1193P. doi :10.1126/science.218.4578.1193. PMID  17802457. S2CID  34406257.Выступление на ежегодном собрании Оптического общества Америки 21 октября 1982 г. (Тусон, Аризона). Получено 08.09.2013.
• Планк, Макс (1922). Происхождение и развитие квантовой теории. Перевод Зильберштейна, Л.; Кларка, Х. Т. Оксфорд: Clarendon Press.