Подоснова

Набор подмножеств, которые генерируют топологию

В топологии подбаза (или подбаза , предбаза , предбазис ) для топологического пространства с топологией — это подколлекция , которая порождает в том смысле, что является наименьшей топологией, содержащей как открытые множества. Некоторые авторы используют несколько иное определение, и существуют другие полезные эквивалентные формулировки определения; они обсуждаются ниже. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B}$

Определение

Пусть — топологическое пространство с топологией A, подбаза которой обычно определяется как подколлекция , удовлетворяющая одному из двух следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau }$

1. Подколлекция генерирует топологию Это означает, что это наименьшая топология, содержащая : любая топология , содержащая должна также содержать ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau ^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau .}$
2. Совокупность открытых множеств, состоящая из всех конечных пересечений элементов из , образует основу для ^[1]. Это означает, что каждое собственное открытое множество из может быть записано как объединение конечных пересечений элементов из Явно, для данной точки в открытом множестве существует конечное число множеств из , таких, что пересечение этих множеств содержит и содержится в ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\subsetneq X,}$ ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U.}$

(Если мы используем соглашение о нулевом пересечении , то нет необходимости включать второе определение.) ${\displaystyle X}$

Для любого подмножества множества мощности существует единственная топология, имеющая в качестве подбазы. В частности, пересечение всех топологий по содержащему удовлетворяет этому условию. В общем случае, однако, для данной топологии не существует единственной подбазы. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (X),}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

Таким образом, мы можем начать с фиксированной топологии и найти подбазы для этой топологии, а также можем начать с произвольной подколлекции набора мощности и сформировать топологию, сгенерированную этой подколлекцией. Мы можем свободно использовать любое эквивалентное определение выше; действительно, во многих случаях одно из двух условий более полезно, чем другое. ${\displaystyle \wp (X)}$

Альтернативное определение

Реже дается несколько иное определение подбазы, которое требует, чтобы покрытие подбазы ^[2] В этом случае представляет собой объединение всех множеств, содержащихся в Это означает, что не может быть никакой путаницы относительно использования нулевых пересечений в определении. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Однако это определение не всегда эквивалентно двум определениям выше. Существуют топологические пространства с подмножествами топологии такими, что является наименьшей топологией, содержащей , но не покрывающей . (Пример приведен в конце следующего раздела.) На практике это встречается редко. Например, предбаза пространства, которая имеет по крайней мере две точки и удовлетворяет аксиоме разделения T 1, должна быть покрытием этого пространства. Но, как показано ниже, для доказательства теоремы Александера о предбазе ^[3] нужно предположить, что покрывает ^{[ необходимо разъяснение ]} ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

Примеры

Топология, порожденная любым подмножеством (включая пустое множество ), равна тривиальной топологии ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \{\varnothing ,X\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\varnothing }$ ${\displaystyle \{\varnothing ,X\}.}$

Если — топология на и является базой для, то топология , порожденная таким образом, является подбазой для. Если — любое подмножество, то топология, порожденная будет подмножеством. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \tau .}$

Обычная топология на действительных числах имеет подбазу, состоящую из всех полубесконечных открытых интервалов либо вида , либо , где и являются действительными числами. Вместе они порождают обычную топологию, поскольку пересечения для порождают обычную топологию. Вторая подбаза формируется путем взятия подсемейства , где и являются рациональными . Вторая подбаза также порождает обычную топологию, поскольку открытые интервалы с рациональными являются базисом для обычной евклидовой топологии. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ ${\displaystyle (b,\infty ),}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$

Подбаза, состоящая из всех полубесконечных открытых интервалов только формы, где - действительное число, не порождает обычную топологию. Полученная топология не удовлетворяет аксиоме разделения T 1 , поскольку если каждое открытое множество, содержащее также содержит ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a.}$

Начальная топология на , определяемая семейством функций , где каждая имеет топологию, является самой грубой топологией на , такой что каждая является непрерывной . Поскольку непрерывность может быть определена в терминах прообразов открытых множеств, это означает, что начальная топология на задается путем взятия всех диапазонов , где , по всем открытым подмножествам в качестве подбазиса. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i},}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U),}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y_{i},}$

Два важных частных случая исходной топологии — это топология произведения , где семейство функций представляет собой набор проекций из произведения на каждый множитель, и топология подпространства , где семейство состоит всего из одной функции — отображения включения .

Компактно -открытая топология на пространстве непрерывных функций из в имеет в качестве предбазы множество функций , где компактно и является открытым подмножеством ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle V(K,U)=\{f:X\to Y\mid f(K)\subseteq U\}}$$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y.}$

Предположим, что является хаусдорфовым топологическим пространством с , содержащим два или более элементов (например, с евклидовой топологией ). Пусть будет любым непустым открытым подмножеством из (например, может быть непустым ограниченным открытым интервалом в ) и пусть обозначает топологию подпространства на , которая наследуется от (так что ). Тогда топология, порожденная на , равна объединению (см. сноску для объяснения), ^{[примечание 1]} где (так как является хаусдорфовым, равенство будет иметь место тогда и только тогда, когда ). Обратите внимание, что если является собственным подмножеством из , то является наименьшей топологией на , содержащей , но не покрывающей (то есть объединение является собственным подмножеством из ). ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y\in \tau }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \nu \subseteq \tau }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$ ${\displaystyle \{X\}\cup \nu \subseteq \tau }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle Y=X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcup _{V\in \nu }V=Y}$ ${\displaystyle X}$

Результаты с использованием подбаз

Один приятный факт о подбазах заключается в том, что непрерывность функции нужно проверять только на подбазе диапазона. То есть, если есть отображение между топологическими пространствами и если есть подбаза для то является непрерывной тогда и только тогда, когда открыта в для каждого Сеть (или последовательность ) сходится к точке тогда и только тогда, когда каждая подбазовая окрестность содержит все для достаточно большого ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Теорема Александера о подбазе

Теорема Александра о подбазе — важный результат, касающийся подбаз, принадлежащий Джеймсу Уодделлу Александру II . ^[3] Соответствующий результат для базовых (а не подбазовых) открытых покрытий доказать гораздо проще.

Теорема Александера о подбазе : ^{[3] [1]} Пусть — топологическое пространство. Если имеет подбазу такую, что каждое покрытие элементами из имеет конечное подпокрытие, то — компактно . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$

Обратное утверждение к этой теореме также верно и доказывается с помощью (поскольку каждая топология является подбазой для самой себя). ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\tau }$

Если компактно и является предбазой для любого покрытия элементов из имеет конечное подпокрытие. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Хотя это доказательство использует лемму Цорна , доказательство не нуждается в полной силе выбора. Вместо этого оно опирается на промежуточный принцип ультрафильтра . ^[3]

Используя эту теорему с предбазой для вышеприведенной, можно дать очень простое доказательство того, что ограниченные замкнутые интервалы в компактны. В более общем смысле, теорема Тихонова , утверждающая, что произведение непустых компактных пространств компактно, имеет короткое доказательство, если использовать теорему Александра о предбазе. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Смотрите также

• База (топология)  – набор открытых множеств, используемых для определения топологии.

Примечания

1. Так как является топологией на и является открытым подмножеством , легко проверить, что является топологией на . В частности, замкнуто относительно объединений и конечных пересечений, поскольку является. Но так как , не является топологией на является , очевидно, наименьшей топологией на , содержащей ). ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X\not \in \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nu }$

Цитаты

1. Rudin 1991, стр. 392 Приложение A2.
2. Манкрес 2000, стр. 82.
3. Мугер, Майкл (2020). Топология для работающего математика .

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.