Порядок величины

Шкала чисел с фиксированным отношением

Порядок величины — это понятие, используемое для обсуждения масштаба чисел по отношению друг к другу.

Два числа находятся «в пределах порядка величины» друг от друга, если их отношение составляет от 1/10 до 10. Другими словами, два числа находятся в пределах примерно 10-кратного различия друг от друга. ^[1]

Например, 1 и 1,02 находятся в пределах порядка величины. Также как 1 и 2, 1 и 9 или 1 и 0,2. Однако 1 и 15 не находятся в пределах порядка величины, поскольку их отношение равно 15/1 = 15 > 10. Обратное отношение, 1/15, меньше 0,1, поэтому получается тот же результат.

Различия в порядке величины можно измерить по логарифмической шкале с основанием 10 в « десятках » (т. е. множителях десяти). ^[2] Например, между 2 и 20 существует один порядок величины, а между 2 и 200 — два порядка. Каждое деление или умножение на 10 называется порядком величины. ^[3] Эта формулировка помогает быстро выразить разницу в масштабе между 2 и 2 000 000: они различаются на 6 порядков величины.

Примеры чисел разной величины можно найти в разделе Порядки величин (чисел) .

Ниже приведены примеры различных методов разбиения действительных чисел на определенные "порядки величины" для различных целей. Не существует единого общепринятого способа сделать это, и различные разбиения могут быть проще для вычисления, но менее полезны для аппроксимации, или лучше для аппроксимации, но сложнее для вычисления.

Расчет порядка величины

Обычно порядок величины числа — это наименьшая степень числа 10, используемая для представления этого числа. ^[4] Чтобы определить порядок величины числа , число сначала выражается в следующей форме: ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=a\times 10^{b}}$

где , или приблизительно . Тогда, представляет собой порядок величины числа. Порядок величины может быть любым целым числом . В таблице ниже перечислены порядки величины некоторых чисел в свете этого определения: ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {10}}}\leq a<{\sqrt {10}}}$ ${\displaystyle 0.316\lesssim a\lesssim 3.16}$ ${\displaystyle b}$

Геометрическое среднее и равно , что означает, что значение точно (т.е. ) представляет собой геометрическую среднюю точку в диапазоне возможных значений . ${\displaystyle 10^{b-1/2}}$ ${\displaystyle 10^{b+1/2}}$ ${\displaystyle 10^{b}}$ ${\displaystyle 10^{b}}$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle a}$

Некоторые используют более простое определение, где . ^[5] Это определение имеет эффект небольшого понижения значений : ${\displaystyle 0.5\leq a<5}$ ${\displaystyle b}$

Использует

Порядки величин используются для приблизительного сравнения. Если числа отличаются на один порядок величины, x примерно в десять раз отличается по количеству, чем y . Если значения отличаются на два порядка величины, они отличаются примерно в 100 раз. Два числа одного порядка величины имеют примерно одинаковый масштаб: большее значение меньше меньшего значения более чем в десять раз. Растущие объемы интернет-данных со временем привели к добавлению новых префиксов СИ , последний раз в 2022 году. ^[6]

Вычисление порядка величины путем усечения

Порядок величины числа — это, интуитивно говоря, количество степеней 10, содержащихся в числе. Точнее, порядок величины числа можно определить в терминах десятичного логарифма , обычно как целую часть логарифма, полученную путем усечения . ^{[ противоречиво ]} Например, числоЧисло 4 000 000 имеет логарифм (по основанию 10) 6,602; его порядок величины равен 6. При усечении число такого порядка величины находится между 10 ⁶ и 10 ⁷ . В аналогичном примере с фразой «семизначный доход» порядок величины равен количеству цифр минус один, поэтому его очень легко определить без калькулятора и он равен 6. Порядок величины — это приблизительное положение на логарифмической шкале .

Оценка порядка величины

Оценка порядка величины переменной, точное значение которой неизвестно, — это оценка, округленная до ближайшей степени десяти. Например, оценка порядка величины для переменной между 3 и 30 миллиардами (например, численность населения Земли ) составляет 10 миллиардов . Чтобы округлить число до ближайшего порядка величины, округляют его логарифм до ближайшего целого числа. Таким образом4 000 000 , логарифм (по основанию 10) которого равен 6,602, имеет 7 в качестве ближайшего порядка величины, поскольку «ближайший» подразумевает округление, а не усечение. Для числа, записанного в научной нотации, эта логарифмическая шкала округления требует округления до следующей степени десяти, когда множитель больше квадратного корня из десяти (около 3,162). Например, ближайший порядок величины для1,7 × 10 ⁸ равно 8, тогда как ближайший порядок величины для3,7 × 10 ⁸ равно 9. Оценка порядка величины иногда также называется приближением нулевого порядка .

Недесятичные порядки величин

Порядок величины — это приближение логарифма значения относительно некоторого контекстуально понимаемого опорного значения, обычно 10, интерпретируемого как основание логарифма и представитель значений величины один. Логарифмические распределения распространены в природе, и рассмотрение порядка величины значений, выбранных из такого распределения, может быть более интуитивным. Когда опорное значение равно 10, порядок величины можно понимать как количество цифр минус один в представлении значения по основанию 10. Аналогично, если опорное значение является одной из некоторых степеней 2, поскольку компьютеры хранят данные в двоичном формате , величину можно понимать с точки зрения объема компьютерной памяти, необходимого для хранения этого значения.

Иррациональные порядки величин

Другие порядки величин могут быть рассчитаны с использованием оснований, отличных от целых чисел. В области астрономии ночная яркость небесных тел ранжируется по «величинам» , в которых каждый увеличивающийся уровень ярче предыдущего уровня на коэффициент , больший, чем предыдущий. Таким образом, уровень, который на 5 величин ярче другого, указывает на то, что он ярче на коэффициент раз: то есть на два порядка по основанию 10. ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{100}}\approx 2.512}$ ${\displaystyle ({\sqrt[{5}]{100}})^{5}=100}$

Этот ряд величин образует логарифмическую шкалу с основанием . ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{100}}}$

База 1 000 000 порядков величины

Различные десятичные системы счисления мира используют большее основание, чтобы лучше представить размер числа, и создали названия для степеней этого большего основания. Таблица показывает, к какому числу стремятся порядки величин для основания 10 и для основания1 000 000. Видно, что порядок величины включен в название числа в этом примере, потому что bi- означает 2, tri- означает 3 и т. д. (они имеют смысл только в длинной шкале), а суффикс -illion говорит о том, что основанием является1 000 000. Но сами числовые названия миллиард, триллион (здесь с другим значением , чем в первой главе) не являются названиями порядков величин , они являются названиями «величин», то есть чисел. 1 000 000 000 000 и т.д.

Единицы СИ в таблице справа используются вместе с префиксами СИ , которые были разработаны в основном с учетом величин с основанием 1000. Префиксы стандарта МЭК с основанием 1024 были изобретены для использования в электронной технике.

Смотрите также

• Обозначение «Большое О»
• Децибел
• Математические операторы и символы в Unicode
• Названия больших чисел
• Названия малых чисел
• Чувство числа
• Порядки величины (ускорение)
• Порядки величины (площадь)
• Порядки величины (скорость передачи данных)
• Порядки величин (текущие)
• Порядки величин (данные)
• Порядки величины (энергия)
• Порядки величины (силы)
• Порядки величин (частота)
• Порядки величин (освещенность)
• Порядки величины (длина)
• Порядки величины (массы)
• Порядки величин (числа)
• Порядки величины (мощности)
• Порядки величины (давление)
• Порядки величины (излучение)
• Порядки величины (скорость)
• Порядки величин (температура)
• Порядки величины (время)
• Порядки величины (напряжение)
• Порядки величины (объема)
• Силы десяти
• Научная нотация
• Символы Unicode для совместимости с CJK включают символы единиц СИ
• Оценка (алгебра) , алгебраическое обобщение «порядка величины»
• Шкала (аналитический инструмент)

Ссылки

1. "Порядок величины". Wolfram MathWorld . Получено 3 августа 2024 г. Две величины A и B, которые находятся в пределах примерно 10-кратного различия друг от друга, называются "одного порядка величины", что обозначается как A∼B.
2. Брайанс, Паус. «Orders of Magnitude». Архивировано из оригинала 22 августа 2018 года . Получено 9 мая 2013 года .
3. "Orders of magnetic" (Порядки величин). British Broadcasting Corporation . Получено 8 августа 2024 г.
4. "Порядок величины". Wolfram MathWorld . Получено 3 января 2017 г. Физики и инженеры используют фразу "порядок величины" для обозначения наименьшей степени десяти, необходимой для представления величины.
5. Shaalaa.com. "Ответьте на следующий вопрос. Опишите, что подразумевается под порядком величины. - Физика | Shaalaa.com". www.shaalaa.com . Получено 2023-06-04 .
6. Гибни, Элизабет (2022). «Сколько йоттабайт в кветтабайте? Экстремальные числа получают новые имена». Nature . doi :10.1038/d41586-022-03747-9. PMID  36400954. S2CID  253671538 . Получено 20 ноября 2022 г. .

Дальнейшее чтение

• Азимов, Айзек , Мера Вселенной (1983).

Внешние ссылки

• Масштаб Вселенной 2 Интерактивный инструмент от длины Планка 10 ⁻³⁵ метров до размера Вселенной 10 ²⁷
• Космос – иллюстрированное пространственное путешествие от микрокосмоса к макрокосмосу – от Digital Nature Agency
• «Степени 10» — графическая анимированная иллюстрация, которая начинается с вида Млечного Пути на высоте 10 ²³ метров и заканчивается субатомными частицами на высоте 10 ⁻¹⁶ метров.
• Что такое порядок величины?