Оценка (алгебра)

В алгебре (в частности, в алгебраической геометрии или теории алгебраических чисел ) оценка — это функция поля , которая обеспечивает меру размера или кратности элементов поля. Он обобщает на коммутативную алгебру понятие размера, присущее рассмотрению степени полюса или кратности нуля в комплексном анализе , степени делимости числа на простое число в теории чисел и геометрической концепции контакта между двумя числами. алгебраические или аналитические многообразия в алгебраической геометрии. Поле со значением называется значащим полем .

Определение

Начинаем со следующих объектов:

поле K и его $мультипликативная$ группа K ^× ,
абелева вполне упорядоченная группа $(Γ, +, \geq$ ) .

Упорядочение и групповой закон на $Γ$ распространяются на множество $Γ \cup {\infty$ } ^[a] по правилам

$\infty \geq α$ для всех $α$ ∈ $Γ$ ,
$\infty + α = α + \infty = \infty + \infty = \infty$ для всех $α$ ∈ $Γ$ .

Тогда оценкой $K$ является любое отображение

v : K \to Γ \cup {\infty}

который удовлетворяет следующим свойствам для всех a , b в K :

$v (a) = \infty$ тогда и только тогда, когда $a = 0$ ,
$v (ab) знак равно v (а) + v (б)$ ,
$v (a + b) \geq min(v (a), v (b) )$ , с равенством, если v ( a ) ≠ v ( b ).

Оценка v тривиальна, если v ( a ) = 0 для всех a из K ^× , в противном случае она нетривиальна .

Второе свойство утверждает, что любое нормирование является групповым гомоморфизмом на K ^× . Третье свойство представляет собой версию неравенства треугольника в метрических пространствах , адаптированную к произвольному Γ (см. Мультипликативные обозначения ниже). Для оценок, используемых в геометрических приложениях, первое свойство означает, что любой непустой росток аналитического многообразия вблизи точки содержит эту точку.

Оценку можно интерпретировать как порядок члена ведущего порядка . ^[b] Третье свойство тогда соответствует порядку суммы, являющемуся порядком большего члена, ^[c] за исключением случаев, когда два члена имеют одинаковый порядок, и в этом случае они могут сокращаться, и сумма может иметь больший порядок.

Для многих приложений $Γ$ является аддитивной подгруппой действительных чисел ^[d], и в этом случае ∞ можно интерпретировать как +∞ в расширенных действительных числах ; обратите внимание, что для любого действительного числа a и, следовательно, +∞ является единицей при двоичной операции минимума. Действительные числа (расширенные +∞) с операциями минимума и сложения образуют полукольцо , называемое минимальным тропическим полукольцом , ^[e] и нормирование v является почти гомоморфизмом полукольца из K в тропическое полукольцо, за исключением того, что свойство гомоморфизма может потерпеть неудачу, когда два элемента с одинаковым значением складываются вместе. $\mathbb {R}$ $\min(a,+\infty) =\min(+\infty,a)=a$

Мультипликативная запись и абсолютные значения

Эта концепция была развита Эмилем Артином в его книге «Геометрическая алгебра» , записывая группу в мультипликативной записи как $(Γ, \cdot, \geq)$ : ^[1]

Вместо ∞ мы присоединяем к Γ формальный символ O , при этом порядок и групповой закон расширяются правилами

$O ⩽ α$ для всех $α$ ∈ $Γ$ ,
$О \cdot α = α \cdot O = O$ для всех $α$ ∈ $Γ$ .

Тогда оценкой K является любое $отображение$

| \cdot | v : K \to Γ \cup {O}

удовлетворяющий следующим свойствам для всех a , b ∈ K :

$|а| v = O$ тогда и только тогда, когда $a = 0$ ,
$|аб| v = |а| v \cdot |б| в$ ,
$|а+б| v \leq max(|a| v, |b| v)$ , с равенством, если $|a| v \neq |б| в$ .

(Обратите внимание, что направления неравенств обратны направлениям в аддитивных обозначениях.)

Если $Γ$ является подгруппой положительных действительных чисел при умножении, последнее условие представляет собой ультраметрическое неравенство, более сильную форму неравенства треугольника $|a+b| v \leq |а| v + |б| v$ и $| \cdot | v$ — абсолютное значение . В этом случае мы можем перейти к аддитивной записи с группой значений , взяв $v$ $+$ $($ $a$ $) = -log$ $|a|$ $в$ . $\Gamma _{+}\subseteq (\mathbb {R},+)$

Каждое нормирование на $K$ определяет соответствующий линейный предпорядок : $a ≼ b \Leftrightarrow |a| v \leq |b| в$ . И наоборот, если " $≼$ " удовлетворяет требуемым свойствам, мы можем определить оценку $|a| v = {b : b ≼ a \land a ≼ b$ }, с умножением и упорядочиванием на основе $K$ и $≼$ .

Терминология

В данной статье мы используем определенные выше термины в аддитивных обозначениях. Однако некоторые авторы используют альтернативные термины:

наша «оценка» (удовлетворяющая ультраметрическому неравенству) называется «экспоненциальной оценкой», или «неархимедовой абсолютной величиной», или «ультраметрической абсолютной величиной»;
наше «абсолютное значение» (удовлетворяющее неравенству треугольника) называется «оценкой» или «архимедовым абсолютным значением».

Связанные объекты

Существует несколько объектов, определенных по заданному значению $v : K \to Γ \cup {\infty}$ ;

группа значений или группа оценок $Γ v$ = v ( K ^× ), подгруппа $Γ$ (хотя v обычно сюръективна, так что $Γ v$ = $Γ$ );
кольцо нормирования R _v — это множество a ∈ $K$ с v ( a ) ≥ 0,
простой идеал m _v - это множество a ∈ K с v ( a ) > 0 (фактически это максимальный идеал R _v ),
поле вычетов k _v = R _v / m _v ,
место K $,$ связанное с v , класс v при эквивалентности, определенной ниже .

Основные свойства

Эквивалентность оценок

Два нормирования v ₁ и v ₂ группы $K$ с группой нормирования Γ ₁ и Γ ₂ соответственно называются эквивалентными , если существует сохраняющий порядок групповой изоморфизм $φ : Γ 1 \to Γ 2$ такой, что v ₂ ( a ) = φ ( v ₁ ( a )) для всех a в K ^× . Это отношение эквивалентности .

Два нормирования K эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же кольцо нормирования.

Класс эквивалентности нормировок поля называется местом . Теорема Островского дает полную классификацию мест поля рациональных чисел , это в точности классы эквивалентности нормировок для p -адических пополнений $\mathbb {Q}:$ $\mathbb {Q} .$

Расширение оценок

Пусть v — оценка $K$ $,$ и пусть L — расширение поля K. Расширение v (до L ) — это такое определение w L , что ограничение w на $K$ равно v . Множество всех таких расширений изучается в теории ветвления нормирования .

Пусть L / K — конечное расширение , и пусть w — расширение v до L. Индекс Γ _v в Γ _w , e( w / v ) = [Γ _w : Γ _v ], называется приведенным индексом ветвления w над v . Оно удовлетворяет условию e( w / v ) ≤ [ L : K ] ( степень расширения L / K ). Относительная степень w над v определяется как f ( w / v ) = [ R _w / m _w : R _v / m _v ] (степень расширения полей вычетов). Он также меньше или равен степени L / K . Когда L / K отделима , индекс ветвления w над v определяется как e ( w / v ) pi , где pi ^— неотделимая степень расширения ^R w _/ m _w над R _v / m v _.

Заполните значащие поля

Когда упорядоченная абелева группа $Γ$ является аддитивной группой целых чисел , соответствующая оценка эквивалентна абсолютному значению и, следовательно, индуцирует метрику в поле $K.$ Если $K$ полно относительно этой метрики, то оно называется полным значным полем . Если K не является полным, можно использовать оценку для построения его завершения , как в примерах ниже, и разные оценки могут определять разные поля завершения.

В общем, оценка порождает равномерную структуру на $K$ , и $K$ называется полным значным полем, если оно полно как однородное пространство. Существует родственное свойство, известное как сферическая полнота : оно эквивалентно полноте, но в целом более сильное. $\Gamma =\mathbb {Z},$

Примеры

p-адическая оценка

Самый простой пример — это $p$ -адическая оценка ν _p , связанная с простым целым числом p , на рациональных числах с кольцом нормирования , где — локализация в простом идеале . Группа оценок представляет собой аддитивные целые числа. Для целого числа оценка ν _p ( a ) измеряет делимость a на степени p : $K=\mathbb {Q},$ $R=\mathbb {Z} _{(p)},$ $\mathbb {Z} _{(p)}$ $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle (p)}$ $\Gamma =\mathbb {Z} .$ $a\in R=\mathbb {Z},$

\nu _{p}(a)=\max\{e\in \mathbb {Z} \mid p^{e}{\text{ делит }}a\};

а для дроби ν _p ( a / b ) = ν _p ( a ) - ν _p ( b ).

Запись этого мультипликативно дает $p$ -адическое абсолютное значение , которое обычно имеет в качестве основания , т.е. $1/p=p^{-1}$ $|a|_{p}:=p^{-\nu _{p}(a)}$

Пополнением по νp является поле p _- адических чисел . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} _{p}$

Порядок исчезновения

Пусть K = F (x), рациональные функции на аффинной прямой X = F ¹ , и возьмем точку a ∈ X. Для многочлена с определим v _a ( f ) = k, порядок исчезновения в точке x = a ; и v _а ( ж / г ) знак равно v _а ( ж ) - v _а ( г ). Тогда кольцо нормирования R состоит из рациональных функций без полюса в точке x = a , а пополнением является кольцо формальных рядов Лорана F (( x − a )). Это можно обобщить на поле рядов Пюизо K {{ t }} (дробные степени), поле Леви-Чивита (его пополнение Коши) и поле рядов Хана , причем оценка во всех случаях возвращает наименьший показатель степени t появляющийся в сериале. $f(x)=a_{k}(x{-}a)^{k}+a_{k+1}(x{-}a)^{k+1}+\cdots +a_{n }(x{-}a)^{n}$ $a_{k}\neq 0$

π -адическая оценка

Обобщая предыдущие примеры, пусть $R$ $—$ область главных идеалов , $K$ — ее поле частных , а $π$ — неприводимый элемент R. Поскольку каждая область главного идеала является уникальной областью факторизации , каждый ненулевой элемент a из $R$ может быть записан (по существу) однозначно как

a=\pi ^{e_{a}}p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{n}^{e_{n}}

где e's - неотрицательные целые числа, а _pi - неприводимые элементы $R$ , которые не являются ассоциированными с $π$ . В частности, целое число e _a однозначно определяется a .

Тогда π -адическая оценка K определяется выражением

$v_{\pi }(0)=\infty$
${\ displaystyle v_ {\ pi } (a/b) = e_ {a} -e_ {b}, {\ text { for }} a, b \ in R, a, b \ neq 0.}$

Если π' — другой неприводимый элемент из $R$ такой, что (π') = (π) (т. е. они порождают один и тот же идеал в R ), то π-адическая нормировка и π'-адическая нормировка равны. Таким образом, π-адическое нормирование можно назвать P -адическим нормированием, где P = (π).

P -адическая оценка в области Дедекинда

Предыдущий пример можно обобщить на домены Дедекинда . Пусть $R$ — дедекиндова область, $K —$ поле частных, и пусть P — ненулевой простой идеал $R$ . Тогда локализация R в P , обозначаемая R _P $, представляет собой$ область главного идеала, поле частных которой равно $K.$ Конструкция предыдущего раздела, примененная к простому идеалу PR _P группы R _P , дает $P$ -адическую нормировку $K$ .

Векторные пространства над полями оценки

Предположим, что $Γ$ ∪ {0} — множество неотрицательных действительных чисел при умножении. Тогда мы говорим, что оценка недискретна, если ее диапазон (группа оценок) бесконечен (и, следовательно, имеет точку накопления в 0).

Предположим, что X — векторное пространство над K и что A и B — подмножества X. Тогда мы говорим, что A поглощает B , если существует α ∈ K такое, что λ ∈ K и |λ| ≥ |α| следует, что B ⊆ λ A . A называется радиальным или поглощающим , если A поглощает каждое конечное подмножество X . Радиальные подмножества X инвариантны относительно конечного пересечения. Кроме того, A называется окружённым, если λ из K и |λ| ≥ |α| подразумевает λ A ⊆ A . Множество окружённых подмножеств L инвариантно относительно произвольных пересечений. Оболочка A в кружке — это пересечение всех подмножеств X в кружке , содержащих A .

Предположим, что X и Y — векторные пространства над полем недискретного нормирования K , пусть A ⊆ X , B ⊆ Y и пусть f : X → Y — линейное отображение. Если B окружён или радиален, то и . Если A обведено кружком, то и f(A) тоже , но если A радиально, то f(A) будет радиальным при дополнительном условии, что f сюръективен. $f^{-1}(B)$

Смотрите также

Примечания

^ Символ ∞ обозначает элемент, не входящий в $Γ$ , и не имеет другого значения. Его свойства просто определяются данными аксиомами .
^ При использовании здесь минимального соглашения оценка скорее интерпретируется как отрицательный порядок ведущего термина порядка, но при использовании максимального соглашения ее можно интерпретировать как порядок.
^ Опять же, поменяно местами, поскольку используется минимальное соглашение.
^ Каждая архимедова группа изоморфна подгруппе добавляемых действительных чисел, но существуют неархимедовы упорядоченные группы, такие как аддитивная группа неархимедова упорядоченного поля .
^ В тропическом полукольце минимум и сложение действительных чисел считаются тропическим сложением и тропическим умножением ; это полукольцевые операции.

Внешние ссылки

Данилов, В.И. (2001) [1994], «Оценка», Математическая энциклопедия , EMS Press
Дискретная оценка в PlanetMath .
Оценка в PlanetMath .
Вайсштейн, Эрик В. «Оценка». Математический мир .