Представительство Бурау

В математике представление Бурау — это представление групп кос , названное в честь немецкого математика Вернера Бурау ^[1] и первоначально изученное им в 1930-х годах. Представление Бурау имеет две общие и почти эквивалентные формулировки: редуцированное и нередуцированное представления Бурау.

Определение

Покрывающее пространство C _n можно рассматривать конкретно следующим образом: разрежьте диск вдоль линий от границы до отмеченных точек. Возьмите столько копий результата, сколько имеется целых чисел, сложите их вертикально и соедините пандусами, идущими от одной стороны разреза на одном уровне к другой стороне разреза на уровне ниже. Эта процедура показана здесь для n = 4 ; покрывающие преобразования t ^±1 действуют, сдвигая пространство вертикально.

Рассмотрим группу кос B _n как группу классов отображений диска с n отмеченными точками D _n . Группа гомологий H ₁ ( D _n ) является свободной абелевой ранга n . Более того, инвариантное подпространство H ₁ ( D _n ) (под действием B _n ) является примитивным и бесконечным циклическим. Пусть π  : H ₁ ( D _n ) → Z — проекция на это инвариантное подпространство. Тогда существует накрывающее пространство C _{n ,} соответствующее этому отображению проекции. Подобно конструкции многочлена Александера , рассмотрим H ₁ ( C _n ) как модуль над групповым кольцом накрывающих преобразований Z [ Z ] , которое изоморфно кольцу многочленов Лорана Z [ t , t ⁻¹ ] . Как Z [ t , t ⁻¹ ] -модуль, H ₁ ( C _n ) является свободным ранга n  − 1 . Согласно базовой теории накрывающих пространств , B _n действует на H ₁ ( C _n ) , и это представление называется редуцированным представлением Бурау .

Нередуцированное представление Бурау имеет похожее определение, а именно, заменяем D _n его (действительным, ориентированным) раздутием в отмеченных точках. Затем вместо рассмотрения H ₁ ( C _n ) рассматриваем относительные гомологии H ₁ ( C _n , Γ), где γ ⊂ D _n — часть границы D _{n ,} соответствующая операции раздутия вместе с одной точкой на границе диска. Γ обозначает подъем γ в C _n . Как Z [ t , t ⁻¹ ] -модуль он свободен от ранга n .

По гомологии длинной точной последовательности пары представления Бурау укладываются в короткую точную последовательность

0 → Vr → Vu _→ D⊕Z [ t , t − ¹ ] → 0 _,

где V _r (соответственно V _u ) — редуцированный (соответственно нередуцированный) модуль Бурау B _n , а D ⊂ Z ⁿ — дополнение к диагональному подпространству, другими словами:

${\displaystyle D=\left\{\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\in \mathbf {Z} ^{n}:x_{1}+\cdots +x_{n}=0\right\},}$

и B _n действует на Z ⁿ посредством перестановочного представления.

Явные матрицы

Пусть σ _i обозначает стандартные генераторы группы кос B _n . Тогда нередуцированное представление Бурау может быть задано явно с помощью отображения

${\displaystyle \sigma _{i}\mapsto \left({\begin{array}{c|cc|c}I_{i-1}&0&0&0\\\hline 0&1-t&t&0\\0&1&0&0\\\hline 0&0&0&I_{n-i-1}\end{array}}\right),}$

для 1 ≤ i ≤ n − 1 , где I _k обозначает единичную матрицу k × k . Аналогично, для n ≥ 3 сокращенное представление Бурау задается как

${\displaystyle \sigma _{1}\mapsto \left({\begin{array}{cc|c}-t&1&0\\0&1&0\\\hline 0&0&I_{n-3}\end{array}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{i}\mapsto \left({\begin{array}{c|ccc|c}I_{i-2}&0&0&0&0\\\hline 0&1&0&0&0\\0&t&-t&1&0\\0&0&0&1&0\\\hline 0&0&0&0&I_{n-i-2}\end{array}}\right),\quad 2\leq i\leq n-2,}$

${\displaystyle \sigma _{n-1}\mapsto \left({\begin{array}{c|cc}I_{n-3}&0&0\\\hline 0&1&0\\0&t&-t\end{array}}\right),}$

в то время как для n = 2 он отображает

${\displaystyle \sigma _{1}\mapsto \left(-t\right).}$

Интерпретация боулинг-клуба

Воан Джонс ^[2] дал следующую интерпретацию нередуцированного представления Бурау положительных кос для t в [0,1] – т.е. для кос, которые являются словами в стандартных генераторах групп кос, не содержащих обратных элементов – которая немедленно следует из приведенного выше явного описания:

Дана положительная коса σ на n нитях, интерпретируем ее как боулинг с n переплетающимися дорожками. Теперь бросьте шар для боулинга по одной из дорожек и предположим, что на каждом перекрестке, где его путь пересекает другую дорожку, он падает с вероятностью t и продолжает движение по нижней дорожке. Тогда ( i , j ) '-й элемент нередуцированного представления Бурау σ является вероятностью того, что мяч, брошенный на i '-ю дорожку, окажется на j '-й дорожке.

Связь с многочленом Александера

Если узел K является замыканием косы f в B _n , то с точностью до умножения на единицу из Z [ t , t ⁻¹ ] многочлен Александера Δ K ₍ t ) узла K задается выражением

${\displaystyle {\frac {1-t}{1-t^{n}}}\det(I-f_{*}),}$

где f _∗ — редуцированное представление Бурау косы f .

Например, если f = σ ₁ σ ₂ в B ₃ , то, используя явные матрицы выше, можно найти, что

${\displaystyle {\frac {1-t}{1-t^{n}}}\det(I-f_{*})=1,}$

а замыкание f _* — это тривиальный узел, полином Александера которого равен 1 .

Верность

Первые неточные представления Бурау были найдены Джоном А. Муди без использования компьютера, с использованием понятия числа намотки или контурного интегрирования. ^[3] Более концептуальное понимание, благодаря Даррену Д. Лонгу и Марку Пэтону ^[4], интерпретирует связывание или намотку как происходящие из двойственности Пуанкаре в первой гомологии относительно базовой точки накрывающего пространства и использует форму пересечения (традиционно называемую формой Сквайера, поскольку Крейг Сквайер был первым, кто исследовал ее свойства). ^[5] Стивен Бигелоу объединил компьютерные методы и теорему Лонга–Патона, чтобы показать, что представление Бурау не является точным для n ≥ 5. [ ^{6] [7] [8]} Более того, Бигелоу предоставляет явный нетривиальный элемент в ядре как слово в стандартных генераторах группы кос: пусть

${\displaystyle \psi _{1}=\sigma _{3}^{-1}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}\sigma _{4}^{3}\sigma _{3}\sigma _{2},\quad \psi _{2}=\sigma _{4}^{-1}\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{1}^{-2}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}\sigma _{1}\sigma _{4}^{5}.}$

Тогда элемент ядра задается коммутатором

${\displaystyle [\psi _{1}^{-1}\sigma _{4}\psi _{1},\psi _{2}^{-1}\sigma _{4}\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{4}\psi _{2}].}$

Представление Бурау для n = 2, 3 уже некоторое время известно как точное. Точность представления Бурау при n = 4 является открытой проблемой. Представление Бурау появляется как слагаемое представления Джонса, и для n = 4 точность представления Бурау эквивалентна точности представления Джонса, что, с другой стороны, связано с вопросом о том, является ли многочлен Джонса детектором неразветвленности . ^[9]

Геометрия

Крейг Сквайер показал, что представление Бурау сохраняет полуторалинейную форму . ^[5] Более того, когда переменная t выбирается как трансцендентное единичное комплексное число вблизи 1 , это положительно определенное эрмитово спаривание . Таким образом, представление Бурау группы кос B _n можно рассматривать как отображение в унитарную группу U( n ).

Ссылки

1. Бурау, Вернер (1936). «Über Zopfgruppen und gleichsinnig verdrillte Verkettungen». Абх. Математика. Сем. унив. Гамбург . 11 : 179–186. дои : 10.1007/bf02940722. S2CID  119576586.
2. Джонс, Воган (1987). «Представления алгебры Гекке групп кос и многочленов зацеплений». Annals of Mathematics . Вторая серия. 126 (2): 335–388. doi :10.2307/1971403. JSTOR  1971403.
3. Moody, John Atwell (1993), «Вопрос верности представления Бурау», Труды Американского математического общества , 119 (2): 671–679, doi : 10.1090/s0002-9939-1993-1158006-x , JSTOR  2159956, MR  1158006
4. Лонг, Даррен Д.; Патон, Марк (1993), «Представление Бурау не является точным для », Топология , 32 (2): 439–447, doi : 10.1016/0040-9383(93)90030-Y , MR  1217079 ${\displaystyle n\geq 6}$
5. Squier, Craig C (1984). «Представление Бурау унитарно». Труды Американского математического общества . 90 (2): 199–202. doi : 10.2307/2045338 . JSTOR  2045338.
6. Бигелоу, Стивен (1999). «Представление Бурау не является точным для n = 5 ». Геометрия и топология . 3 : 397–404. arXiv : math/9904100 . doi :10.2140/gt.1999.3.397. S2CID  5967061.
7. С. Бигелоу , Международный конгресс математиков, Пекин, 2002 г.
8. Владимир Тураев , Верные представления групп кос, Бурбаки 1999-2000
9. Бигелоу, Стивен (2002). «Обнаруживает ли многочлен Джонса распутывание?». Журнал теории узлов и его разветвлений . 11 (4): 493–505. arXiv : math/0012086 . doi :10.1142/s0218216502001779. S2CID  1353805.

Внешние ссылки

• «Теорема Бурау», Атлас узлов .