Псевдовектор Паули–Любанского

Оператор в квантовой теории поля

В физике псевдовектор Паули–Любаньского — это оператор, определяемый из импульса и углового момента , используемый в квантово-релятивистском описании углового момента. Он назван в честь Вольфганга Паули и Юзефа Любаньского , ^[1]

Он описывает спиновые состояния движущихся частиц. ^[2] Это генератор малой группы группы Пуанкаре , то есть максимальной подгруппы (с четырьмя генераторами), оставляющей собственные значения вектора четырех импульсов P _μ инвариантными. ^[3]

Определение

Обычно обозначается как W (реже как S ) и определяется как: ^{[4] [5] [6]}

${\displaystyle W_{\mu }\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\tfrac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },}$

где

• ${\displaystyle \varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }}$— четырехмерный полностью антисимметричный символ Леви-Чивиты ;
• ${\displaystyle J^{\nu \rho }}$— оператор тензора релятивистского момента импульса ( ); ${\displaystyle M^{\nu \rho }}$
• ${\displaystyle P^{\sigma }}$— оператор четырехимпульса .

На языке внешней алгебры это можно записать как двойственный по Ходжу тривектор , ^[7]

$${\displaystyle \mathbf {W} =\star (\mathbf {J} \wedge \mathbf {p} ).}$$

Обратите внимание , и где - генератор вращений, а - генератор усилений. ${\displaystyle W_{0}={\vec {J}}\cdot {\vec {P}}}$ ${\displaystyle {\vec {W}}=E{\vec {J}}-{\vec {P}}\times {\vec {K}}}$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle {\vec {K}}}$

W _μ очевидно удовлетворяет $${\displaystyle P^{\mu }W_{\mu }=0,}$$

а также следующие коммутаторные соотношения, $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[P^{\mu },W^{\nu }\right]&=0,\\\left[J^{\mu \nu },W^{\rho }\right]&=i\left(g^{\rho \nu }W^{\mu }-g^{\rho \mu }W^{\nu }\right),\end{aligned}}}$$

Следовательно, $${\displaystyle \left[W_{\mu },W_{\nu }\right]=-i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }W^{\rho }P^{\sigma }.}$$

Скаляр W _μ W ^μ является лоренц-инвариантным оператором и коммутирует с 4-импульсом, и, таким образом, может служить меткой для неприводимых унитарных представлений группы Пуанкаре . То есть, он может служить меткой для спина , характеристики пространственно-временной структуры представления, помимо релятивистски инвариантной метки P _μ P ^μ для массы всех состояний в представлении.

Маленькая группа

В собственном пространстве оператора 4-импульса с собственным значением 4-импульса гильбертова пространства квантовой системы (или, если на то пошло, стандартного представления с ℝ ^4, интерпретируемого как пространство импульсов, на которое действуют матрицы 5×5 с верхним левым блоком 4×4, обычное преобразование Лоренца, последний столбец зарезервирован для трансляций, а действие оказывается на элементах (векторах-столбцах) пространства импульсов с 1 , добавленной в качестве пятой строки, см. стандартные тексты ^{[8] [9]} ) справедливо следующее: ^[10] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$

• Компоненты с заменой на образуют алгебру Ли. Это алгебра Ли группы Литтла , т.е. подгруппа однородной группы Лоренца, которая оставляет инвариантным. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle P^{\mu }}$ ${\displaystyle k^{\mu }}$ ${\displaystyle L_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$
• Для каждого неприводимого унитарного представления существует неприводимое унитарное представление полной группы Пуанкаре, называемое индуцированным представлением . ${\displaystyle L_{k}}$
• Пространство представления индуцированного представления может быть получено последовательным применением элементов полной группы Пуанкаре к ненулевому элементу и расширением по линейности. ${\displaystyle S}$

Неприводимое унитарное представление группы Пуанкаре характеризуется собственными значениями двух операторов Казимира и . Лучший способ увидеть, что неприводимое унитарное представление действительно получено, — это продемонстрировать его действие на элементе с произвольным собственным значением 4-импульса в полученном таким образом пространстве представления. ^{[11] : 62–74} Неприводимость следует из построения пространства представления. ${\displaystyle P^{2}}$ ${\displaystyle W^{2}}$ ${\displaystyle p}$

Огромные поля

В квантовой теории поля в случае массивного поля инвариант Казимира W _μ W ^μ описывает полный спин частицы с собственными значениями , где s — спиновое квантовое число частицы, а m — ее масса покоя . $${\displaystyle W^{2}=W_{\mu }W^{\mu }=-m^{2}s(s+1),}$$

Это легко увидеть в системе покоя частицы, указанный выше коммутатор, действующий на состояние частицы, равен [ W _j , W _k ] = i ε _jkl W _l m ; следовательно, W → = mJ → и W ⁰ = 0 , так что малая группа равна группе вращения. Поскольку это лоренц-инвариантная величина, она будет одинаковой во всех других системах отсчета . $${\displaystyle W_{\mu }W^{\mu }=-m^{2}{\vec {J}}\cdot {\vec {J}}.}$$

Также принято брать W ³ для описания проекции спина вдоль третьего направления в системе покоя.

В движущихся системах отсчета, разлагая W = ( W ₀ , W → ) на компоненты ( W ₁ , W ₂ , W ₃ ) , где W ₁ и W ₂ ортогональны P → , а W ₃ параллельна P → , вектор Паули–Любанского может быть выражен через вектор спина S → = ( ​​S ₁ , S ₂ , S ₃ ) (разложенный аналогичным образом) как $${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}&=PS_{3},&W_{1}&=mS_{1},&W_{2}&=mS_{2},&W_{3}&={\frac {E}{c^{2}}}S_{3},\end{aligned}}}$$

где - соотношение энергии и импульса . $${\displaystyle E^{2}=P^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$$

Поперечные компоненты W ₁ , W ₂ , а также S ₃ удовлетворяют следующим коммутаторным соотношениям (которые применяются в общем случае, а не только к представлениям с ненулевой массой): $${\displaystyle {\begin{aligned}[][W_{1},W_{2}]&={\frac {ih}{2\pi }}\left(\left({\frac {E}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {P}{c}}\right)^{2}\right)S_{3},&[W_{2},S_{3}]&={\frac {ih}{2\pi }}W_{1},&[S_{3},W_{1}]&={\frac {ih}{2\pi }}W_{2}.\end{aligned}}}$$

Для частиц с ненулевой массой и полей, связанных с такими частицами, $${\displaystyle [W_{1},W_{2}]={\frac {ih}{2\pi }}m^{2}S_{3}.}$$

Безмассовые поля

В общем случае, в случае немассивных представлений можно выделить два случая. Для безмассовых частиц ^{[11] : 71–72} где K → — динамический вектор массового момента . Таким образом, математически, P ² = 0 не подразумевает W ² = 0. $${\displaystyle W^{2}=W_{\mu }W^{\mu }=-E^{2}\left((K_{2}-J_{1})^{2}+(K_{1}+J_{2})^{2}\right)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} -E^{2}\left(A^{2}+B^{2}\right),}$$

Непрерывные спиновые представления

В более общем случае компоненты W → поперечные к P → могут быть ненулевыми, что приводит к семейству представлений, называемых цилиндрическими люксонами («люксон» — другой термин для «безмассовой частицы»), их идентифицирующим свойством является то, что компоненты W → образуют подалгебру Ли, изоморфную 2-мерной евклидовой группе ISO(2) , причем продольный компонент W → играет роль генератора вращения, а поперечные компоненты — роль генераторов трансляции. Это равносильно групповому сокращению SO (3) , и приводит к тому, что известно как непрерывные спиновые представления. Однако нет известных физических случаев фундаментальных частиц или полей в этом семействе. Можно утверждать, что непрерывные спиновые состояния обладают внутренней степенью свободы, не наблюдаемой в наблюдаемых безмассовых частицах. ^{[11] : 69–74}

Представления спиральности

В частном случае параллельно или эквивалентно Для ненулевых это ограничение может быть последовательно наложено только для люксонов ( безмассовых частиц ), поскольку коммутатор двух поперечных компонент пропорционален Для этого семейства, а инвариант вместо этого задается выражением где так что инвариант представлен оператором спиральности ${\displaystyle {\vec {W}}}$ ${\displaystyle {\vec {P}};}$ ${\displaystyle {\vec {W}}\times {\vec {P}}={\vec {\boldsymbol {0}}}.}$ ${\displaystyle {\vec {W}}}$ ${\displaystyle {\vec {W}}}$ ${\displaystyle m^{2}{\vec {J}}\cdot {\vec {P}}\,.}$ ${\displaystyle W^{2}=0}$ ${\displaystyle W^{\mu }=\lambda \,P^{\mu }}$ $${\displaystyle \left(W^{0}\right)^{2}=\left(W^{3}\right)^{2},}$$ $${\displaystyle W^{0}=-{\vec {J}}\cdot {\vec {P}},}$$ $${\displaystyle W^{0}/P.}$$

Все частицы, которые взаимодействуют со слабой ядерной силой , например, попадают в это семейство, поскольку определение слабого ядерного заряда (слабого изоспина ) включает спиральность, которая, согласно вышесказанному, должна быть инвариантом. Появление ненулевой массы в таких случаях должно затем объясняться другими способами, такими как механизм Хиггса . Однако даже после учета таких механизмов генерации массы фотон ( и, следовательно, электромагнитное поле) продолжает попадать в этот класс, хотя другие собственные состояния массы носителей электрослабой силы ( Вт± бозон и антибозон и З0 бозон ) приобретает ненулевую массу.

Ранее считалось, что нейтрино также попадают в этот класс. Однако, поскольку было обнаружено, что нейтрино колеблются по аромату , теперь известно, что по крайней мере два из трех массовых собственных состояний левоспиральных нейтрино и правоспиральных антинейтрино должны иметь ненулевую массу.

Смотрите также

• Центр масс (релятивистский)
• Классификация Вигнера
• Оператор углового момента
• Оператор Казимира
• Хиральность
• Псевдовектор
• Псевдотензор
• Индуцированное представление

Примечания

1. Любаньский 1942a, стр. 310–324, Любаньский 1942b, стр. 325–338.
2. Браун 1994, стр. 180–181.
3. Вигнер 1939, стр. 149–204.
4. Райдер 1996, стр. 62
5. Боголюбов 1989, стр. 273
6. Олссон 2011, стр. 11
7. Пенроуз 2005, стр. 568
8. Холл 2015, Формула 1.12.
9. Россманн 2002, Глава 2.
10. Тунг 1985, Теорема 10.13, Глава 10.
11. Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей . Том 1. Cambridge University Press . ISBN 978-0521550017.

Ссылки

• Боголюбов Н. Н. (1989). Общие принципы квантовой теории поля (2-е изд.). Спрингер Верлаг . ISBN 0-7923-0540-X.
• Браун, Л. С. (1994). Квантовая теория поля . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46946-3.
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, doi : 10.1007/978-3-319-13467-3, ISBN 978-3319134666, ISSN  0072-5285
• Любаньский, Ю.К. (1942a). «Sur la theorie des particles élémentaires de spin quelconque. I». Физика (на французском языке). 9 (3): 310–324. Бибкод : 1942Phy.....9..310L. дои : 10.1016/S0031-8914(42)90113-7.
• Любаньский, Ю.К. (1942b). «Sur la theorie des particles élémentaires de spin quelconque. II». Физика (на французском языке). 9 (3): 325–338. Бибкод : 1942Phy.....9..325L. дои : 10.1016/S0031-8914(42)90114-9.
• Олссон, Т. (2011). Релятивистская квантовая физика: от продвинутой квантовой механики до введения в квантовую теорию поля. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-50432-4.
• Пенроуз, Р. (2005). Дорога к реальности . Старинные книги. ISBN 978-0-09-944068-0.
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли. Введение через линейные группы , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• Райдер, Л. Х. (1996). Квантовая теория поля (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-47814-6.
• Tung, Wu-Ki (1985). Теория групп в физике (1-е изд.). Нью-Джерси·Лондон·Сингапур·Гонконг: World Scientific . ISBN 978-9971966577.
• Вайнберг, С. (2002) [1995], Основы , Квантовая теория полей, т. 1, Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 0-521-55001-7
• Вигнер, Э. П. (1939). «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца». Annals of Mathematics . 40 (1): 149–204. Bibcode : 1939AnMat..40..149W. doi : 10.2307/1968551. JSTOR  1968551. MR  1503456. S2CID  121773411.