Представление оси-угла

Параметризация вращения в единичный вектор и угол

Угол θ и единичный вектор оси e определяют вращение, кратко представленное вектором вращения θ e .

В математике представление ось -угол параметризует вращение в трехмерном евклидовом пространстве двумя величинами: единичным вектором e, указывающим направление оси вращения , и углом поворота θ, описывающим величину и направление (например, по часовой стрелке ) вращения вокруг оси . Для определения направления единичного вектора e с корнем в начале координат нужны только два числа, а не три, поскольку величина e ограничена. Например, углов возвышения и азимута e достаточно, чтобы определить его в любой конкретной декартовой системе координат.

По формуле вращения Родригеса угол и ось определяют преобразование, которое вращает трехмерные векторы. Вращение происходит в направлении, предписанном правилом правой руки .

Ось вращения иногда называют осью Эйлера . Представление оси-угла основано на теореме Эйлера о вращении , которая гласит, что любое вращение или последовательность вращений твердого тела в трехмерном пространстве эквивалентны чистому вращению вокруг одной фиксированной оси.

Это один из многих формализмов вращения в трех измерениях .

Вектор вращения

Представление ось-угол эквивалентно более краткому вектору вращения , также называемому вектором Эйлера (не путать с вектором углов Эйлера ). В этом случае и ось вращения, и угол представлены вектором, сонаправленным с осью вращения, длина которого равна углу поворота θ , Он используется для экспоненциальных и логарифмических отображений, включающих это представление. $${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} \,.}$$

Многие векторы вращения соответствуют одному и тому же вращению. В частности, вектор вращения длины θ + 2 πM для любого целого числа M кодирует точно такое же вращение, как вектор вращения длины θ . Таким образом, существует по крайней мере счетная бесконечность векторов вращения, соответствующих любому вращению. Более того, все вращения на 2 πM эквивалентны отсутствию вращения вообще, поэтому для данного целого числа M все векторы вращения длины 2 πM во всех направлениях составляют двухпараметрическую несчетную бесконечность векторов вращения, кодирующих то же вращение, что и нулевой вектор. Эти факты необходимо учитывать при инвертировании экспоненциального отображения, то есть при нахождении вектора вращения, соответствующего заданной матрице вращения. Экспоненциальное отображение является отображением на , но не взаимно-однозначным .

Пример

Допустим, вы стоите на земле и выбираете направление гравитации как отрицательное направление z . Тогда, если вы повернетесь налево, вы будете вращаться ⁠-π/2⁠ радиан (или -90° ) вокруг оси -z . Рассматривая представление оси-угла как упорядоченную пару , это будет $${\displaystyle (\mathrm {axis} ,\mathrm {angle} )=\left({\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\-1\end{bmatrix}},{\frac {-\pi }{2}}\right).}$$

Приведенный выше пример можно представить как вектор вращения с величиной ⁠π/2⁠ указывает в направлении z , $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}.}$$

Использует

Представление оси-угла удобно при работе с динамикой твердого тела . Оно полезно как для характеристики вращений , так и для преобразования между различными представлениями движения твердого тела , такими как однородные преобразования ^{[ необходимо разъяснение ]} и повороты.

Когда твердое тело вращается вокруг неподвижной оси , его данные о оси и угле являются постоянной осью вращения, а угол поворота непрерывно зависит от времени .

Включение трех собственных значений 1 и e ^{± iθ} и связанных с ними трех ортогональных осей в декартовом представлении в теорему Мерсера является удобной конструкцией декартового представления матрицы вращения в трех измерениях.

Вращение вектора

Формула вращения Родригеса , названная в честь Олинды Родригес , является эффективным алгоритмом вращения евклидова вектора, заданного осью вращения и углом поворота. Другими словами, формула Родригеса предоставляет алгоритм для вычисления экспоненциального отображения из в SO(3) без вычисления полной матричной экспоненты. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Если v — вектор в R ³ , а e — единичный вектор с корнем в начале координат, описывающий ось вращения, вокруг которой v поворачивается на угол θ , то формула вращения Родригеса для получения повернутого вектора имеет вид $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} +(\sin \theta )(\mathbf {e} \times \mathbf {v} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \times (\mathbf {e} \times \mathbf {v} ))\,.}$$

Для поворота одного вектора это может быть более эффективно, чем преобразование e и θ в матрицу поворота для поворота вектора.

Связь с другими представлениями

Существует несколько способов представления вращения. Полезно понимать, как различные представления соотносятся друг с другом и как преобразовывать их между собой. Здесь единичный вектор обозначается ω вместо e .

Экспоненциальное отображение из 𝔰𝔬(3) в SO(3)

Экспоненциальное отображение осуществляет преобразование из представления вращения по оси и углу в матрицы вращения , $${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {so}}(3)\to \mathrm {SO} (3)\,.}$$

По сути, используя разложение Тейлора, можно получить замкнутую форму связи между этими двумя представлениями. При наличии единичного вектора, представляющего единичную ось вращения, и угла θ ∈ R эквивалентная матрица вращения R задается следующим образом, где K — матрица векторного произведения ω , то есть Kv = ω × v для всех векторов v ∈ R ³ , ${\textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in {\mathfrak {so}}(3)=\mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle R=\exp(\theta \mathbf {K} )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\theta \mathbf {K} )^{k}}{k!}}=I+\theta \mathbf {K} +{\frac {1}{2!}}(\theta \mathbf {K} )^{2}+{\frac {1}{3!}}(\theta \mathbf {K} )^{3}+\cdots }$$

Поскольку K кососимметричен, а сумма квадратов его элементов, расположенных над диагональю, равна 1, характеристический многочлен P ( t ) матрицы K равен P ( t ) = det( K − t I ) = −( t ³ + t ) . Поскольку по теореме Кэли–Гамильтона P ( K ) = 0, это означает, что В результате K ⁴ = – K ² , K ⁵ = K , K ⁶ = K ² , K ⁷ = – K . $${\displaystyle \mathbf {K} ^{3}=-\mathbf {K} \,.}$$

Этот циклический шаблон продолжается бесконечно, и поэтому все более высокие степени K могут быть выражены через K и K ² . Таким образом, из приведенного выше уравнения следует, что это так, $${\displaystyle R=I+\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)\mathbf {K} +\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)\mathbf {K} ^{2}\,,}$$ $${\displaystyle R=I+(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\,,}$$

по формуле ряда Тейлора для тригонометрических функций .

Это вывод алгебры Ли, в отличие от геометрического вывода в статье Формула вращения Родригеса . ^[1]

В связи с существованием вышеупомянутой экспоненциальной карты единичный вектор ω, представляющий ось вращения, и угол θ иногда называют экспоненциальными координатами матрицы вращения R.

Логарифмическая карта из SO(3) в 𝔰𝔬(3)

Пусть K по-прежнему обозначает матрицу 3 × 3, которая осуществляет векторное произведение с осью вращения ω : K ( v ) = ω × v для всех векторов v в дальнейшем.

Чтобы получить представление оси-угла матрицы вращения , вычислите угол поворота из следа матрицы вращения : а затем используйте его для нахождения нормализованной оси, $${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\operatorname {Tr} (R)-1}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2\sin \theta }}{\begin{bmatrix}R_{32}-R_{23}\\R_{13}-R_{31}\\R_{21}-R_{12}\end{bmatrix}}~,}$$

где — компонент матрицы поворота, в -й строке и -м столбце. ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Представление оси-угла не является уникальным, поскольку поворот примерно на равняется повороту примерно на . ${\displaystyle -\theta }$ ${\displaystyle -{\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Вышеуказанный расчет вектора оси не работает, если R симметричен. В общем случае можно найти, используя нулевое пространство RI , см. матрицу вращения#Определение оси . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Матричный логарифм матрицы вращения R равен $${\displaystyle \log R={\begin{cases}0&{\text{if }}\theta =0\\{\dfrac {\theta }{2\sin \theta }}\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)&{\text{if }}\theta \neq 0{\text{ and }}\theta \in (-\pi ,\pi )\end{cases}}}$$

Исключение возникает, когда R имеет собственные значения, равные −1 . В этом случае логарифм не является уникальным. Однако даже в случае, когда θ = π, норма Фробениуса логарифма равна При заданных матрицах вращения A и B , — геодезическое расстояние на трехмерном многообразии матриц вращения. $${\displaystyle \|\log(R)\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {2}}|\theta |\,.}$$ $${\displaystyle d_{g}(A,B):=\left\|\log \left(A^{\mathsf {T}}B\right)\right\|_{\mathrm {F} }}$$

Для малых вращений приведенное выше вычисление θ может быть численно неточным, поскольку производная arccos стремится к бесконечности при θ → 0. В этом случае внеосевые члены фактически предоставят лучшую информацию о θ , поскольку для малых углов R ≈ I + θ K . (Это потому, что это первые два члена ряда Тейлора для exp( θ K ) .)

Эта формулировка также имеет численные проблемы при θ = π , где внеосевые члены не дают информации об оси вращения (которая все еще определена с точностью до неоднозначности знака). В этом случае мы должны пересмотреть приведенную выше формулу.

$${\displaystyle R=I+\mathbf {K} \sin \theta +\mathbf {K} ^{2}(1-\cos \theta )}$$При θ = π имеем и, таким образом, пусть диагональные члены B являются квадратами элементов ω , а знаки (с точностью до неоднозначности знаков) можно определить из знаков внеосевых членов  B. $${\displaystyle R=I+2\mathbf {K} ^{2}=I+2({\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I)=2{\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I}$$ $${\displaystyle B:={\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}(R+I)\,,}$$

Единичные кватернионы

Следующее выражение преобразует координаты ось-угол в версоры (единичные кватернионы ): $${\displaystyle \mathbf {q} =\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},{\boldsymbol {\omega }}\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)}$$

Учитывая, что вектор q = r + v представлен скаляром r и вектором v , координаты ось-угол можно извлечь с помощью следующего: $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arccos r\\[8px]{\boldsymbol {\omega }}&={\begin{cases}{\dfrac {\mathbf {v} }{\sin {\tfrac {\theta }{2}}}},&{\text{if }}\theta \neq 0\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Более численно устойчивое выражение угла поворота использует функцию atan2 : где | v | — евклидова норма 3-вектора v . $${\displaystyle \theta =2\operatorname {atan2} (|\mathbf {v} |,r)\,,}$$

Смотрите также

• Однородные координаты
• Псевдовектор
• Вращения без матрицы
• Теория винтов , представление движений и скоростей твердого тела с использованием концепций скручиваний, винтов и гаечных ключей.

Ссылки

1. Это справедливо для триплетного представления группы вращений, т. е. спина 1. Для более многомерных представлений/спинов см. Curtright, TL ; Fairlie, DB ; Zachos, CK (2014). "Компактная формула для вращений как полиномов спиновой матрицы". SIGMA . 10 : 084. arXiv : 1402.3541 . Bibcode :2014SIGMA..10..084C. doi :10.3842/SIGMA.2014.084. S2CID  18776942.