Теорема Брауна о представимости

О представимости контравариантного функтора на категории связных CW-комплексов

В математике теорема Брауна о представимости в теории гомотопий ^[1] дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы контравариантный функтор F на гомотопической категории Hotc точечных связных CW-комплексов , в категории множеств Set , был представимым функтором .

Более конкретно, нам дано

F : Hotc ^op → Set ,

и существуют определенные, очевидно, необходимые условия для того, чтобы F имело тип Hom (—, C ), где C — это точечный связный CW-комплекс, который может быть выведен только из теории категорий . Утверждение содержательной части теоремы состоит в том, что эти необходимые условия являются достаточными. По техническим причинам теорема часто формулируется для функторов в категорию точечных множеств ; другими словами, множествам также задается базовая точка.

Теорема Брауна о представимости для комплексов CW

Теорема представимости для комплексов CW, принадлежащая Эдгару Х. Брауну [ ^2] , следующая. Предположим, что:

1. Функтор F отображает копроизведения (т.е. суммы клиньев ) в Hotc в произведения в Set : ${\displaystyle F(\vee _{\alpha }X_{\alpha })\cong \prod _{\alpha }F(X_{\alpha }),}$
2. Функтор F отображает гомотопические выталкивания в Hotc в слабые выталкивания . Это часто формулируется как аксиома Майера–Виеториса : для любого CW-комплекса W, покрытого двумя подкомплексами U и V , и любых элементов u ∈ F ( U ), v ∈ F ( V ) таких, что u и v ограничиваются одним и тем же элементом F ( U ∩ V ), существует элемент w ∈ F ( W ), ограничивающийся u и v соответственно.

Тогда F представим некоторым CW-комплексом C , то есть существует изоморфизм

F ( Z ) ≅ Hom _Hotc ( Z , C )

для любого CW-комплекса Z , что естественно в Z , поскольку для любого морфизма из Z в другой CW-комплекс Y индуцированные отображения F ( Y ) → F ( Z ) и Hom _Hot ( Y , C ) → Hom _Hot ( Z , C ) совместимы с этими изоморфизмами.

Обратное утверждение также справедливо: любой функтор, представленный комплексом CW, удовлетворяет двум вышеуказанным свойствам. Это направление является непосредственным следствием базовой теории категорий, поэтому более глубокая и интересная часть эквивалентности — это другая импликация.

Можно показать, что представленный выше объект C функториально зависит от F : любое естественное преобразование из F в другой функтор, удовлетворяющий условиям теоремы, обязательно индуцирует отображение представленных объектов. Это следствие леммы Йонеды .

Если взять F ( X ) как особую группу когомологий H ⁱ ( X , A ) с коэффициентами в заданной абелевой группе A , для фиксированного i > 0; тогда представляющее пространство для F — это пространство Эйленберга–Маклейна K ( A , i ). Это дает способ показать существование пространств Эйленберга–Маклейна.

Варианты

Поскольку гомотопическая категория CW-комплексов эквивалентна локализации категории всех топологических пространств в слабых гомотопических эквивалентностях , теорема может быть эквивалентно сформулирована для функторов на категории, определенной таким образом.

Однако теорема неверна без ограничения связными пунктированными пространствами, и аналогичное утверждение для непунктированных пространств также неверно. ^[3]

Однако аналогичное утверждение справедливо для спектров вместо комплексов CW. Браун также доказал общую категорную версию теоремы о представимости ^[4] , которая включает как версию для точечных связных комплексов CW, так и версию для спектров.

Версия теоремы о представимости в случае триангулированных категорий принадлежит Амнону Ниману. ^[5] Вместе с предыдущим замечанием она дает критерий для (ковариантного) функтора F : C → D между триангулированными категориями, удовлетворяющими определенным техническим условиям, чтобы иметь правый сопряженный функтор . А именно, если C и D являются триангулированными категориями с компактно порожденным C и F триангулированным функтором, коммутирующим с произвольными прямыми суммами, то F является левым сопряженным. Ниман применил это для доказательства теоремы двойственности Гротендика в алгебраической геометрии.

Якоб Лурье доказал версию теоремы Брауна о представимости ^[6] для гомотопической категории точечной квазикатегории с компактным набором образующих, которые являются когрупповыми объектами в гомотопической категории. Например, это применимо к гомотопической категории точеных связных CW-комплексов, а также к неограниченной производной категории абелевой категории Гротендика (ввиду более категоричного уточнения Лурье производной категории).

Ссылки

1. Свитцер, Роберт М. (2002), Алгебраическая топология --- гомотопия и гомология , Классика математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 152–157, ISBN 978-3-540-42750-6, г-н  1886843
2. Браун, Эдгар Х. (1962), «Теории когомологий», Annals of Mathematics , вторая серия, 75 : 467–484, doi : 10.2307/1970209, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970209, MR  0138104
3. Фрейд, Питер; Хеллер, Алекс (1993), «Расщепление гомотопических идемпотентов. II.», Журнал чистой и прикладной алгебры , 89 (1–2): 93–106, doi : 10.1016/0022-4049(93)90088-b
4. Браун, Эдгар Х. (1965), «Абстрактная теория гомотопий», Труды Американского математического общества , 119 (1): 79–85, doi : 10.2307/1994231
5. Ниман, Амнон (1996), «Теорема двойственности Гротендика через методы Боусфилда и представимость Брауна», Журнал Американского математического общества , 9 (1): 205–236, doi : 10.1090/S0894-0347-96-00174-9 , ISSN  0894-0347, MR  1308405
6. Лурье, Якоб (2011), Высшая алгебра (PDF) , архивировано из оригинала (PDF) 2011-06-09