Преобразование Лежандра

Математическое преобразование

Функция определена на интервале . Для данного разность принимает максимум при . Таким образом, преобразование Лежандра есть . ${\displaystyle f(x)}$ ${\textstyle [a,b]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle px-f(x)}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f^{*}(p)=px'-f(x')}$

В математике преобразование Лежандра (или преобразование Лежандра ), впервые введенное Адрианом-Мари Лежандром в 1787 году при изучении задачи о минимальной поверхности, [ 1 ^] представляет собой инволютивное преобразование вещественнозначных функций, выпуклых относительно действительной переменной. В частности, если вещественная функция многих переменных является выпуклой относительно одной из своих независимых действительных переменных, то к этой функции применимо преобразование Лежандра по отношению к этой переменной.

В физических задачах преобразование Лежандра используется для преобразования функций одной величины (например, положения, давления или температуры) в функции сопряженной величины (импульса, объема и энтропии соответственно). Таким образом, он обычно используется в классической механике для вывода гамильтонова формализма из лагранжева формализма (или наоборот) и в термодинамике для вывода термодинамических потенциалов , а также при решении дифференциальных уравнений нескольких переменных.

Для достаточно гладких функций на действительной прямой преобразование Лежандра функции может быть задано с точностью до аддитивной константы при условии, что первые производные функций являются обратными функциями друг друга. Это можно выразить в обозначениях производной Эйлера как ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle Df(\cdot )=\left(Df^{*}\right)^{-1}(\cdot )~,}$$

${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle (\phi )^{-1}(\cdot )}$ ${\displaystyle (\phi )^{-1}(\phi (x))=x}$

или, что то же самое, как и в обозначениях Лагранжа . ${\displaystyle f'(f^{*\prime }(x^{*}))=x^{*}}$ ${\displaystyle f^{*\prime }(f'(x))=x}$

Обобщение преобразования Лежандра на аффинные пространства и невыпуклые функции известно как выпуклое сопряжение (также называемое преобразованием Лежандра – Фенхеля), которое можно использовать для построения выпуклой оболочки функции .

Определение

Определение в ℝ

Пусть – интервал и выпуклая функция ; тогда преобразование Лежандра - это функция , определяемая формулой ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}:I^{*}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x)),\ \ \ \ I^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} :f^{*}(x^{*})<\infty \right\}~}$$

верхнюю грань ${\textstyle \sup }$ ${\displaystyle I}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle I}$ ${\textstyle x^{*}x-f(x)}$ ${\textstyle x^{*}}$ ${\textstyle x^{*}}$ ${\displaystyle x^{*}x-f(x)}$ ${\textstyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$

Преобразование всегда четко определено, если является выпуклым . Это определение должно быть ограничено сверху , чтобы супремум существовал. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x^{*}x-f(x)}$ ${\displaystyle X}$

Определение в ℝ n

Обобщение на выпуклые функции на выпуклом множестве является простым: имеет область определения ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{*}:X^{*}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle X^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x))<\infty \right\}}$$

$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x)),\quad x^{*}\in X^{*}~,}$$

произведение ${\displaystyle \langle x^{*},x\rangle }$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle x}$

Функция называется выпуклой сопряженной функцией . По историческим причинам (коренным в аналитической механике) сопряженную переменную часто обозначают вместо . Если выпуклая функция определена на всей прямой и всюду дифференцируема , то ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f^{*}(p)=\sup _{x\in I}(px-f(x))=\left(px-f(x)\right)|_{x=(f')^{-1}(p)}}$$

пересеченияграфику , ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

Преобразование Лежандра — это применение отношения двойственности между точками и линиями. Функциональная связь, заданная параметром, может быть одинаково хорошо представлена ​​как набор точек или как набор касательных линий, заданных их значениями наклона и пересечения. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Понимание преобразования Лежандра с точки зрения производных

Для дифференцируемой выпуклой функции на действительной прямой с первой производной и ее обратной , преобразование Лежандра , может быть задано с точностью до аддитивной константы при условии, что первые производные функций являются обратными функциями друг друга, т.е. , и . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle (f')^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f'=((f^{*})')^{-1}}$ ${\displaystyle (f^{*})'=(f')^{-1}}$

Чтобы убедиться в этом, сначала обратите внимание, что если выпуклая функция на действительной прямой дифференцируема и является критической точкой функции , то верхняя грань достигается при (по выпуклости см. первый рисунок на этой странице Википедии). Следовательно, преобразование Лежандра равно . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {x}}}$ ${\displaystyle x\mapsto p\cdot x-f(x)}$ ${\textstyle {\overline {x}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}(p)=p\cdot {\overline {x}}-f({\overline {x}})}$

Затем предположим, что первая производная обратима, а обратная равна . Тогда для каждого точка является единственной критической точкой функции (т. е. ), поскольку и первая производная функции по at равна . Следовательно, у нас есть для каждого . Дифференцируя по , находим ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle g=(f')^{-1}}$ ${\textstyle p}$ ${\displaystyle g(p)}$ ${\textstyle {\overline {x}}}$ ${\displaystyle x\mapsto px-f(x)}$ ${\displaystyle {\overline {x}}=g(p)}$ ${\displaystyle f'(g(p))=p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(p)}$ ${\displaystyle p-f'(g(p))=0}$ ${\displaystyle f^{*}(p)=p\cdot g(p)-f(g(p))}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle p}$

$${\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)+p\cdot g'(p)-f'(g(p))\cdot g'(p).}$$

и являются обратными друг другу ${\displaystyle f'(g(p))=p}$ ${\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)=(f')^{-1}(p)}$ ${\displaystyle (f^{*})'}$ ${\displaystyle f'}$

В общем, если как инверсия , то интегрирование дает . с константой . ${\displaystyle h'=(f')^{-1}}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle h'=(f^{*})'}$ ${\displaystyle f^{*}=h+c}$ ${\displaystyle c}$

В практических терминах, учитывая параметрический график зависимости , представляет собой график зависимости . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle xf'(x)-f(x)}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle f^{*}(p)}$ ${\displaystyle p}$

В некоторых случаях (например, термодинамические потенциалы, ниже) используется нестандартное требование, сводящееся к альтернативному определению f * со знаком минус ,

$${\displaystyle f(x)-f^{*}(p)=xp.}$$

Формальное определение в физике

В аналитической механике и термодинамике преобразование Лежандра обычно определяют следующим образом: предположим, что функция является функцией , тогда имеем ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x}$.

выполнение преобразования Лежандра для этой функции означает, что мы принимаем независимую переменную, так что приведенное выше выражение можно записать как ${\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} f=p\mathrm {d} x}$,

и по правилу Лейбница тогда имеем ${\displaystyle \mathrm {d} (uv)=u\mathrm {d} v+v\mathrm {d} u}$

${\displaystyle \mathrm {d} \left(xp-f\right)=x\mathrm {d} p}$,

и взяв , имеем , а это значит ${\displaystyle f^{*}=xp-f}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f^{*}=x\mathrm {d} p}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f^{*}}{\mathrm {d} p}}=x.}$

Когда есть функция переменных , то мы можем выполнить преобразование Лежандра над каждой одной или несколькими переменными: имеем ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$

${\displaystyle \mathrm {d} f=p_{1}\mathrm {d} x_{1}+p_{2}\mathrm {d} x_{2}+\cdots +p_{n}\mathrm {d} x_{n}}$

где . Тогда, если мы хотим выполнить преобразование Лежандра, например , тогда мы берем вместе с как независимые переменные, и с помощью правила Лейбница мы имеем ${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle x_{2},\cdots ,x_{n}}$

${\displaystyle \mathrm {d} (f-x_{1}p_{1})=-x_{1}\mathrm {d} p_{1}+p_{2}\mathrm {d} x_{2}+\cdots +p_{n}\mathrm {d} x_{n}}$.

поэтому для функции у нас есть ${\displaystyle \varphi (p_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})-x_{1}p_{1}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial p_{1}}}=-x_{1},\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}=p_{2},\quad \cdots ,\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}=p_{n}}$.

Мы также можем выполнить это преобразование для переменных . Если мы проделаем это со всеми переменными, то мы получим ${\displaystyle x_{2},\cdots ,x_{n}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi =-x_{1}\mathrm {d} p_{1}-x_{2}\mathrm {d} p_{2}-\cdots -x_{n}\mathrm {d} p_{n}}$где . ${\displaystyle \varphi =f-x_{1}p_{1}-x_{2}p_{2}-\cdots -x_{n}p_{n}}$

В аналитической механике люди выполняют это преобразование переменных лагранжиана , чтобы получить гамильтониан: ${\displaystyle {\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\cdots ,{\dot {q}}_{n}}$ ${\displaystyle L(q_{1},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\cdots ,{\dot {q}}_{n})}$

${\displaystyle H(q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q_{1},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1}\cdots ,{\dot {q}}_{n})}$

а в термодинамике люди выполняют это преобразование переменных в соответствии с типом термодинамической системы, который им нужен. Например, исходя из кардинальной функции состояния, внутренней энергии , мы имеем ${\displaystyle U(S,V)}$

${\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V}$,

мы можем выполнить преобразование Лежандра для одного или обоих из результатов ${\displaystyle S,V}$

${\displaystyle \mathrm {d} H=\mathrm {d} (U+pV)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ \ \ \ T\mathrm {d} S+V\mathrm {d} p}$

${\displaystyle \mathrm {d} F=\mathrm {d} (U-TS)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-S\mathrm {d} T-p\mathrm {d} V}$

${\displaystyle \mathrm {d} G=\mathrm {d} (U-TS+pV)=-S\mathrm {d} T+V\mathrm {d} p}$

и каждое из этих трёх выражений имеет физический смысл.

Это определение преобразования Лежандра первоначально было введено Лежандром в его работе в 1787 году ^[1] и до сих пор применяется физиками. Действительно, это определение может быть математически строгим, если мы будем рассматривать все переменные и функции, определенные выше, например, как дифференцируемые функции, определенные на открытом множестве или на дифференцируемом многообразии, и их дифференциалы (которые рассматриваются как кокасательное векторное поле в контексте дифференцируемое многообразие). И это определение эквивалентно определению современных математиков, пока оно дифференцируемо и выпукло для переменных . ${\displaystyle f,x_{1},\cdots ,x_{n},p_{1},\cdots ,p_{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f,\mathrm {d} x_{i},\mathrm {d} p_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$

Характеристики

• Преобразование Лежандра выпуклой функции, все значения двойной производной которой положительны, также является выпуклой функцией, все значения двойной производной которой положительны.
  Доказательство. Покажем это на примере дважды дифференцируемой функции со всеми положительными значениями двойной производной и с биективной (обратимой) производной. ${\displaystyle f(x)}$
  Для фиксированного максимизируем или ограничиваем функцию . Тогда преобразование Лежандра есть , таким образом, ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle px-f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}(p)=p{\bar {x}}-f({\bar {x}})}$
  $${\displaystyle f'({\bar {x}})=p}$$
  по максимизирующему или ограничивающему условию . Обратите внимание, это зависит от . (Наглядно это можно показать на первом рисунке этой страницы выше.) ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(px-f(x))=p-f'(x)=0}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle p}$
  Таким образом , где , что означает, что это обратное значение , является производной от (так что ). ${\displaystyle {\bar {x}}=g(p)}$ ${\displaystyle g\equiv (f')^{-1}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'(g(p))=p}$
  Обратите внимание, что это также дифференцируемо со следующей производной (правило обратной функции) : ${\displaystyle g}$
  $${\displaystyle {\frac {dg(p)}{dp}}={\frac {1}{f''(g(p))}}~.}$$
  Таким образом, преобразование Лежандра представляет собой композицию дифференцируемых функций, следовательно, оно дифференцируемо. ${\displaystyle f^{*}(p)=pg(p)-f(g(p))}$
  Применение правила произведения и правила цепочки с найденными равенствами дает результаты ${\displaystyle {\bar {x}}=g(p)}$
  $${\displaystyle {\frac {d(f^{*})}{dp}}=g(p)+\left(p-f'(g(p))\right)\cdot {\frac {dg(p)}{dp}}=g(p),}$$
  предоставление
  $${\displaystyle {\frac {d^{2}(f^{*})}{dp^{2}}}={\frac {dg(p)}{dp}}={\frac {1}{f''(g(p))}}>0,}$$
  so является выпуклым, все его двойные производные положительны. ${\displaystyle f^{*}}$
• Преобразование Лежандра является инволюцией , т. е. . ${\displaystyle f^{**}=f~}$
  Доказательство. Используя приведенные выше тождества как , и ее производную , ${\displaystyle f'({\bar {x}})=p}$ ${\displaystyle {\bar {x}}=g(p)}$ ${\displaystyle f^{*}(p)=p{\bar {x}}-f({\bar {x}})}$ ${\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{**}(y)&{}=\left(y\cdot {\bar {p}}-f^{*}({\bar {p}})\right)|_{(f^{*})'({\bar {p}})=y}\\[5pt]&{}=g({\bar {p}})\cdot {\bar {p}}-f^{*}({\bar {p}})\\[5pt]&{}=g({\bar {p}})\cdot {\bar {p}}-({\bar {p}}g({\bar {p}})-f(g({\bar {p}})))\\[5pt]&{}=f(g({\bar {p}}))\\[5pt]&{}=f(y)~.\end{aligned}}}$$
  Обратите внимание, что этот вывод не требует, чтобы условие имело все положительные значения в двойной производной исходной функции . ${\displaystyle f}$

Личности

Как показано выше, для выпуклой функции с максимизацией или ограничением в каждой точке для определения преобразования Лежандра и с выполняются следующие тождества. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x={\bar {x}}}$ ${\displaystyle px-f(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f^{*}(p)=p{\bar {x}}-f({\bar {x}})}$ ${\displaystyle g\equiv (f')^{-1}}$

• ${\displaystyle f'({\bar {x}})=p}$,
• ${\displaystyle {\bar {x}}=g(p)}$,
• ${\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)}$.

Примеры

Пример 1

${\displaystyle f(x)=e^{x}}$над областью показано красным, а преобразование Лежандра над областью — пунктирным синим. Обратите внимание, что преобразование Лежандра выглядит выпуклым. ${\displaystyle I=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{*}(x^{*})=x^{*}(\ln(x^{*})-1)}$ ${\displaystyle I^{*}=(0,\infty )}$

Рассмотрим показательную функцию , имеющую область определения . По определению преобразование Лежандра имеет вид ${\displaystyle f(x)=e^{x},}$ ${\displaystyle I=\mathbb {R} }$

$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in \mathbb {R} }(x^{*}x-e^{x}),\quad x^{*}\in I^{*}}$$

супремум ${\displaystyle I^{*}}$ ${\displaystyle x^{*}x-e^{x}}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{*}x-e^{x})=x^{*}-e^{x}=0.}$$

производная ${\displaystyle -e^{x}}$ ${\displaystyle x=\ln(x^{*})}$

$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=x^{*}\ln(x^{*})-e^{\ln(x^{*})}=x^{*}(\ln(x^{*})-1)}$$

области ${\displaystyle I^{*}=(0,\infty ).}$

Чтобы найти преобразование Лежандра преобразования Лежандра , ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f^{**}(x)=\sup _{x^{*}\in \mathbb {R} }(xx^{*}-x^{*}(\ln(x^{*})-1)),\quad x\in I,}$$

инволюции ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f^{**}}$ ${\displaystyle f^{**}=f}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {d}{dx^{*}}}{\big (}xx^{*}-x^{*}(\ln(x^{*})-1){\big )}=x-\ln(x^{*})\end{aligned}}}$$

${\displaystyle x^{*}=e^{x}}$ ${\displaystyle {\frac {d^{2}}{{dx^{*}}^{2}}}f^{**}(x)=-{\frac {1}{x^{*}}}<0}$ ${\displaystyle f^{**}}$ ${\displaystyle I^{*}=(0,\infty ).}$ ${\displaystyle f^{**}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f^{**}(x)&=xe^{x}-e^{x}(\ln(e^{x})-1)=e^{x},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle f=f^{**},}$

Пример 2

Пусть f ( x ) = cx ² определено на R , где c > 0 — фиксированная константа.

При фиксированном x * функция x , x * x - f ( x ) = x * x - cx ² имеет первую производную x * - 2 cx и вторую производную -2 c ; существует одна стационарная точка x = x */2 c , которая всегда является максимумом.

Таким образом, I * = R и

$${\displaystyle f^{*}(x^{*})={\frac {{x^{*}}^{2}}{4c}}~.}$$

Первые производные f , 2 cx и f * , x */(2 c ) являются обратными функциями друг друга. Очевидно, кроме того,

$${\displaystyle f^{**}(x)={\frac {1}{4(1/4c)}}x^{2}=cx^{2}~,}$$

ж ** = ж

Пример 3

Пусть f ( x ) = x ² для x ∈ ( I = [2, 3]) .

При фиксированном x * x − f ( x ) непрерывен на I компакте , следовательно , он всегда принимает на нем конечный максимум; отсюда следует, что областью преобразования Лежандра является I * = R . ${\displaystyle f}$

Стационарная точка x = x */2 (найденная путем установки, что первая производная x * x − f ( x ) по отношению к нулю) находится в области [2, 3] тогда и только тогда, когда 4 ≤ x * ≤ 6 . В противном случае максимум берется либо при x = 2, либо при x = 3 , поскольку вторая производная x * x − f ( x ) по отрицательна как ; для части области максимум, который может принять x * x − f ( x ) по отношению к , получается при , в то время как для он становится максимальным при . Таким образом, следует, что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -2}$ ${\displaystyle x^{*}<4}$ ${\displaystyle x\in [2,3]}$ ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle x^{*}>6}$ ${\displaystyle x=3}$

$${\displaystyle f^{*}(x^{*})={\begin{cases}2x^{*}-4,&x^{*}<4\\{\frac {{x^{*}}^{2}}{4}},&4\leq x^{*}\leq 6,\\3x^{*}-9,&x^{*}>6.\end{cases}}}$$

Пример 4

Функция f ( x ) = cx является выпуклой для любого x (строгая выпуклость не требуется для корректного определения преобразования Лежандра). Очевидно , x * x - f ( x ) = ( x * - c ) x никогда не ограничена сверху как функция от x , если только x * - c = 0 . Следовательно, f * определено на I * = { c } и f *( c ) = 0 . (Определение преобразования Лежандра требует существования супремума , что требует верхних границ.)

Можно проверить инволютивность: конечно, x * x − f *( x *) всегда ограничена как функция от x *ε{ c } , следовательно, I ** = R . Тогда для всех x имеем

$${\displaystyle \sup _{x^{*}\in \{c\}}(xx^{*}-f^{*}(x^{*}))=xc,}$$

ж **( Икс ) знак равно cx знак равно ж ( Икс )

Пример 5: несколько переменных

Позволять

$${\displaystyle f(x)=\langle x,Ax\rangle +c}$$

X = Rn ^,A

Тогда f выпукло и

$${\displaystyle \langle p,x\rangle -f(x)=\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c,}$$

p − 2 Axгессиан −2 Ax = A ⁻¹ p /2

Имеем X * = Rn ^, и

$${\displaystyle f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c.}$$

Поведение дифференциалов при преобразованиях Лежандра

Преобразование Лежандра связано с интегрированием по частям : p dx = d ( px ) − x dp .

Пусть f ( x , y ) — функция двух независимых переменных x и y с дифференциалом

$${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy=p\,dx+v\,dy.}$$

Предположим, что функция f является выпуклой по x для всех y , так что можно выполнить преобразование Лежандра для f в x , где p — переменная, сопряженная с x (для информации, существует отношение, где точка в x максимизирует или делает ограничено для данных p и y ). Поскольку новой независимой переменной преобразования по отношению к f является p , дифференциалы dx и dy в df переходят в dp и dy в дифференциале преобразования, т.е. мы строим другую функцию с ее дифференциалом, выраженным через новый базис. дп и ди . ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}|_{\bar {x}}=p}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle px-f(x,y)}$

Таким образом, мы рассматриваем функцию g ( p , y ) = f − px так, что

$${\displaystyle dg=df-p\,dx-x\,dp=-x\,dp+v\,dy}$$

$${\displaystyle x=-{\frac {\partial g}{\partial p}}}$$

$${\displaystyle v={\frac {\partial g}{\partial y}}.}$$

Функция −g ( p , y ) является преобразованием Лежандра функции f ( x , y ) , где только независимая переменная x была заменена на p . Это широко используется в термодинамике , как показано ниже.

Приложения

Аналитическая механика

Преобразование Лежандра используется в классической механике для вывода гамильтоновой формулировки из лагранжевой формулировки и наоборот. Типичный лагранжиан имеет вид

$${\displaystyle L(v,q)={\tfrac {1}{2}}\langle v,Mv\rangle -V(q),}$$

^–Rn × RnM ^– ${\displaystyle (v,q)}$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{j}x_{j}y_{j}.}$$

При каждом фиксированном q является выпуклой функцией от , а играет роль константы. ${\displaystyle L(v,q)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V(q)}$

Следовательно, преобразование Лежандра как функция является функцией Гамильтона: ${\displaystyle L(v,q)}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle H(p,q)={\tfrac {1}{2}}\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q).}$$

В более общей ситуации — локальные координаты на касательном расслоении многообразия . Для каждого q является выпуклой функцией касательного пространства V _q . Преобразование Лежандра дает гамильтониан как функцию координат ( p , q ) кокасательного расслоения ; внутренний продукт, используемый для определения преобразования Лежандра, наследуется от соответствующей канонической симплектической структуры . В этой абстрактной постановке преобразование Лежандра соответствует тавтологической форме . ^{[ нужны дальнейшие объяснения ]} ${\displaystyle (v,q)}$ ${\displaystyle T{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle L(v,q)}$ ${\displaystyle H(p,q)}$ ${\displaystyle T^{*}{\mathcal {M}}}$

Термодинамика

Стратегия использования преобразований Лежандра в термодинамике заключается в переходе от функции, зависящей от переменной, к новой (сопряженной) функции, которая зависит от новой переменной, сопряженной исходной. Новая переменная является частной производной исходной функции по исходной переменной. Новая функция — это разница между исходной функцией и произведением старой и новой переменных. Обычно это преобразование полезно, поскольку оно смещает зависимость, например, энергии от экстенсивной переменной к сопряженной ей интенсивной переменной, которой часто легче управлять в физическом эксперименте.

Например, внутренняя энергия U является явной функцией обширных переменных энтропии S , объема V и химического состава N _i (например, ) ${\displaystyle i=1,2,3,\ldots }$

$${\displaystyle U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\right),}$$

$${\displaystyle dU=T\,dS-P\,dV+\sum \mu _{i}\,dN_{i}}$$

где . ${\displaystyle T=\left.{\frac {\partial U}{\partial S}}\right\vert _{V,N_{i\ for\ all\ i\ values}},P=\left.-{\frac {\partial U}{\partial V}}\right\vert _{S,N_{i\ for\ all\ i\ values}},\mu _{i}=\left.{\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\right\vert _{S,V,N_{j\ for\ all\ j\neq i}}}$

(Нижние индексы не обязательны по определению частных производных, но оставлены здесь для пояснения переменных.) Установив некоторое общее эталонное состояние, используя (нестандартное) преобразование Лежандра внутренней энергии U по отношению к объему V , энтальпия H может быть получено следующим образом.

Чтобы получить (стандартное) преобразование Лежандра внутренней энергии U относительно объема V , сначала определяется функция , затем она должна быть максимизирована или ограничена V. Для этого необходимо выполнить условие , так и получается. Этот подход оправдан, поскольку U является линейной функцией относительно V (то есть выпуклой функцией на V ) по определению обширных переменных . Нестандартное преобразование Лежандра здесь получается отрицанием стандартной версии, поэтому . ${\textstyle U^{*}}$ ${\textstyle u\left(p,S,V,\{{{N}_{i}}\}\right)=pV-U}$ ${\textstyle {\frac {\partial u}{\partial V}}=p-{\frac {\partial U}{\partial V}}=0\to p={\frac {\partial U}{\partial V}}}$ ${\textstyle U^{*}={\frac {\partial U}{\partial V}}V-U}$ ${\textstyle -U^{*}=H=U-{\frac {\partial U}{\partial V}}V=U+PV}$

H определенно является функцией состояния , поскольку она получается путем добавления PV ( P и V как переменные состояния ) к функции состояния , поэтому ее дифференциал является точным дифференциалом . В силу того, что это должен быть точный дифференциал, . ${\textstyle U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\right)}$ ${\textstyle dH=T\,dS+V\,dP+\sum \mu _{i}\,dN_{i}}$ ${\displaystyle H=H(S,P,\{N_{i}\})}$

Энтальпия подходит для описания процессов, в которых давление контролируется из окружающей среды.

Аналогично можно сместить зависимость энергии от экстенсивной переменной энтропии S к (часто более удобной) интенсивной переменной T , что приведет к свободным энергиям Гельмгольца и Гиббса . Свободная энергия Гельмгольца A и энергия Гиббса G получаются путем выполнения преобразований Лежандра внутренней энергии и энтальпии соответственно:

$${\displaystyle A=U-TS~,}$$

$${\displaystyle G=H-TS=U+PV-TS~.}$$

Свободная энергия Гельмгольца часто является наиболее полезным термодинамическим потенциалом, когда температура и объем контролируются из окружающей среды, тогда как энергия Гиббса часто является наиболее полезной, когда температура и давление контролируются из окружающей среды.

Переменный конденсатор

В качестве еще одного примера из физики рассмотрим конденсатор с параллельными проводящими пластинами , в котором пластины могут перемещаться относительно друг друга. Такой конденсатор позволит передавать электрическую энергию, запасенную в конденсаторе, во внешнюю механическую работу, совершаемую силой, действующей на обкладки. Электрический заряд можно рассматривать как аналог «заряда» газа в цилиндре , результирующая механическая сила которого действует на поршень .

Вычислите силу, действующую на пластины, как функцию x — расстояния, разделяющего их. Чтобы найти силу, вычислите потенциальную энергию, а затем примените определение силы как градиента функции потенциальной энергии.

Электростатическая потенциальная энергия , запасенная в конденсаторе емкостью C ( x ) и положительный электрический заряд + Q или отрицательный заряд - Q на каждой проводящей пластине равна (с использованием определения емкости как ), ${\textstyle C={\frac {Q}{V}}}$

$${\displaystyle U(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}QV(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}{\frac {Q^{2}}{C(\mathbf {x} )}},~}$$

где зависимость от площади пластин, диэлектрической проницаемости изоляционного материала между пластинами и расстояния x абстрагируются как емкость C ( x ) . (Для конденсатора с параллельными пластинами это пропорционально площади пластин и обратно пропорционально их разделению.)

Тогда сила F между пластинами, возникающая из-за электрического поля, создаваемого разделением зарядов, равна

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU}{d\mathbf {x} }}~.}$$

Если конденсатор не подключен к какой-либо электрической цепи, то электрические заряды на обкладках остаются постоянными, а напряжение изменяется при движении обкладок относительно друг друга, а сила представляет собой отрицательный градиент электростатической потенциальной энергии как

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}{\frac {Q^{2}}{{C(\mathbf {x} )}^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}V(\mathbf {x} )^{2}}$$

где в этой конфигурации заряд фиксирован. ${\textstyle V(Q,\mathbf {x} )=V(\mathbf {x} )}$

Однако вместо этого предположим, что напряжение между пластинами V поддерживается постоянным по мере движения пластины за счет подключения к батарее , которая является резервуаром для электрических зарядов при постоянной разности потенциалов. Тогда количество зарядов является переменной , а не напряжением; и являются сопряженными друг другу Лежандра. Чтобы найти силу, сначала вычислите нестандартное преобразование Лежандра относительно (также с помощью ), ${\textstyle Q}$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle U^{*}}$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle C={\frac {Q}{V}}}$

$${\displaystyle U^{*}=U-\left.{\frac {\partial U}{\partial Q}}\right|_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-{\frac {1}{2C(\mathbf {x} )}}\left.{\frac {\partial Q^{2}}{\partial Q}}\right|_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-QV={\frac {1}{2}}QV-QV=-{\frac {1}{2}}QV=-{\frac {1}{2}}V^{2}C(\mathbf {x} ).}$$

Это преобразование возможно, потому что теперь оно является линейной функцией и поэтому выпукло на нем. Теперь сила становится отрицательным градиентом этого преобразования Лежандра, в результате чего получается та же сила, что и исходная функция : ${\textstyle U}$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle U}$

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU^{*}}{d\mathbf {x} }}={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}V^{2}.}$$

Две сопряженные энергии оказываются противоположными друг другу (их знаки противоположны) только из-за линейности емкости — за исключением того, что теперь Q больше не является константой. Они отражают два разных пути накопления энергии в конденсаторе, что приводит, например, к одинаковому «притяжению» между обкладками конденсатора. ${\textstyle U}$ ${\textstyle U^{*}}$

Теория вероятности

В теории больших уклонений функция скорости определяется как преобразование Лежандра логарифма производящей функции момента случайной величины. Важным применением функции скорости является вычисление хвостовых вероятностей сумм случайных величин iid , в частности, в теореме Крамера .

Если это случайные переменные iid, пусть это будет ассоциированное случайное блуждание и производящая функция момента . Для , . Следовательно, по неравенству Маркова имеем для и ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}}$ ${\displaystyle M(\xi )}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle E[e^{\xi S_{n}}]=M(\xi )^{n}}$ ${\displaystyle \xi \geq 0}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle P(S_{n}/n>a)\leq e^{-n\xi a}M(\xi )^{n}=\exp[-n(\xi a-\Lambda (\xi ))]}$$

${\displaystyle \Lambda (\xi )=\log M(\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi a-\Lambda (\xi )}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle x=a}$

Микроэкономика

Преобразование Лежандра естественным образом возникает в микроэкономике в процессе определения предложения S ( P ) некоторого продукта при фиксированной цене P на рынке, зная функцию затрат C ( Q ) , то есть затраты производителя на производство/добычу/и т. д. Q единиц данного продукта.

Простая теория объясняет форму кривой предложения, основываясь исключительно на функции издержек. Предположим , что рыночная цена единицы нашего продукта равна P. Для компании, продающей этот товар, лучшая стратегия — скорректировать объем производства Q так, чтобы ее прибыль была максимизирована. Мы можем максимизировать прибыль

$${\displaystyle {\text{profit}}={\text{revenue}}-{\text{costs}}=PQ-C(Q)}$$

Q

$${\displaystyle P-C'(Q_{\text{opt}})=0.}$$

Q _opt представляет собой оптимальное количество Q товаров, которое производитель готов поставить, что на самом деле является самим предложением:

$${\displaystyle S(P)=Q_{\text{opt}}(P)=(C')^{-1}(P).}$$

Если мы рассмотрим максимальную прибыль как функцию цены, мы увидим, что это преобразование Лежандра функции затрат . ${\displaystyle {\text{profit}}_{\text{max}}(P)}$ ${\displaystyle C(Q)}$

Геометрическая интерпретация

Для строго выпуклой функции преобразование Лежандра можно интерпретировать как отображение графика функции и семейства касательных графика. (Для функции одной переменной касательные четко определены во всех точках, кроме не более чем счетного числа , поскольку выпуклая функция дифференцируема во всех точках, кроме не более чем счетного числа.)

Уравнение линии с наклоном и -пересечением имеет вид ( ) Чтобы эта линия касалась графика функции в точке, необходимо ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y=px+b.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(x_{0},f(x_{0})\right)}$

$${\displaystyle f(x_{0})=px_{0}+b}$$

$${\displaystyle p=f'(x_{0}).}$$

Будучи производной строго выпуклой функции, функция строго монотонна и, следовательно, инъективна . Второе уравнение можно решить, чтобы исключить из первого и найти точку пересечения касательной как функцию ее наклона, где обозначает преобразование Лежандра ${\displaystyle f'}$ ${\textstyle x_{0}=f^{\prime -1}(p),}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p,}$ ${\textstyle b=f(x_{0})-px_{0}=f\left(f^{\prime -1}(p)\right)-p\cdot f^{\prime -1}(p)=-f^{\star }(p)}$ ${\displaystyle f^{\star }}$ ${\displaystyle f.}$

Таким образом, семейство касательных линий, параметризованных наклоном, задается или , записанное в неявном виде, решениями уравнения ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\textstyle y=px-f^{\star }(p),}$

$${\displaystyle F(x,y,p)=y+f^{\star }(p)-px=0~.}$$

График исходной функции можно восстановить по этому семейству линий как огибающей этого семейства, потребовав

$${\displaystyle {\frac {\partial F(x,y,p)}{\partial p}}=f^{\star \prime }(p)-x=0.}$$

Исключение из этих двух уравнений дает ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle y=x\cdot f^{\star \prime -1}(x)-f^{\star }\left(f^{\star \prime -1}(x)\right).}$$

Идентификация и признание правой части предыдущего уравнения как преобразования Лежандра доходности ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f^{\star },}$ ${\textstyle f(x)=f^{\star \star }(x)~.}$

Трансформация Лежандра в нескольких измерениях

Для дифференцируемой вещественнозначной функции на открытом выпуклом подмножестве U в Rn лежандровым сопряжением пары ( U , f ) называется пара ( V , g ⁾ , где V — образ U при градиентном отображении Df , а g — функция от V , заданная формулой

$${\displaystyle g(y)=\left\langle y,x\right\rangle -f(x),\qquad x=\left(Df\right)^{-1}(y)}$$

$${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\sum _{k=1}^{n}u_{k}\cdot v_{k}}$$

является скалярным произведением на R ⁿ . Многомерное преобразование можно интерпретировать как кодирование выпуклой оболочки надграфика функции в терминах поддерживающих ее гиперплоскостей . ^[2] Это можно рассматривать как следствие следующих двух наблюдений. С одной стороны, гиперплоскость, касательная к надграфику в некоторой точке, имеет вектор нормали . С другой стороны, любое замкнутое выпуклое множество можно охарактеризовать через множество его опорных гиперплоскостей уравнениями , где – опорная функция . Но определение преобразования Лежандра посредством максимизации точно соответствует определению опорной функции, то есть . Таким образом, мы заключаем, что преобразование Лежандра характеризует надграфик в том смысле, что касательная плоскость к надграфику в любой точке явно задается формулой ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} ,f(\mathbf {x} ))\in U\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\nabla f(\mathbf {x} ),-1)\in \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {n} =h_{C}(\mathbf {n} )}$ ${\displaystyle h_{C}(\mathbf {n} )}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{*}(\mathbf {x} )=h_{\operatorname {epi} (f)}(\mathbf {x} ,-1)}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} ,f(\mathbf {x} ))}$

$${\displaystyle \{\mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n+1}:\,\,\mathbf {z} \cdot \mathbf {x} =f^{*}(\mathbf {x} )\}.}$$

Альтернативно, если X — векторное пространство , а Y — его двойственное векторное пространство , то для каждой точки x из X и y из Y существует естественная идентификация кокасательных пространств T* X _x с Y и T* Y _y с X . Если f — вещественная дифференцируемая функция над X , то ее внешняя производная df — это сечение кокасательного расслоения T* X , и поэтому мы можем построить отображение из X в Y. Аналогично, если g — вещественная дифференцируемая функция по Y , то dg определяет отображение Y в X. Если обе карты оказываются обратными друг другу, мы говорим, что имеем преобразование Лежандра. В этой ситуации обычно используется понятие тавтологической одной формы .

Когда функция недифференцируема, преобразование Лежандра все равно может быть расширено и известно как преобразование Лежандра-Фенхеля . В этом более общем случае теряются некоторые свойства: например, преобразование Лежандра больше не является обратным самому себе (если только нет дополнительных предположений, таких как выпуклость ).

Преобразование Лежандра на многообразиях

Пусть — гладкое многообразие , пусть и — векторное расслоение на и связанная с ним проекция расслоения соответственно. Пусть — гладкая функция. Мы думаем о лагранжиане по аналогии с классическим случаем, когда , и для некоторого положительного числа и функции . ${\textstyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\textstyle \pi :E\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\textstyle L:E\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle M=\mathbb {R} }$ ${\textstyle E=TM=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\textstyle L(x,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}-V(x)}$ ${\textstyle m\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle V:M\to \mathbb {R} }$

Как обычно, двойственный элемент обозначается через . Слой над обозначается , а ограничение на обозначается . Преобразование Лежандра — это гладкий морфизм ${\textstyle E}$ ${\textstyle E^{*}}$ ${\textstyle \pi }$ ${\textstyle x\in M}$ ${\textstyle E_{x}}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle E_{x}}$ ${\textstyle L|_{E_{x}}:E_{x}\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle L}$

$${\displaystyle \mathbf {F} L:E\to E^{*}}$$

${\textstyle \mathbf {F} L(v)=d(L|_{E_{x}})(v)\in E_{x}^{*}}$ ${\textstyle x=\pi (v)}$ ${\textstyle \mathbf {F} L(v)\in E_{x}^{*}}$ ${\textstyle w\in E_{x}}$ ${\textstyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}L(v+tw)\in \mathbb {R} }$

Чтобы локально описать преобразование Лежандра, пусть – координатная карта, над которой тривиально. Выбирая тривиализацию над , мы получаем диаграммы и . С точки зрения этих диаграмм мы имеем , где ${\textstyle U\subseteq M}$ ${\textstyle E}$ ${\textstyle E}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle E_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{r}}$ ${\textstyle E_{U}^{*}\cong U\times \mathbb {R} ^{r}}$ ${\textstyle \mathbf {F} L(x;v_{1},\dotsc ,v_{r})=(x;p_{1},\dotsc ,p_{r})}$

$${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial v_{i}}}(x;v_{1},\dotsc ,v_{r})}$$

^[3]Гамильтона ${\textstyle i=1,\dots ,r}$ ${\textstyle L:E\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle E_{x}}$ ${\textstyle \mathbf {F} L:E\to E^{*}}$ ${\textstyle \mathbf {F} L}$ ${\textstyle H:E^{*}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle H(p)=p\cdot v-L(v),}$$

^[3] ${\textstyle v=(\mathbf {F} L)^{-1}(p)}$ ${\textstyle E\cong E^{**}}$ ${\textstyle H}$ ${\textstyle \mathbf {F} H:E^{*}\to E}$

$${\displaystyle (\mathbf {F} L)^{-1}=\mathbf {F} H.}$$

Дополнительные свойства

Масштабирование свойств

Преобразование Лежандра имеет следующие масштабирующие свойства: Для a > 0

$${\displaystyle f(x)=a\cdot g(x)\Rightarrow f^{\star }(p)=a\cdot g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right)}$$

$${\displaystyle f(x)=g(a\cdot x)\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right).}$$

Отсюда следует, что если функция однородна степени r , то ее образ при преобразовании Лежандра является однородной функцией степени s , где 1/ r + 1/ s = 1 . (Поскольку f ( x ) = x ^r / r , при r > 1 , следует f *( p ) = p ^s / s .) Таким образом, единственный моном, степень которого инвариантна относительно преобразования Лежандра, является квадратичным.

Поведение при переводе

$${\displaystyle f(x)=g(x)+b\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-b}$$

$${\displaystyle f(x)=g(x+y)\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-p\cdot y}$$

Поведение при инверсии

$${\displaystyle f(x)=g^{-1}(x)\Rightarrow f^{\star }(p)=-p\cdot g^{\star }\left({\frac {1}{p}}\right)}$$

Поведение при линейных преобразованиях

Пусть A  : Rn → Rm ^— линейное преобразование . ^_ Для любой выпуклой функции f на Rn имеет ^место

$${\displaystyle (Af)^{\star }=f^{\star }A^{\star }}$$

A *сопряженный операторопределенный

$${\displaystyle \left\langle Ax,y^{\star }\right\rangle =\left\langle x,A^{\star }y^{\star }\right\rangle ,}$$

Af —продвижениеA

$${\displaystyle (Af)(y)=\inf\{f(x):x\in X,Ax=y\}.}$$

Замкнутая выпуклая функция f симметрична относительно заданного множества G ортогональных линейных преобразований ,

$${\displaystyle f(Ax)=f(x),\;\forall x,\;\forall A\in G}$$

тогда и только тогда, когда* симметричноG.

Инфимальная свертка

Инфимальная свертка двух функций f и g определяется как

$${\displaystyle \left(f\star _{\inf }g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\,|\,y\in \mathbf {R} ^{n}\right\}.}$$

Пусть f1 ,..., _fm — _{собственные} выпуклые функции ^на Rn . Затем

$${\displaystyle \left(f_{1}\star _{\inf }\cdots \star _{\inf }f_{m}\right)^{\star }=f_{1}^{\star }+\cdots +f_{m}^{\star }.}$$

Неравенство Фенхеля

Для любой функции f и ее выпуклой сопряженной f * неравенство Фенхеля (также известное как неравенство Фенхеля–Юнга ) выполняется для любых x ∈ X и p ∈ X * , т.е. независимых пар x , p ,

$${\displaystyle \left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{\star }(p).}$$

Смотрите также

• Двойная кривая
• Проективная двойственность
• Неравенство Юнга для продуктов
• Выпуклое сопряжение
• Теорема Моро
• Интеграция по частям
• Теорема двойственности Фенхеля

Рекомендации

1. Лежандр, Адриен-Мари (1789). Памятка по интеграции некоторых уравнений с различными частями. В Histoire de l'Académie Royale des Sciences, avec les Mémoires de Mathématique et de Physique (на французском языке). Париж: Королевская империя. стр. 309–351.
2. «Преобразование Лежандра | Ник Алджер // Карты, искусство и т. д.» . Архивировано из оригинала 12 марта 2015 г. Проверено 26 января 2011 г.
3. Ана Каннас да Силва. Лекции по симплектической геометрии , Исправленное 2-е издание. Springer-Verlag, 2008. стр. 147–148. ISBN 978-3-540-42195-5 . 

• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (2008). Методы математической физики . Том. 2. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0471504399.
• Арнольд, Владимир Игоревич (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-96890-3.
• Фенчел, В. (1949). «О сопряженных выпуклых функциях», Кан. Дж. Математика 1 : 73–77.
• Рокафеллар, Р. Тиррелл (1996) [1970]. Выпуклый анализ . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-01586-4.
• Зия, РКП; Редиш, EF; Маккей, СР (2009). «Понимание смысла преобразования Лежандра». Американский журнал физики . 77 (7): 614. arXiv : 0806.1147 . Бибкод : 2009AmJPh..77..614Z. дои : 10.1119/1.3119512. S2CID  37549350.

дальнейшее чтение

• Нильсен, Франк (1 сентября 2010 г.). «Преобразование Лежандра и информационная геометрия» (PDF) . Проверено 24 января 2016 г.
• Тушетт, Хьюго (27 июля 2005 г.). «Краткое описание трансформаций Лежандра-Фенхеля» (PDF) . Проверено 24 января 2016 г.
• Тушетт, Хьюго (21 ноября 2006 г.). «Элементы выпуклого анализа» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 1 февраля 2016 г. Проверено 24 января 2016 г.

Внешние ссылки

• Преобразование Лежандра с помощью фигур на maze5.net
• Трансформации Лежандра и Лежандра-Фенхеля с пошаговым объяснением на сайте onmyphd.com.