Радоновое преобразование

Интегральное преобразование

Преобразование Радона. Отображает f в области ( x , y ) в Rf в области ( α , s ).  

В математике преобразование Радона — это интегральное преобразование , которое переводит функцию f, определенную на плоскости, в функцию Rf, определенную на (двумерном) пространстве прямых на плоскости, значение которой на конкретной прямой равно линейному интегралу функции по этой прямой. Преобразование было введено в 1917 году Иоганном Радоном ^[1], который также предоставил формулу для обратного преобразования. Радон далее включил формулы для преобразования в трех измерениях , в которых интеграл берется по плоскостям (интегрирование по прямым известно как рентгеновское преобразование ). Позднее оно было обобщено на многомерные евклидовы пространства и более широко в контексте интегральной геометрии . Комплексный аналог преобразования Радона известен как преобразование Пенроуза . Преобразование Радона широко применяется в томографии , создании изображения из проекционных данных, связанных с поперечными сканированиями объекта.

Объяснение

Преобразование Радона индикаторной функции двух квадратов, показанных на рисунке ниже. Более светлые области указывают на большие значения функции. Черный цвет указывает на ноль.

Исходная функция равна единице в белой области и нулю в темной области.

Если функция представляет неизвестную плотность, то преобразование Радона представляет проекционные данные, полученные в качестве выходных данных томографического сканирования. Следовательно, обратное преобразование Радона может быть использовано для реконструкции исходной плотности из проекционных данных, и, таким образом, оно формирует математическую основу для томографической реконструкции , также известной как итеративная реконструкция . ${\displaystyle f}$

Данные преобразования Радона часто называют синограммой, поскольку преобразование Радона нецентрального точечного источника представляет собой синусоиду. Следовательно, преобразование Радона ряда небольших объектов графически выглядит как ряд размытых синусоид с различными амплитудами и фазами.

Преобразование Радона полезно в компьютерной аксиальной томографии (КТ-сканировании), сканерах штрихкодов , электронной микроскопии макромолекулярных образований, таких как вирусы и белковые комплексы , сейсмологии отраженных волн и при решении гиперболических уравнений в частных производных .

Горизонтальные проекции через форму приводят к накопленному сигналу (средняя полоса). Синограмма справа создается путем сбора множества таких проекций по мере вращения формы. Здесь цвет используется для выделения того, какой объект производит какую часть сигнала. Обратите внимание, как прямые элементы, выровненные с направлением проекции, приводят к более сильным сигналам.

Пример реконструкции с помощью преобразования Радона с использованием наблюдений под разными углами. Примененная инверсия к проекционным данным затем реконструирует изображение среза. ^[2]

Определение

Пусть — функция, удовлетворяющая трем условиям регулярности: ^[3] ${\displaystyle f({\textbf {x}})=f(x,y)}$

1. ${\displaystyle f({\textbf {x}})}$является непрерывным;
2. двойной интеграл , распространяющийся на всю плоскость, сходится; ${\displaystyle \iint {\dfrac {\vert f({\textbf {x}})\vert }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,dx\,dy}$
3. для любой произвольной точки на плоскости справедливо следующее ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(x+r\cos \varphi ,y+r\sin \varphi )\,d\varphi =0.}$

Преобразование Радона, , является функцией, определяемой на пространстве прямых линий интегралом по каждой такой линии как: Конкретно, параметризация любой прямой линии относительно длины дуги всегда может быть записана: где - расстояние от начала координат, а - угол, который вектор нормали к образует с осью -. Отсюда следует, что величины можно рассматривать как координаты на пространстве всех прямых в , а преобразование Радона можно выразить в этих координатах следующим образом: В более общем смысле, в -мерном евклидовом пространстве преобразование Радона функции, удовлетворяющей условиям регулярности, является функцией на пространстве всех гиперплоскостей в . Оно определяется следующим образом: ${\displaystyle Rf}$ ${\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle Rf(L)=\int _{L}f(\mathbf {x} )\vert d\mathbf {x} \vert .}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,}$$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\alpha ,s)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Rf(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Rf}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle Rf(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad \forall \xi \in \Sigma _{n}}$$где интеграл берется относительно естественной меры гиперповерхности , (обобщая термин из -мерного случая). Заметим, что любой элемент из характеризуется как геометрическое место решений уравнения , где - единичный вектор и . Таким образом, -мерное преобразование Радона может быть переписано как функция от с помощью: Также возможно еще больше обобщить преобразование Радона, интегрируя вместо этого по -мерным аффинным подпространствам . Рентгеновское преобразование является наиболее широко используемым частным случаем этой конструкции и получается путем интегрирования по прямым линиям. ${\displaystyle d\sigma }$ ${\displaystyle \vert d\mathbf {x} \vert }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \alpha =s}$ ${\displaystyle \alpha \in S^{n-1}}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$ $${\displaystyle Rf(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ).}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Связь с преобразованием Фурье

Вычисление двумерного преобразования Радона через два преобразования Фурье.

Преобразование Радона тесно связано с преобразованием Фурье . Мы определяем одномерное преобразование Фурье здесь как: Для функции -вектора одномерное преобразование Фурье равно: Для удобства обозначим . Теорема о срезе Фурье тогда гласит: где $${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx.}$$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y)}$ $${\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\alpha }[f](s)={\mathcal {R}}[f](\alpha ,s)}$ $${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))}$$ ${\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha ).}$

Таким образом, двумерное преобразование Фурье исходной функции вдоль линии под углом наклона является преобразованием Фурье с одной переменной преобразования Радона (полученного под углом ) этой функции. Этот факт можно использовать для вычисления как преобразования Радона, так и его обратного. Результат можно обобщить на n измерений: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds.}$$

Двойное преобразование

Двойственное преобразование Радона является своего рода сопряженным к преобразованию Радона. Начиная с функции g на пространстве , двойственное преобразование Радона является функцией на R ^{n ,} определяемой следующим образом: Интеграл здесь берется по множеству всех гиперплоскостей, инцидентных точке , а мера является единственной вероятностной мерой на множестве, инвариантной относительно вращений вокруг точки . ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g}$ $${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} \in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi ).}$$ ${\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle \{\xi |\mathbf {x} \in \xi \}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Конкретно, для двумерного преобразования Радона двойное преобразование задается следующим образом: В контексте обработки изображений двойное преобразование обычно называется обратной проекцией ^[4], поскольку оно берет функцию, определенную на каждой линии в плоскости, и «размазывает» или проецирует ее обратно на линию для получения изображения. $${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha .}$$

Переплетение свойств

Пусть обозначает Лапласиан на , определяемый как: Это естественный вращательно-инвариантный дифференциальный оператор второго порядка . На , «радиальная» вторая производная также вращательно-инвариантна. Преобразование Радона и его дуальное являются сплетающими операторами для этих двух дифференциальных операторов в том смысле, что: ^[5] При анализе решений волнового уравнения в нескольких пространственных измерениях свойство сплетания приводит к трансляционному представлению Лакса и Филипса. ^[6] В визуализации ^[7] и численном анализе ^[8] это используется для сведения многомерных задач к одномерным, как метод размерного разбиения. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}$$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)}$ $${\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g).}$$

Подходы к реконструкции

Процесс реконструкции создает изображение (или функцию в предыдущем разделе) из его проекционных данных. Реконструкция — это обратная задача . ${\displaystyle f}$

Формула обращения Радона

В двумерном случае наиболее часто используемой аналитической формулой для восстановления из преобразования Радона является формула фильтрованной обратной проекции или формула обращения Радона ^[9] : где такое, что . ^[9] В некоторой литературе ядро ​​свертки называют фильтром Ramp. ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )\,d\theta }$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|}$ ${\displaystyle h}$

Некорректность

Интуитивно, в отфильтрованной формуле обратной проекции , по аналогии с дифференцированием, для которого , мы видим, что фильтр выполняет операцию, похожую на производную. Грубо говоря, тогда фильтр делает объекты более сингулярными. Количественное утверждение о некорректности инверсии Радона выглядит следующим образом: где — ранее определенный сопряженный к преобразованию Радона. Таким образом , для , мы имеем: Таким образом, комплексная экспонента является собственной функцией с собственным значением . Таким образом, сингулярные значения равны . Поскольку эти сингулярные значения стремятся к , неограниченно. ^[9] ${\textstyle \left({\widehat {{\frac {d}{dx}}f}}\right)\!(k)=ik{\widehat {f}}(k)}$ $${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}[g]}}(\mathbf {k} )={\frac {1}{\|\mathbf {k} \|}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )}$$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}}$ ${\displaystyle g(\mathbf {x} )=e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}$ $${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}[g](\mathbf {x} )={\frac {1}{\|\mathbf {k_{0}} \|}}e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}$$ ${\displaystyle e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\|\mathbf {k} _{0}\|}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {\|\mathbf {k} \|}}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}}$

Методы итеративной реконструкции

По сравнению с методом фильтрованной обратной проекции , итеративная реконструкция требует большого времени вычислений, что ограничивает ее практическое использование. Однако из-за некорректности инверсии Радона метод фильтрованной обратной проекции может оказаться невозможным при наличии разрывов или шума. Методы итерационной реконструкции ( например , итеративная асимптотическая минимальная дисперсия ^[10] ) могут обеспечить снижение металлических артефактов, шума и дозы для реконструированного результата, что привлекает большой исследовательский интерес во всем мире.

Формулы обращения

Доступны явные и вычислительно эффективные формулы обращения для преобразования Радона и его двойственного. Преобразование Радона в измерениях может быть обращено по формуле: ^[11] где , а степень Лапласа определяется как псевдодифференциальный оператор, если необходимо, с помощью преобразования Фурье : Для вычислительных целей степень Лапласа коммутируется с двойственным преобразованием , чтобы получить: ^[12] где - преобразование Гильберта относительно переменной s . В двух измерениях оператор появляется в обработке изображений как фильтр рампы. ^[13] Можно доказать непосредственно из теоремы Фурье о срезе и замены переменных для интегрирования, что для компактно поддерживаемой непрерывной функции двух переменных: Таким образом, в контексте обработки изображений исходное изображение может быть восстановлено из данных «синограммы» путем применения фильтра рампы (в переменной ) и последующего обратного проецирования. Поскольку этап фильтрации может быть выполнен эффективно (например, с использованием методов цифровой обработки сигнала ), а этап обратной проекции представляет собой простое накопление значений в пикселях изображения, это приводит к созданию высокоэффективного и, следовательно, широко используемого алгоритма. ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}R^{*}Rf\,}$$ ${\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}}$ ${\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}}$ $${\displaystyle \left[{\mathcal {F}}(-\Delta )^{(n-1)/2}\varphi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}({\mathcal {F}}\varphi )(\xi ).}$$ ${\displaystyle R^{*}}$ $${\displaystyle c_{n}f={\begin{cases}R^{*}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ odd}}\\R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ even}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f={\frac {1}{2}}R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}Rf.}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Rf}$ ${\displaystyle s}$

В явном виде формула обращения, полученная последним методом, выглядит следующим образом: ^[4] Двойственное преобразование также может быть обращено с помощью аналогичной формулы: $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle -\imath 2\pi (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\int _{S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{2\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x)\,d\alpha &n{\text{ odd}}\\\displaystyle (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\iint _{\mathbb {R} \times S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{q\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x+q)\,d\alpha \,dq&n{\text{ even}}\\\end{cases}}}$$ $${\displaystyle c_{n}g=(-L)^{(n-1)/2}R(R^{*}g).\,}$$

Преобразование Радона в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии преобразование Радона (также известное как преобразование Брылинского–Радона ) строится следующим образом.

Писать

${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}\,{\stackrel {p_{1}}{\gets }}\,H\,{\stackrel {p_{2}}{\to }}\,\mathbf {P} ^{\vee ,d}}$

для универсальной гиперплоскости , т.е. H состоит из пар ( x , h ), где x — точка в d -мерном проективном пространстве , а h — точка в двойственном проективном пространстве (другими словами, x — прямая, проходящая через начало координат в ( d +1)-мерном аффинном пространстве , а h — гиперплоскость в этом пространстве), такая, что x содержится в h . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}}$

Тогда преобразование Брылински–Радона является функтором между соответствующими производными категориями этальных пучков

${\displaystyle \operatorname {Rad} :=Rp_{2,*}p_{1}^{*}:D(\mathbf {P} ^{d})\to D(\mathbf {P} ^{\vee ,d}).}$

Основная теорема об этом преобразовании заключается в том, что это преобразование индуцирует эквивалентность категорий извращенных пучков на проективном пространстве и его двойственном проективном пространстве с точностью до постоянных пучков. ^[14]

Смотрите также

• Периодограмма
• Соответствующий фильтр
• Деконволюция
• рентгеновское преобразование
• Фанк-трансформация
• Преобразование Хафа , записанное в непрерывной форме, очень похоже, если не эквивалентно, преобразованию Радона. ^[15]
• Теорема Коши–Крофтона — тесно связанная формула для вычисления длины кривых в пространстве.
• Быстрое преобразование Фурье

Примечания

1. Радон 1917.
2. Одложилик, Михал (2023-08-31). Исследование инверсии томографического разделения с быстрыми видимыми камерами на токамаке COMPASS (бакалаврская работа). Чешский технический университет в Праге. hdl :10467/111617.
3. Радон 1986.
4. Roerdink 2001.
5. Хельгасон 1984, Лемма I.2.1.
6. Лакс, PD; Филипс, RS (1964). «Теория рассеяния». Bull. Amer. Math. Soc . 70 (1): 130–142. doi : 10.1090/s0002-9904-1964-11051-x .
7. Боннель, Н.; Рабин, Дж.; Пейр, Г.; Пфистер, Х. (2015). «Срезанные и радоновые барицентры Вассерштейна мер». Журнал математической визуализации и зрения . 51 (1): 22–25. Bibcode : 2015JMIV...51...22B. doi : 10.1007/s10851-014-0506-3. S2CID  1907942.
8. Рим, Д. (2018). «Размерное расщепление гиперболических уравнений в частных производных с использованием преобразования Радона». SIAM J. Sci. Comput . 40 (6): A4184–A4207. arXiv : 1705.03609 . Bibcode :2018SJSC...40A4184R. doi :10.1137/17m1135633. S2CID  115193737.
9. Candès 2016b.
10. Абейда, Хабти; Чжан, Цилинь; Ли, Цзянь; Мерабтин, Наджим (2013). «Итеративные разреженные асимптотические подходы на основе минимальной дисперсии для обработки массивов» (PDF) . Труды IEEE по обработке сигналов . 61 (4). IEEE: 933–944. arXiv : 1802.03070 . Bibcode : 2013ITSP...61..933A. doi : 10.1109/tsp.2012.2231676. ISSN  1053-587X. S2CID  16276001.
11. Хелгасон 1984, Теорема I.2.13.
12. Хелгасон 1984, Теорема I.2.16.
13. Нигрен 1997.
14. Киль и Вайсауэр (2001, глава IV, кор. 2.4)
15. ван Гинкель, Хендрикс и ван Влит 2004.

Ссылки

• Киль, Рейнхардт ; Вайссауэр, Райнер (2001), Гипотезы Вейля, извращенные пучки и адическое преобразование Фурье , Springer, doi :10.1007/978-3-662-04576-3, ISBN 3-540-41457-6, г-н  1855066
• Радон, Иоганн (1917), «Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten», Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematich-Physische Klasse [Отчеты о трудах Королевская Саксонская академия Науки в Лейпциге, Математический и физический отдел] (69), Лейпциг: Тойбнер: 262–277.;
  Перевод: Радон, Дж. (декабрь 1986 г.), «Об определении функций по их интегральным значениям вдоль некоторых многообразий», IEEE Transactions on Medical Imaging , 5 (4), перевод Паркса, PC: 170–176, doi : 10.1109/TMI.1986.4307775, PMID  18244009, S2CID  26553287.
• Roerdink, JBTM (2001) [1994], «Томография», Энциклопедия математики , EMS Press.
• Хельгасон, Сигурдур (1984), Группы и геометрический анализ: интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции , Academic Press, ISBN 0-12-338301-3.
• Кандес, Эммануэль (2 февраля 2016 г.). «Прикладной анализ Фурье и элементы современной обработки сигналов – Лекция 9» (PDF) .
• Кандес, Эммануэль (4 февраля 2016 г.). «Прикладной анализ Фурье и элементы современной обработки сигналов – Лекция 10» (PDF) .
• Нюгрен, Андерс Дж. (1997). «Фильтрованная обратная проекция». Томографическая реконструкция данных SPECT .
• van Ginkel, M.; Hendricks, CL Luengo; van Vliet, LJ (2004). "Краткое введение в преобразования Радона и Хафа и как они соотносятся друг с другом" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 29-07-2016.

Дальнейшее чтение

• Локенат Дебнат; Дамбару Бхатта (19 апреля 2016 г.). Интегральные преобразования и их приложения. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4200-1091-6.
• Динс, Стэнли Р. (1983), Преобразование Радона и некоторые его приложения , Нью-Йорк: John Wiley & Sons
• Хельгасон, Сигурдур (2008), Геометрический анализ симметричных пространств , Математические обзоры и монографии, т. 39 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , doi : 10.1090/surv/039, ISBN 978-0-8218-4530-1, г-н  2463854
• Герман, Габор Т. (2009), Основы компьютерной томографии: реконструкция изображений из проекций (2-е изд.), Springer, ISBN 978-1-85233-617-2
• Минлос, Р.А. (2001) [1994], «Преобразование Радона», Энциклопедия математики , EMS Press
• Наттерер, Франк (июнь 2001 г.), Математика компьютерной томографии , Классика прикладной математики, т. 32, Общество промышленной и прикладной математики, ISBN 0-89871-493-1
• Наттерер, Франк; Вюббелинг, Франк (2001), Математические методы реконструкции изображений , Общество промышленной и прикладной математики, ISBN 0-89871-472-9

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Преобразование Радона». MathWorld .
• Аналитическая проекция (преобразование Радона) (видео). Часть курса «Компьютерная томография и ASTRA Toolbox». Университет Антверпена . 10 сентября 2015 г.