Билинейная трансформация

Операция обработки сигнала

Билинейная трансформация (также известная как метод Тастина , в честь Арнольда Тастина ) используется в цифровой обработке сигналов и теории дискретного управления для преобразования представлений систем с непрерывным временем в представления с дискретным временем и наоборот.

Билинейная трансформация является частным случаем конформного отображения (а именно, преобразования Мёбиуса ), часто используемого для преобразования передаточной функции линейного , инвариантного ко времени ( LTI ) фильтра в непрерывной области времени (часто называемого аналоговым фильтром ) в передаточную функцию линейного, инвариантного к сдвигу фильтра в дискретной области времени (часто называемого цифровым фильтром, хотя существуют аналоговые фильтры, построенные с коммутируемыми конденсаторами , которые являются дискретными временными фильтрами). Она отображает положения на оси, , в s-плоскости на единичную окружность , , в z-плоскости . Другие билинейные трансформации могут использоваться для деформации частотной характеристики любой дискретной линейной системы (например, для аппроксимации нелинейного частотного разрешения слуховой системы человека) и реализуются в дискретной области путем замены единичных задержек системы на фильтры первого порядка . ${\displaystyle H_{a}(s)}$ ${\displaystyle H_{d}(z)}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle \mathrm {Re} [s]=0}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle \left(z^{-1}\right)}$

Преобразование сохраняет стабильность и отображает каждую точку частотной характеристики непрерывного фильтра в соответствующую точку частотной характеристики дискретного фильтра, хотя и на несколько иной частоте, как показано в разделе «Искажение частоты» ниже. Это означает, что для каждой особенности, которую можно увидеть в частотной характеристике аналогового фильтра, существует соответствующая особенность с идентичным усилением и фазовым сдвигом в частотной характеристике цифрового фильтра, но, возможно, на несколько иной частоте. Изменение частоты едва заметно на низких частотах, но вполне очевидно на частотах, близких к частоте Найквиста . ${\displaystyle H_{a}(j\omega _{a})}$ ${\displaystyle H_{d}(e^{j\omega _{d}T})}$

Дискретно-временное приближение

Билинейная трансформация — это аппроксимация Паде первого порядка функции натурального логарифма, которая является точным отображением плоскости z в плоскость s . Когда преобразование Лапласа выполняется на дискретном по времени сигнале (каждый элемент дискретной последовательности времени присоединен к соответственно задержанному единичному импульсу ), результатом является именно Z-преобразование дискретной последовательности с заменой

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=e^{sT}\\&={\frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}}\\&\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\end{aligned}}}$

где — размер шага численного интегрирования трапецеидального правила, используемого при выводе билинейного преобразования; ^[1] или, другими словами, период выборки. Вышеуказанное билинейное приближение может быть решено для или может быть выполнено аналогичное приближение для . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=(1/T)\ln(z)}$

Обратное отображение этого (и его билинейное приближение первого порядка ) равно

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {1}{T}}\ln(z)\\&={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\cdots \right]\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\\&={\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\end{aligned}}}$

Билинейная трансформация по существу использует это приближение первого порядка и подставляет его в непрерывную во времени передаточную функцию, ${\displaystyle H_{a}(s)}$

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}.}$

То есть

${\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right).\ }$

Сохранены стабильность и минимально-фазовые свойства

Непрерывный каузальный фильтр устойчив, если полюса его передаточной функции попадают в левую половину комплексной s -плоскости . Дискретный каузальный фильтр устойчив, если полюса его передаточной функции попадают внутрь единичной окружности в комплексной z-плоскости . Билинейная трансформация отображает левую половину комплексной s-плоскости во внутреннюю часть единичной окружности в z-плоскости. Таким образом, фильтры, разработанные в непрерывной временной области, которые устойчивы, преобразуются в фильтры в дискретной временной области, которые сохраняют эту устойчивость.

Аналогично, непрерывный фильтр является минимально-фазовым, если нули его передаточной функции попадают в левую половину комплексной s-плоскости. Дискретный фильтр является минимально-фазовым, если нули его передаточной функции попадают внутрь единичной окружности в комплексной z-плоскости. Тогда то же свойство отображения гарантирует, что непрерывные фильтры, которые являются минимально-фазовыми, преобразуются в дискретные фильтры, которые сохраняют это свойство минимально-фазовых.

Трансформация общей системы LTI

Общая система LTI имеет передаточную функцию Порядок передаточной функции N больше P и Q (на практике это, скорее всего, P, так как передаточная функция должна быть надлежащей для того, чтобы система была устойчивой). Применение билинейного преобразования , где K определяется либо как 2/ T , либо иначе, если используется частотная деформация , дает Умножение числителя и знаменателя на наибольшую степень ( z + 1) ^−1, присутствующую, ( z + 1) ^-N , дает Здесь можно увидеть, что после преобразования степень числителя и знаменателя равна N. $${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{Q}s^{Q}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{P}s^{P}}}}$$ $${\displaystyle s=K{\frac {z-1}{z+1}}}$$ $${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {b_{0}+b_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+b_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{Q}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{Q}}{a_{0}+a_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+a_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{P}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{P}}}}$$ $${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {b_{0}(z+1)^{N}+b_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+b_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+\cdots +b_{Q}K^{Q}(z-1)^{Q}(z+1)^{N-Q}}{a_{0}(z+1)^{N}+a_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+a_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+\cdots +a_{P}K^{P}(z-1)^{P}(z+1)^{N-P}}}}$$

Рассмотрим затем полюсно-нулевую форму функции передачи непрерывного времени. Корни полиномов числителя и знаменателя, ξ _i и p _i , являются нулями и полюсами системы. Билинейная трансформация является отображением один к одному , следовательно, они могут быть преобразованы в z-область с использованием получения некоторых нулей и полюсов дискретизированной функции передачи ξ' i _и p ' _i Как описано выше, степень числителя и знаменателя теперь оба N , другими словами, теперь имеется равное количество нулей и полюсов. Умножение на ( z + 1) ^-N означает, что дополнительные нули или полюса равны ^[2] Учитывая полный набор нулей и полюсов, функция передачи z-области тогда равна $${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {(s-\xi _{1})(s-\xi _{2})\cdots (s-\xi _{Q})}{(s-p_{1})(s-p_{2})\cdots (s-p_{P})}}}$$ $${\displaystyle z={\frac {K+s}{K-s}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\xi '_{i}&={\frac {K+\xi _{i}}{K-\xi _{i}}}\quad 1\leq i\leq Q\\p'_{i}&={\frac {K+p_{i}}{K-p_{i}}}\quad 1\leq i\leq P\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\xi '_{i}&=-1\quad Q<i\leq N\\p'_{i}&=-1\quad P<i\leq N\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(z-\xi '_{1})(z-\xi '_{2})\cdots (z-\xi '_{N})}{(z-p'_{1})(z-p'_{2})\cdots (z-p'_{N})}}}$$

Пример

В качестве примера возьмем простой фильтр нижних частот RC . Этот фильтр непрерывного действия имеет передаточную функцию

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{a}(s)&={\frac {1/sC}{R+1/sC}}\\&={\frac {1}{1+RCs}}.\end{aligned}}}$

Если мы хотим реализовать этот фильтр как цифровой фильтр, мы можем применить билинейное преобразование, заменив формулу выше; после некоторой переработки мы получим следующее представление фильтра: ${\displaystyle s}$

Коэффициенты знаменателя являются коэффициентами «обратной связи», а коэффициенты числителя являются коэффициентами «прямой связи», используемыми для реализации цифрового фильтра реального времени .

Преобразование для общего фильтра первого порядка с непрерывным временем

Можно связать коэффициенты непрерывного во времени аналогового фильтра с коэффициентами аналогичного дискретного во времени цифрового фильтра, созданного с помощью процесса билинейного преобразования. Преобразование общего непрерывного во времени фильтра первого порядка с заданной передаточной функцией

${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}s+b_{1}}{a_{0}s+a_{1}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}}}}$

использование билинейного преобразования (без предварительной деформации какой-либо спецификации частоты) требует замены

${\displaystyle s\leftarrow K{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}}$

где

${\displaystyle K\triangleq {\frac {2}{T}}}$.

Однако если в билинейном преобразовании используется компенсация искажения частоты, описанная ниже, так что усиление и фаза как аналогового, так и цифрового фильтра совпадают на частоте , то ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle K\triangleq {\frac {\omega _{0}}{\tan \left({\frac {\omega _{0}T}{2}}\right)}}}$.

В результате получается дискретный во времени цифровой фильтр с коэффициентами, выраженными через коэффициенты исходного непрерывного во времени фильтра:

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(b_{0}K+b_{1})+(-b_{0}K+b_{1})z^{-1}}{(a_{0}K+a_{1})+(-a_{0}K+a_{1})z^{-1}}}}$

Обычно постоянный член в знаменателе должен быть нормализован до 1 перед выводом соответствующего дифференциального уравнения . Это приводит к

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {{\frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}+{\frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}{1+{\frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}}.}$

Разностное уравнение (использующее прямую форму I ) имеет вид

${\displaystyle y[n]={\frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot x[n]+{\frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot x[n-1]-{\frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot y[n-1]\ .}$

Общее биквадратное преобразование второго порядка

Аналогичный процесс можно использовать для общего фильтра второго порядка с заданной передаточной функцией

${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}s^{2}+b_{1}s+b_{2}}{a_{0}s^{2}+a_{1}s+a_{2}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}+b_{2}s^{-2}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}+a_{2}s^{-2}}}\ .}$

В результате получается дискретный во времени цифровой биквадратный фильтр с коэффициентами, выраженными через коэффициенты исходного непрерывного во времени фильтра:

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2})+(2b_{2}-2b_{0}K^{2})z^{-1}+(b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2})z^{-2}}{(a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2})+(2a_{2}-2a_{0}K^{2})z^{-1}+(a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2})z^{-2}}}}$

Опять же, постоянный член в знаменателе обычно нормализуется до 1 перед выводом соответствующего дифференциального уравнения . Это приводит к

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {{\frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}+{\frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-1}+{\frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-2}}{1+{\frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-1}+{\frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-2}}}.}$

Разностное уравнение (использующее прямую форму I ) имеет вид

${\displaystyle y[n]={\frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n]+{\frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n-1]+{\frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n-2]-{\frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot y[n-1]-{\frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot y[n-2]\ .}$

Искажение частоты

Чтобы определить частотную характеристику непрерывного фильтра, передаточная функция оценивается при , которая находится на оси. Аналогично, чтобы определить частотную характеристику дискретного фильтра, передаточная функция оценивается при , которая находится на единичной окружности, . Билинейная трансформация отображает ось s -плоскости (которая является областью определения ) на единичную окружность z -плоскости (которая является областью определения ), но это не то же самое отображение , которое также отображает ось на единичную окружность. Когда фактическая частота вводится в дискретный фильтр, разработанный с использованием билинейной трансформации, то желательно знать, на какой частоте, , для непрерывного фильтра, который это отображает. ${\displaystyle H_{a}(s)}$ ${\displaystyle s=j\omega _{a}}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle H_{d}(z)}$ ${\displaystyle z=e^{j\omega _{d}T}}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle H_{a}(s)}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle H_{d}(z)}$ ${\displaystyle z=e^{sT}}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle \omega _{d}}$ ${\displaystyle \omega _{a}}$ ${\displaystyle \omega _{d}}$

${\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)}$

Это показывает, что каждая точка на единичной окружности в z-плоскости дискретного фильтра отображается в точку на оси s-плоскости непрерывного фильтра. То есть, отображение частоты дискретного времени в непрерывное время билинейного преобразования равно ${\displaystyle z=e^{j\omega _{d}T}}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle s=j\omega _{a}}$

${\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega _{d}{\frac {T}{2}}\right)}$

и обратное отображение —

${\displaystyle \omega _{d}={\frac {2}{T}}\arctan \left(\omega _{a}{\frac {T}{2}}\right).}$

Дискретный фильтр ведет себя на частоте так же, как непрерывный фильтр ведет себя на частоте . В частности, усиление и сдвиг фазы, которые имеет дискретный фильтр на частоте, являются теми же усилением и сдвигом фазы, которые имеет непрерывный фильтр на частоте . Это означает, что каждая особенность, каждый «выступ», который виден в частотной характеристике непрерывного фильтра, также виден в дискретном фильтре, но на другой частоте. Для низких частот (то есть, когда или ), тогда особенности отображаются на немного другую частоту; . ${\displaystyle \omega _{d}}$ ${\displaystyle (2/T)\tan(\omega _{d}T/2)}$ ${\displaystyle \omega _{d}}$ ${\displaystyle (2/T)\tan(\omega _{d}T/2)}$ ${\displaystyle \omega _{d}\ll 2/T}$ ${\displaystyle \omega _{a}\ll 2/T}$ ${\displaystyle \omega _{d}\approx \omega _{a}}$

Видно, что весь непрерывный диапазон частот

${\displaystyle -\infty <\omega _{a}<+\infty }$

отображается на интервале основной частоты

${\displaystyle -{\frac {\pi }{T}}<\omega _{d}<+{\frac {\pi }{T}}.}$

Частота непрерывного фильтра соответствует частоте дискретного фильтра , а частота непрерывного фильтра соответствует частоте дискретного фильтра. ${\displaystyle \omega _{a}=0}$ ${\displaystyle \omega _{d}=0}$ ${\displaystyle \omega _{a}=\pm \infty }$ ${\displaystyle \omega _{d}=\pm \pi /T.}$

Также можно увидеть, что существует нелинейная связь между и Этот эффект билинейного преобразования называется деформацией частоты . Фильтр непрерывного времени может быть разработан для компенсации этой деформации частоты путем установки для каждой характеристики частоты, которую проектировщик может контролировать (например, угловая частота или центральная частота). Это называется предварительной деформацией конструкции фильтра. ${\displaystyle \omega _{a}}$ ${\displaystyle \omega _{d}.}$ ${\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega _{d}{\frac {T}{2}}\right)}$

Однако возможно компенсировать деформацию частоты путем предварительной деформации частотной характеристики (обычно резонансной частоты или частоты наиболее значимой характеристики частотной характеристики) системы с непрерывным временем. Эти предварительно деформированные характеристики затем могут быть использованы в билинейном преобразовании для получения желаемой системы с дискретным временем. При проектировании цифрового фильтра в качестве приближения фильтра с непрерывным временем частотная характеристика (как амплитуда, так и фаза) цифрового фильтра может быть сделана соответствующей частотной характеристике непрерывного фильтра на указанной частоте , а также соответствующей на постоянном токе, если следующее преобразование подставить в передаточную функцию непрерывного фильтра. ^[3] Это модифицированная версия преобразования Тастина, показанного выше. ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {\omega _{0}}{\tan \left({\frac {\omega _{0}T}{2}}\right)}}{\frac {z-1}{z+1}}.}$

Однако следует отметить, что это преобразование становится исходным преобразованием.

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}$

как . ${\displaystyle \omega _{0}\to 0}$

Основным преимуществом явления деформации является отсутствие искажений частотной характеристики, подобных наблюдаемым при импульсной инвариантности .

Смотрите также

• Инвариантность импульса
• Метод согласованного Z-преобразования

Ссылки

1. Оппенгейм, Алан (2010). Дискретная обработка сигналов во времени, третье издание . Аппер Сэддл Ривер, Нью-Джерси: Pearson Higher Education, Inc., стр. 504. ISBN 978-0-13-198842-2.
2. Бхандари, Аюш. "DSP and Digital Filters Lecture Notes" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2022 г. . Получено 16 августа 2022 г. .
3. Астром, Карл Дж. (1990). Компьютерно-управляемые системы, теория и проектирование (второе издание). Prentice-Hall. стр. 212. ISBN 0-13-168600-3.

Внешние ссылки

• MIT OpenCourseWare Обработка сигналов: Проектирование непрерывно-дискретных фильтров
• Конспект лекций по дискретным эквивалентам
• Искусство проектирования фильтров VA