Преобразование Лапласа

Интегральное преобразование полезно в теории вероятностей, физике и технике.

В математике преобразование Лапласа , названное в честь Пьера-Симона Лапласа ( / ləˈplɑːs / ) , представляет собой интегральное преобразование , которое преобразует функцию действительной переменной ( обычно во временной области ) в функцию комплексной переменной (в комплекснозначной частотной области , также известной как s -область или s - плоскость ). ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$

Преобразование полезно для преобразования дифференциации и интегрирования во временной области в гораздо более простое умножение и деление в области Лапласа (аналогично тому, как логарифмы полезны для упрощения умножения и деления в сложении и вычитании). Это дает преобразованию множество приложений в науке и технике , в основном как инструмент для решения линейных дифференциальных уравнений ^[1] и динамических систем путем упрощения обыкновенных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений в алгебраические полиномиальные уравнения и путем упрощения свертки в умножение . ^{[2] [3]} После решения обратное преобразование Лапласа возвращается к исходной области.

Преобразование Лапласа определяется (для подходящих функций ) интегралом , где s — комплексное число . Оно связано со многими другими преобразованиями, в частности с преобразованием Фурье и преобразованием Меллина . Формально преобразование Лапласа преобразуется в преобразование Фурье заменой, где — действительное число. Однако, в отличие от преобразования Фурье, которое дает разложение функции на ее компоненты на каждой частоте, преобразование Лапласа функции с подходящим затуханием является аналитической функцией , и поэтому имеет сходящийся степенной ряд , коэффициенты которого дают разложение функции на ее моменты . Также в отличие от преобразования Фурье, если рассматривать его таким образом как аналитическую функцию, для вычислений можно использовать методы комплексного анализа , и особенно контурные интегралы . ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,}$$ ${\displaystyle s=i\omega }$ ${\displaystyle \omega }$

История

Пьер-Симон, маркиз де Лаплас

Преобразование Лапласа названо в честь математика и астронома Пьера-Симона, маркиза де Лапласа , который использовал похожее преобразование в своей работе по теории вероятностей . ^[4] Лаплас много писал об использовании производящих функций (1814), и в результате естественным образом возникла интегральная форма преобразования Лапласа. ^[5]

Использование Лапласом производящих функций было похоже на то, что сейчас известно как z-преобразование , и он уделил мало внимания случаю непрерывной переменной , который обсуждался Нильсом Хенриком Абелем . ^[6]

С 1744 года Леонард Эйлер исследовал интегралы вида как решения дифференциальных уравнений, введя, в частности, гамма-функцию . ^[7] Жозеф-Луи Лагранж был поклонником Эйлера и в своей работе по интегрированию функций плотности вероятности исследовал выражения вида, который напоминает преобразование Лапласа. ^{[8] [9]} $${\displaystyle z=\int X(x)e^{ax}\,dx\quad {\text{ and }}\quad z=\int X(x)x^{A}\,dx}$$ $${\displaystyle \int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,}$$

Эти типы интегралов, по-видимому, впервые привлекли внимание Лапласа в 1782 году, когда он следовал в духе Эйлера, используя сами интегралы в качестве решений уравнений. ^[10] Однако в 1785 году Лаплас сделал решающий шаг вперед, когда вместо того, чтобы просто искать решение в форме интеграла, он начал применять преобразования в том смысле, который позже стал популярным. Он использовал интеграл формы, родственной преобразованию Меллина , для преобразования всего разностного уравнения , чтобы искать решения преобразованного уравнения. Затем он продолжил применять преобразование Лапласа таким же образом и начал выводить некоторые из его свойств, начиная ценить его потенциальную силу. ^[11] $${\displaystyle \int x^{s}\varphi (x)\,dx,}$$

Лаплас также осознал, что метод рядов Фурье Жозефа Фурье для решения уравнения диффузии может применяться только к ограниченной области пространства, поскольку эти решения являются периодическими . В 1809 году Лаплас применил свое преобразование для нахождения решений, которые неограниченно рассеиваются в пространстве. ^[12] В 1821 году Коши разработал операционное исчисление для преобразования Лапласа, которое можно было использовать для изучения линейных дифференциальных уравнений во многом таким же образом, как это преобразование сейчас используется в базовой инженерии. Этот метод был популяризирован и, возможно, заново открыт Оливером Хевисайдом на рубеже веков. ^[13]

Бернхард Риман использовал преобразование Лапласа в своей статье 1859 года «О числе простых чисел, меньших заданной величины» , в которой он также разработал теорему обращения. Риман использовал преобразование Лапласа для разработки функционального уравнения дзета-функции Римана , и этот метод до сих пор используется для связи модулярного закона преобразования тета -функции Якоби , который легко доказать с помощью суммирования Пуассона , с функциональным уравнением.

Ялмар Меллин был одним из первых, кто изучал преобразование Лапласа, строго в школе анализа Карла Вейерштрасса , и применил его к изучению дифференциальных уравнений и специальных функций на рубеже 20-го века. ^[14] Примерно в то же время Хевисайд был занят своим операционным исчислением. Томас Джоаннес Стилтьес рассматривал обобщение преобразования Лапласа, связанное со его работой по моментам . Другими авторами в этот период времени были Матиас Лерх , ^[15] Оливер Хевисайд и Томас Бромвич . ^[16]

В 1934 году Рэймонд Пейли и Норберт Винер опубликовали важную работу «Преобразования Фурье в комплексной области », посвященную тому, что сейчас называется преобразованием Лапласа (см. ниже). Также в 30-е годы преобразование Лапласа сыграло важную роль в изучении тауберовых теорем Г. Х. Харди и Джона Эдензора Литтлвуда , и это применение позднее было изложено Виддером (1941), который разработал другие аспекты теории, такие как новый метод инверсии. Эдвард Чарльз Титчмарш написал влиятельное «Введение в теорию интеграла Фурье» (1937).

Современное широкое использование преобразования (в основном в инженерии) произошло во время и вскоре после Второй мировой войны , ^[17] заменив более раннее операционное исчисление Хевисайда . Преимущества преобразования Лапласа были подчеркнуты Густавом Дётчем , ^[18] которому, по-видимому, и обязано название «преобразование Лапласа».

Формальное определение

${\displaystyle \Re (e^{-st})}$для различных комплексных частот в s -области , которые можно выразить как Ось содержит чистые косинусы. Положительная содержит затухающие косинусы . Отрицательная содержит экспоненциально растущие косинусы. ${\displaystyle (s=\sigma +i\omega ),}$ ${\displaystyle e^{-\sigma t}\cos(\omega t).}$ ${\displaystyle \sigma =0}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

Преобразование Лапласа функции f ( t ) , определенное для всех действительных чисел t ≥ 0 , — это функция F ( s ) , которая является односторонним преобразованием, определяемым формулой

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,}$   ( Уравнение 1 )

где s — комплексный параметр частотной области с действительными числами σ и ω . $${\displaystyle s=\sigma +i\omega }$$

Альтернативная запись преобразования Лапласа: ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$вместо F. ^[3 ]

Значение интеграла зависит от типов интересующих функций. Необходимым условием существования интеграла является то, что f должна быть локально интегрируемой на [0, ∞) . Для локально интегрируемых функций, которые затухают на бесконечности или имеют экспоненциальный тип ( ), интеграл можно понимать как (собственный) интеграл Лебега . Однако для многих приложений необходимо рассматривать его как условно сходящийся несобственный интеграл в ∞ . Еще более обще, интеграл можно понимать в слабом смысле , и это рассматривается ниже. ${\displaystyle |f(t)|\leq Ae^{B|t|}}$

Преобразование Лапласа конечной борелевской меры μ можно определить с помощью интеграла Лебега ^[19] $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).}$$

Важный особый случай — когда μ — вероятностная мера , например, дельта-функция Дирака . В операционном исчислении преобразование Лапласа меры часто рассматривается так, как если бы мера исходила из функции плотности вероятности f . В этом случае, чтобы избежать возможной путаницы, часто пишут, где нижний предел 0 ^{− —} это сокращенная запись для $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,}$$ $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.}$$

Этот предел подчеркивает, что любая точечная масса, расположенная в точке 0 , полностью охвачена преобразованием Лапласа. Хотя с интегралом Лебега нет необходимости брать такой предел, он выглядит более естественно в связи с преобразованием Лапласа–Стилтьеса .

Двустороннее преобразование Лапласа

Когда говорят «преобразование Лапласа» без уточнения, обычно подразумевают одностороннее или одностороннее преобразование. Преобразование Лапласа можно также определить как двустороннее преобразование Лапласа или двухстороннее преобразование Лапласа , расширив пределы интегрирования до всей вещественной оси. Если это сделать, общее одностороннее преобразование просто станет частным случаем двустороннего преобразования, где определение преобразуемой функции умножается на ступенчатую функцию Хевисайда .

Двустороннее преобразование Лапласа F ( s ) определяется следующим образом:

${\displaystyle F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$   ( Уравнение 2 )

Альтернативная запись для двустороннего преобразования Лапласа — , вместо F. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}}$

Обратное преобразование Лапласа

Две интегрируемые функции имеют одинаковое преобразование Лапласа, только если они различаются на множестве нулевой меры Лебега . Это означает, что на области действия преобразования существует обратное преобразование. Фактически, помимо интегрируемых функций, преобразование Лапласа является отображением один к одному из одного функционального пространства в другое во многих других функциональных пространствах, хотя обычно не существует простой характеристики области действия.

Типичные функциональные пространства, в которых это верно, включают пространства ограниченных непрерывных функций, пространство L ^∞ (0, ∞) или, в более общем смысле, умеренные распределения на (0, ∞) . Преобразование Лапласа также определено и инъективно для подходящих пространств умеренных распределений.

В этих случаях образ преобразования Лапласа живет в пространстве аналитических функций в области сходимости. Обратное преобразование Лапласа задается следующим комплексным интегралом, который известен под разными названиями ( интеграл Бромвича , интеграл Фурье–Меллина и обратная формула Меллина ):

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds,}$   ( Уравнение 3 )

где γ — действительное число, так что контурный путь интегрирования находится в области сходимости F ( s ) . В большинстве приложений контур может быть замкнут, что позволяет использовать теорему о вычетах . Альтернативная формула для обратного преобразования Лапласа дается формулой обращения Поста . Предел здесь интерпретируется в слабой-* топологии .

На практике обычно удобнее разложить преобразование Лапласа на известные преобразования функций, полученные из таблицы, и построить обратное преобразование путем проверки.

Теория вероятностей

В чистой и прикладной вероятности преобразование Лапласа определяется как ожидаемое значение . Если X — случайная величина с функцией плотности вероятности f , то преобразование Лапласа f задается выражением ожидание, где — ожидание случайной величины . $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right],}$$ ${\displaystyle \operatorname {E} [r]}$ ${\displaystyle r}$

По соглашению это называется преобразованием Лапласа самой случайной величины X. Здесь замена s на − t дает функцию генерации моментов X. Преобразование Лапласа применяется в теории вероятностей, включая время первого прохождения стохастических процессов , таких как цепи Маркова , и теорию восстановления .

Особое применение находит возможность восстановления кумулятивной функции распределения непрерывной случайной величины X с помощью преобразования Лапласа следующим образом: ^[20] $${\displaystyle F_{X}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right]\right\}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\right\}(x).}$$

Алгебраическая конструкция

Преобразование Лапласа может быть альтернативно определено чисто алгебраическим способом, применяя конструкцию поля дробей к кольцу свертки функций на положительной полупрямой. Полученное пространство абстрактных операторов в точности эквивалентно пространству Лапласа, но в этой конструкции прямые и обратные преобразования никогда не должны быть явно определены (избегая связанных с этим трудностей с доказательством сходимости). ^[21]

Регион конвергенции

Если f — локально интегрируемая функция (или, в более общем смысле, мера Бореля локально ограниченной вариации), то преобразование Лапласа F ( s ) функции f сходится при условии, что предел существует. $${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt}$$

Преобразование Лапласа сходится абсолютно, если интеграл существует как собственный интеграл Лебега. Преобразование Лапласа обычно понимается как условно сходящееся , то есть оно сходится в первом, но не во втором смысле. $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt}$$

Множество значений, для которых F ( s ) сходится абсолютно, имеет вид Re( s ) > a или Re( s ) ≥ a , где a — расширенная действительная константа с −∞ ≤ a ≤ ∞ (следствие теоремы о доминируемой сходимости ). Константа a известна как абсцисса абсолютной сходимости и зависит от поведения роста f ( t ) . ^[22] Аналогично, двустороннее преобразование абсолютно сходится в полосе вида a < Re( s ) < b , и, возможно, включая линии Re( s ) = a или Re( s ) = b . ^[23] Подмножество значений s , для которых преобразование Лапласа сходится абсолютно, называется областью абсолютной сходимости или областью абсолютной сходимости. В двустороннем случае его иногда называют полосой абсолютной сходимости. Преобразование Лапласа является аналитическим в области абсолютной сходимости: это следствие теоремы Фубини и теоремы Мореры .

Аналогично, множество значений, для которых F ( s ) сходится (условно или абсолютно), известно как область условной сходимости, или просто область сходимости (ROC). Если преобразование Лапласа сходится (условно) при s = s ₀ , то оно автоматически сходится для всех s с Re( s ) > Re( s ₀ ) . Следовательно, область сходимости представляет собой полуплоскость вида Re( s ) > a , возможно, включающую некоторые точки граничной линии Re( s ) = a .

В области сходимости Re( s ) > Re( s ₀ ) преобразование Лапласа функции f можно выразить интегрированием по частям в виде интеграла $${\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.}$$

То есть, F ( s ) может быть эффективно выражена в области сходимости как абсолютно сходящееся преобразование Лапласа некоторой другой функции. В частности, она является аналитической.

Существует несколько теорем Пэли–Винера, касающихся связи между свойствами распада функции f и свойствами преобразования Лапласа в области сходимости.

В инженерных приложениях функция, соответствующая линейной инвариантной во времени (LTI) системе, является устойчивой , если каждый ограниченный вход производит ограниченный выход. Это эквивалентно абсолютной сходимости преобразования Лапласа функции импульсного отклика в области Re( s ) ≥ 0 . В результате системы LTI являются устойчивыми при условии, что полюса преобразования Лапласа функции импульсного отклика имеют отрицательную действительную часть.

Этот ROC используется для изучения причинно-следственной связи и устойчивости системы.

Свойства и теоремы

Ключевое свойство преобразования Лапласа заключается в том, что оно преобразует дифференцирование и интегрирование во временной области в умножение и деление на s в области Лапласа. Таким образом, переменная Лапласа s также известна как операторная переменная в области Лапласа: либо оператор производной , либо (для s ⁻¹ ) оператор интегрирования .

Даны функции f ( t ) и g ( t ) и соответствующие им преобразования Лапласа F ( s ) и G ( s ) , $${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\},\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\},\end{aligned}}}$$

следующая таблица представляет собой список свойств одностороннего преобразования Лапласа: ^[24]

Теорема о начальном значении

${\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}.}$

Теорема о конечном значении

${\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}$, если все полюса находятся в левой полуплоскости. ${\displaystyle sF(s)}$

Теорема о конечном значении полезна, поскольку она дает долгосрочное поведение без необходимости выполнять разложения на частичные дроби (или другую сложную алгебру). Если F ( s ) имеет полюс в правой плоскости или полюса на мнимой оси (например, если или ), то поведение этой формулы не определено. ${\displaystyle f(t)=e^{t}}$ ${\displaystyle f(t)=\sin(t)}$

Отношение к степенному ряду

Преобразование Лапласа можно рассматривать как непрерывный аналог степенного ряда . ^[26] Если a ( n ) — дискретная функция положительного целого числа n , то степенной ряд, связанный с a ( n ), — это ряд , где x — действительная переменная (см. Z-преобразование ). Заменяя суммирование по n интегрированием по t , непрерывная версия степенного ряда становится такой, где дискретная функция a ( n ) заменяется непрерывной функцией f ( t ) . $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a(n)x^{n}}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)x^{t}\,dt}$$

Изменение основания степени с x на e дает $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\left(e^{\ln {x}}\right)^{t}\,dt}$$

Чтобы это сходилось, скажем, для всех ограниченных функций f , необходимо потребовать, чтобы ln x < 0. Выполнение замены − s = ln x дает просто преобразование Лапласа: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$$

Другими словами, преобразование Лапласа является непрерывным аналогом степенного ряда, в котором дискретный параметр n заменяется непрерывным параметром t , а x заменяется на e ^{− s} .

Отношение к моментам

Количества $${\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t)\,dt}$$

являются моментами функции f . Если первые n моментов f сходятся абсолютно, то при повторном дифференцировании под знаком интеграла , Это имеет особое значение в теории вероятностей, где моменты случайной величины X задаются ожидаемыми значениями . Тогда справедливо соотношение $${\displaystyle (-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}.}$$ ${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} [X^{n}]}$ $${\displaystyle \mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right](0).}$$

Преобразование производной функции

Часто бывает удобно использовать свойство дифференциации преобразования Лапласа, чтобы найти преобразование производной функции. Это можно вывести из основного выражения для преобразования Лапласа следующим образом: получая и в двустороннем случае, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\[6pt]&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,dt\quad {\text{(by parts)}}\\[6pt]&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0^{-}),}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.}$$

Общий результат , где обозначает n- ю производную f , можно установить с помощью индуктивного аргумента. $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),}$$ ${\displaystyle f^{(n)}}$

Оценка интегралов по положительной действительной оси

Полезным свойством преобразования Лапласа является следующее: при соответствующих предположениях о поведении в правой окрестности и о скорости затухания в левой окрестности . Приведенная выше формула является вариацией интегрирования по частям, в которой операторы и заменены на и . Докажем эквивалентную формулировку: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(s)\cdot ({\mathcal {L}}^{-1}g)(s)\,ds}$$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle \int \,dx}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }f(s)({\mathcal {L}}g)(s)\,ds.}$$

Подставив левый конец, получим: но предположим, что теорема Фубини верна, и изменив порядок интегрирования на противоположный, получим искомый правый конец. ${\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds}$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(s)g(x)e^{-sx}\,ds\,dx,}$$

Этот метод можно использовать для вычисления интегралов, которые в противном случае было бы трудно вычислить с использованием элементарных методов действительного исчисления. Например, $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}dx=\int _{0}^{\infty }{\mathcal {L}}(1)(x)\sin xdx=\int _{0}^{\infty }1\cdot {\mathcal {L}}(\sin )(x)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+1}}={\frac {\pi }{2}}.}$$

Связь с другими преобразованиями

Преобразование Лапласа–Стилтьеса

(Одностороннее) преобразование Лапласа – Стилтьеса функции g  : ℝ → ℝ определяется интегралом Лебега – Стилтьеса

$${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\,g(t)~.}$$

Предполагается, что функция g имеет ограниченную вариацию . Если g является первообразной f :

$${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,d\,t}$$

то преобразование Лапласа–Стилтьеса функции g и преобразование Лапласа функции f совпадают. В общем случае преобразование Лапласа–Стилтьеса является преобразованием Лапласа меры Стилтьеса , связанной с функцией g . Таким образом, на практике единственное различие между этими двумя преобразованиями заключается в том, что преобразование Лапласа рассматривается как работающее с функцией плотности меры, тогда как преобразование Лапласа–Стилтьеса рассматривается как работающее с ее кумулятивной функцией распределения . ^[27]

преобразование Фурье

Пусть — комплекснозначная интегрируемая по Лебегу функция, носителем которой является , и пусть — ее преобразование Лапласа. Тогда в области сходимости имеем ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}f(s)}$

${\displaystyle F(\sigma +i\tau )=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-\sigma t}e^{-i\tau t}\,dt,}$

что является преобразованием Фурье функции . ^[28] ${\displaystyle f(t)e^{-\sigma t}}$

Действительно, преобразование Фурье является частным случаем (при определенных условиях) двустороннего преобразования Лапласа. Главное отличие состоит в том, что преобразование Фурье функции является комплексной функцией действительной переменной (частоты), преобразование Лапласа функции является комплексной функцией комплексной переменной . Преобразование Лапласа обычно ограничивается преобразованием функций t с t ≥ 0. Следствием этого ограничения является то, что преобразование Лапласа функции является голоморфной функцией переменной s . В отличие от преобразования Фурье, преобразование Лапласа распределения, как правило, является хорошо себя ведущей функцией. Методы комплексных переменных также могут быть использованы для непосредственного изучения преобразований Лапласа. Как голоморфная функция, преобразование Лапласа имеет представление в виде степенного ряда . Этот степенной ряд выражает функцию как линейную суперпозицию моментов функции. Эта перспектива имеет приложения в теории вероятностей.

Формально преобразование Фурье эквивалентно оценке двустороннего преобразования Лапласа с мнимым аргументом s = iω ^{[29] [30]} , когда выполняется условие, поясняемое ниже:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\{f(t)\}\\[4pt]&={\mathcal {L}}\{f(t)\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{aligned}}}$$

Это соглашение о преобразовании Фурье ( в преобразовании Фурье § Другие соглашения ) требует фактора ⁠ ${\displaystyle {\hat {f}}_{3}(\omega )}$1/2π​⁠ на обратном преобразовании Фурье. Эта связь между преобразованиями Лапласа и Фурье часто используется для определения частотного спектра сигналаили динамической системы.

Вышеуказанное соотношение справедливо тогда и только тогда, когда область сходимости (ROC) функции F ( s ) содержит мнимую ось, σ = 0 .

Например, функция f ( t ) = cos( ω ₀ t ) имеет преобразование Лапласа F ( s ) = s /( s ² + ω ₀ ² ), ROC которого равен Re( s ) > 0. Поскольку s = iω ₀ является полюсом F ( s ) , подстановка s = iω в F ( s ) не дает преобразования Фурье функции f ( t ) u ( t ) , которое содержит члены, пропорциональные дельта -функциям Дирака δ ( ω ± ω ₀ ) .

Однако соотношение вида выполняется при гораздо более слабых условиях. Например, это выполняется для приведенного выше примера при условии, что предел понимается как слабый предел мер (см. нечеткую топологию ). Общие условия, связывающие предел преобразования Лапласа функции на границе с преобразованием Фурье, принимают форму теорем Пэли–Винера . $${\displaystyle \lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +i\omega )={\hat {f}}(\omega )}$$

Преобразование Меллина

Преобразование Меллина и обратное ему преобразование связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных.

Если в преобразовании Меллина положить θ = e ^{− t,} то получим двустороннее преобразование Лапласа. $${\displaystyle G(s)={\mathcal {M}}\{g(\theta )\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta )\,{\frac {d\theta }{\theta }}}$$

Z-преобразование

Одностороннее Z-преобразование — это просто преобразование Лапласа идеально дискретизированного сигнала с заменой где T = 1/ f _s — интервал дискретизации (в единицах времени, например, секундах), а f _s — частота дискретизации (в выборках в секунду или герцах ). $${\displaystyle z{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}e^{sT},}$$

Пусть будет последовательностью импульсов выборки (также называемой гребёнкой Дирака ) и будет выборочным представлением непрерывного времени x ( t ) $${\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle x[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(nT)~.}$$

Преобразование Лапласа дискретизированного сигнала x _q ( t ) равно $${\displaystyle {\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}~.\end{aligned}}}$$

Это точное определение одностороннего Z-преобразования дискретной функции x [ n ]

$${\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}$$с заменой z → e ^sT .

Сравнивая два последних уравнения, находим связь между односторонним Z-преобразованием и преобразованием Лапласа дискретизированного сигнала: $${\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.}$$

Сходство между Z-преобразованиями и преобразованиями Лапласа подробно рассматривается в теории исчисления шкалы времени .

преобразование Бореля

Интегральная форма преобразования Бореля является частным случаем преобразования Лапласа для f — целой функции экспоненциального типа, что означает, что для некоторых констант A и B . Обобщенное преобразование Бореля позволяет использовать другую весовую функцию вместо экспоненциальной функции для преобразования функций не экспоненциального типа. Теорема Нахбина дает необходимые и достаточные условия для корректного определения преобразования Бореля. $${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz}$$ $${\displaystyle |f(z)|\leq Ae^{B|z|}}$$

Фундаментальные отношения

Поскольку обычное преобразование Лапласа может быть записано как частный случай двустороннего преобразования, а двустороннее преобразование может быть записано как сумма двух односторонних преобразований, то теория преобразований Лапласа, Фурье, Меллина и Z по сути является одним и тем же предметом. Однако с каждым из этих четырех основных интегральных преобразований связаны разные точки зрения и разные характерные проблемы.

Таблица избранных преобразований Лапласа

В следующей таблице приведены преобразования Лапласа для многих распространенных функций одной переменной. ^{[31] [32]} Определения и пояснения см. в пояснительных примечаниях в конце таблицы.

Поскольку преобразование Лапласа является линейным оператором,

• Преобразование Лапласа суммы — это сумма преобразований Лапласа каждого члена. $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)+g(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t)\}+{\mathcal {L}}\{g(t)\}}$$
• Преобразование Лапласа кратной функции — это кратное преобразование Лапласа этой функции. $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{af(t)\}=a{\mathcal {L}}\{f(t)\}}$$

Используя эту линейность, а также различные тригонометрические , гиперболические и комплексно-числовые (и т. д.) свойства и/или тождества, некоторые преобразования Лапласа можно получить из других быстрее, чем при непосредственном использовании определения.

Одностороннее преобразование Лапласа принимает в качестве входных данных функцию, временная область которой представлена ​​неотрицательными действительными числами, поэтому все функции временной области в таблице ниже являются кратными ступенчатой ​​функции Хевисайда, u ( t ) .

Записи таблицы, включающие временную задержку τ, должны быть каузальными (то есть τ > 0 ). Каузальная система — это система, в которой импульсный отклик h ( t ) равен нулю для всего времени t до t = 0. В общем случае область сходимости для каузальных систем не совпадает с областью сходимости для антикаузальных систем .

сэквивалентные схемы и импедансы в домене

Преобразование Лапласа часто используется в анализе цепей , и можно выполнить простые преобразования в s -область элементов цепи. Элементы цепи можно преобразовать в импедансы , очень похожие на импедансы векторов .

Вот краткий перечень эквивалентов:

эквивалентные схемы в s- домене

Обратите внимание, что резистор абсолютно одинаков во временной области и в s -области. Источники вставляются, если на элементах схемы есть начальные условия. Например, если конденсатор имеет начальное напряжение на нем или если через катушку индуктивности течет начальный ток, источники, вставленные в s -область, учитывают это.

Эквиваленты источников тока и напряжения просто выводятся из преобразований, приведенных в таблице выше.

Примеры и приложения

Преобразование Лапласа часто используется в инженерии и физике ; выход линейной стационарной системы может быть вычислен путем свертки ее единичного импульсного отклика с входным сигналом. Выполнение этого вычисления в пространстве Лапласа превращает свертку в умножение; последнее легче решить из-за его алгебраической формы. Для получения дополнительной информации см. теорию управления . Преобразование Лапласа обратимо для большого класса функций. При наличии простого математического или функционального описания входа или выхода системы преобразование Лапласа обеспечивает альтернативное функциональное описание, которое часто упрощает процесс анализа поведения системы или синтеза новой системы на основе набора спецификаций. ^[38]

Преобразование Лапласа также может быть использовано для решения дифференциальных уравнений и широко используется в машиностроении и электротехнике . Преобразование Лапласа сводит линейное дифференциальное уравнение к алгебраическому уравнению, которое затем может быть решено с помощью формальных правил алгебры. Исходное дифференциальное уравнение затем может быть решено с помощью обратного преобразования Лапласа. Английский инженер-электрик Оливер Хевисайд первым предложил похожую схему, хотя и без использования преобразования Лапласа; и полученное операционное исчисление засчитывается как исчисление Хевисайда.

Оценка несобственных интегралов

Пусть . Тогда (см. таблицу выше) ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)}$

$${\displaystyle \partial _{s}{\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\partial _{s}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\,dt=-\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt=-F(s)}$$

Из чего получается:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(p)\,dp.}$$

В пределе , получаем при условии, что обмен пределами может быть оправдан. Это часто возможно как следствие теоремы о конечном значении . Даже когда обмен не может быть оправдан, расчет может быть наводящим на размышления. Например, при a ≠ 0 ≠ b , действуя формально, имеем ${\displaystyle s\rightarrow 0}$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }F(p)\,dp,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(at)-\cos(bt)}{t}}\,dt&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,dp\\[6pt]&=\left[{\frac {1}{2}}\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=\ln \left|{\frac {b}{a}}\right|.\end{aligned}}}$$

Справедливость этого тождества может быть доказана другими способами. Это пример интеграла Фруллани .

Другим примером является интеграл Дирихле .

Комплексное сопротивление конденсатора

В теории электрических цепей ток в конденсаторе пропорционален емкости и скорости изменения электрического потенциала (с уравнениями, как для системы единиц СИ ). Символически это выражается дифференциальным уравнением , где C — емкость конденсатора, i = i ( t ) — электрический ток через конденсатор как функция времени, а v = v ( t ) — напряжение на клеммах конденсатора, также как функция времени. $${\displaystyle i=C{dv \over dt},}$$

Применяя преобразование Лапласа к этому уравнению, получаем где и $${\displaystyle I(s)=C(sV(s)-V_{0}),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle V_{0}=v(0).}$$

Решая для V ( s ) имеем $${\displaystyle V(s)={I(s) \over sC}+{V_{0} \over s}.}$$

Определение комплексного импеданса Z (в Омах ) — это отношение комплексного напряжения V, деленное на комплексный ток I, при этом начальное состояние V ₀ сохраняется равным нулю: $${\displaystyle Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right|_{V_{0}=0}.}$$

Используя это определение и предыдущее уравнение, находим: что является правильным выражением для комплексного сопротивления конденсатора. Кроме того, преобразование Лапласа имеет большие приложения в теории управления. $${\displaystyle Z(s)={\frac {1}{sC}},}$$

Импульсный ответ

Рассмотрим линейную стационарную систему с передаточной функцией $${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.}$$

Импульсная характеристика представляет собой просто обратное преобразование Лапласа этой передаточной функции: $${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.}$$

Разложение дробей

Чтобы оценить это обратное преобразование, мы начнем с расширения H ( s ) с использованием метода разложения простейших дробей, $${\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.}$$

Неизвестные константы P и R являются остатками, расположенными на соответствующих полюсах передаточной функции. Каждый остаток представляет собой относительный вклад этой сингулярности в общую форму передаточной функции.

По теореме о вычетах обратное преобразование Лапласа зависит только от полюсов и их вычетов. Чтобы найти вычет P , умножаем обе стороны уравнения на s + α, чтобы получить $${\displaystyle {\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.}$$

Тогда, если положить s = − α , вклад R исчезнет и все, что останется, это $${\displaystyle P=\left.{1 \over s+\beta }\right|_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.}$$

Аналогично, остаток R определяется как $${\displaystyle R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.}$$

Обратите внимание , что подстановка R и P в расширенное выражение для H ( s ) дает $${\displaystyle R={-1 \over \beta -\alpha }=-P}$$ $${\displaystyle H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over s+\alpha }-{1 \over s+\beta }\right).}$$

Наконец, используя свойство линейности и известное преобразование для экспоненциального затухания (см. пункт № 3 в Таблице преобразований Лапласа выше), мы можем выполнить обратное преобразование Лапласа от H ( s ), чтобы получить, что является импульсной характеристикой системы. $${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right),}$$

Свертка

Того же результата можно достичь, используя свойство свертки , как если бы система представляла собой ряд фильтров с передаточными функциями 1/( s + α ) и 1/( s + β ) . То есть, обратная функция имеет вид $${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={\frac {1}{s+\alpha }}\cdot {\frac {1}{s+\beta }}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\alpha }}\right\}*{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\beta }}\right\}=e^{-\alpha t}*e^{-\beta t}=\int _{0}^{t}e^{-\alpha x}e^{-\beta (t-x)}\,dx={\frac {e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}}{\beta -\alpha }}.}$$

Фазовая задержка

Начиная с преобразования Лапласа, находим обратное, сначала переставляя члены в дроби: $${\displaystyle X(s)={\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\frac {s\sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}\\&=\sin(\varphi )\left({\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right)+\cos(\varphi )\left({\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

Теперь мы можем выполнить обратное преобразование Лапласа наших членов: $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\sin(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}+\cos(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}\\&=\sin(\varphi )\cos(\omega t)+\cos(\varphi )\sin(\omega t).\end{aligned}}}$$

Это просто синус суммы аргументов, что дает: $${\displaystyle x(t)=\sin(\omega t+\varphi ).}$$

Мы можем применить аналогичную логику, чтобы обнаружить, что $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s\cos \varphi -\omega \sin \varphi }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}=\cos {(\omega t+\varphi )}.}$$

Статистическая механика

В статистической механике преобразование Лапласа плотности состояний определяет функцию распределения . ^[39] То есть каноническая функция распределения определяется как , а обратная ей функция определяется как ${\displaystyle g(E)}$ ${\displaystyle Z(\beta )}$ $${\displaystyle Z(\beta )=\int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}g(E)\,dE}$$ $${\displaystyle g(E)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\beta _{0}-i\infty }^{\beta _{0}+i\infty }e^{\beta E}Z(\beta )\,d\beta }$$

Пространственная (не временная) структура из астрономического спектра

Широкая и общая применимость преобразования Лапласа и его обратного преобразования иллюстрируется приложением в астрономии, которое предоставляет некоторую информацию о пространственном распределении материи астрономического источника радиочастотного теплового излучения, слишком удаленного, чтобы разрешить его как нечто большее, чем точка, учитывая его спектр плотности потока , а не связывая временную область со спектром (частотной областью).

Предполагая определенные свойства объекта, например, сферическую форму и постоянную температуру, расчеты, основанные на выполнении обратного преобразования Лапласа над спектром объекта, могут дать единственно возможную модель распределения вещества в нем (плотность как функция расстояния от центра), согласующуюся со спектром. ^[40] Было обнаружено, что при наличии независимой информации о структуре объекта метод обратного преобразования Лапласа дает хорошее согласие.

Процессы рождения и смерти

Рассмотрим случайное блуждание с шагами, происходящими с вероятностями . ^[41] Предположим также, что временной шаг является пуассоновским процессом с параметром . Тогда вероятность блуждания в точке решетки в момент времени равна ${\displaystyle \{+1,-1\}}$ ${\displaystyle p,q=1-p}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle P_{n}(t)=\int _{0}^{t}\lambda e^{-\lambda (t-s)}(pP_{n-1}(s)+qP_{n+1}(s))\,ds\quad (+e^{-\lambda t}\quad {\text{when}}\ n=0).}$

Это приводит к системе интегральных уравнений (или, что эквивалентно, системе дифференциальных уравнений). Однако, поскольку это система уравнений свертки, преобразование Лапласа преобразует ее в систему линейных уравнений для

${\displaystyle \pi _{n}(s)={\mathcal {L}}(P_{n})(s),}$

а именно:

${\displaystyle \pi _{n}(s)={\frac {\lambda }{\lambda +s}}(p\pi _{n-1}(s)+q\pi _{n+1}(s))\quad (+{\frac {1}{\lambda +s}}\quad {\text{when}}\ n=0)}$

которые теперь можно решить стандартными методами.

Тауберова теория

Преобразование Лапласа меры на задается выражением ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\mu (s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}d\mu (t).}$

Интуитивно ясно, что при малых экспоненциально затухающий интегрант станет более чувствительным к концентрации меры на больших подмножествах области. Чтобы сделать это более точным, введем функцию распределения: ${\displaystyle s>0}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle M(t)=\mu ([0,t)).}$

Формально мы ожидаем предел следующего вида:

${\displaystyle \lim _{s\to 0^{+}}{\mathcal {L}}\mu (s)=\lim _{t\to \infty }M(t).}$

Тауберовы теоремы — это теоремы, связывающие асимптотику преобразования Лапласа, как , с асимптотикой распределения как . Таким образом, они важны в асимптотических формулах вероятности и статистики , где часто спектральная сторона имеет асимптотику, которую проще вывести. ^[42] ${\displaystyle s\to 0^{+}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle t\to \infty }$

Две известные тауберовы теоремы — это тауберова теорема Харди–Литтлвуда и тауберова теорема Винера . Теорема Винера обобщает тауберову теорему Икехары , которая является следующим утверждением:

Пусть A ( x ) — неотрицательная, монотонная неубывающая функция x , определенная для 0 ≤  x  < ∞. Предположим, что

${\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }A(x)e^{-xs}\,dx}$

сходится при ℜ( s ) > 1 к функции ƒ ( s ) и что для некоторого неотрицательного числа c ,

${\displaystyle f(s)-{\frac {c}{s-1}}}$

имеет продолжение как непрерывная функция для ℜ( s ) ≥ 1. Тогда предел при x, стремящемся к бесконечности, для e ^{− x}  A ( x ) равен c.

Это утверждение может быть применено, в частности, к логарифмической производной дзета -функции Римана и, таким образом, обеспечивает чрезвычайно короткий способ доказательства теоремы о простых числах . ^[43]

Смотрите также

• Математический портал

• Аналоговая обработка сигнала
• Теорема Бернштейна о монотонных функциях
• Ипотека с непрерывным погашением
• Проблема моментов гамбургера
• Тауберова теорема Харди–Литтлвуда
• Преобразование Лапласа-Карсона
• Функция, генерирующая момент
• Нелокальный оператор
• Формула обращения Поста
• График потока сигналов
• Передаточная функция

Примечания

1. Линн, Пол А. (1986). «Преобразование Лапласа и z -преобразование». Электронные сигналы и системы . Лондон: Macmillan Education UK. С. 225–272. doi :10.1007/978-1-349-18461-3_6. ISBN 978-0-333-39164-8. Преобразование Лапласа и z-преобразование тесно связаны с преобразованием Фурье. Преобразование Лапласа имеет несколько более общую область применения, чем преобразование Фурье, и широко используется инженерами для описания непрерывных цепей и систем, включая системы автоматического управления.
2. "Дифференциальные уравнения – Преобразования Лапласа". Pauls Online Math Notes . Получено 2020-08-08 .
3. Weisstein, Eric W. "Преобразование Лапласа". Wolfram MathWorld . Получено 2020-08-08 .
4. «Des Fonctions génératrices» [О производящих функциях], Théorie analytique des Probabilités [ Аналитическая теория вероятностей ] (на французском языке) (2-е изд.), Париж, 1814 г., глава I, раздел 2-20
5. Джейнс, ET (Эдвин Т.) (2003). Теория вероятностей: логика науки . Бреттхорст, Г. Ларри. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 0511065892. OCLC  57254076.
6. Абель, Нильс Х. (1820), «Sur les fonctions génératrices et leurs determinantes», Œuvres Complètes (на французском языке), vol. II (опубликовано в 1839 г.), стр. 77–88.Издание 1881 года
7. Эйлер 1744, Эйлер 1753, Эйлер 1769
8. Лагранж 1773
9. Граттан-Гиннесс 1997, стр. 260
10. Граттан-Гиннесс 1997, стр. 261
11. Граттан-Гиннесс 1997, стр. 261–262.
12. Граттан-Гиннесс 1997, стр. 262–266
13. Хевисайд, Оливер (январь 2008 г.), «Решение определенных интегралов с помощью дифференциального преобразования», Электромагнитная теория , т. III, Лондон, раздел 526, ISBN 9781605206189{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
14. Гарднер, Мюррей Ф.; Барнс, Джон Л. (1942), Переходные процессы в линейных системах, изучаемые с помощью преобразования Лапласа , Нью-Йорк: Wiley, Приложение С
15. Лерх, Матиас (1903), «Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel» [Доказательство формулы обращения], Acta Mathematica (на французском языке), 27 : 339–351, doi : 10.1007/BF02421315 , hdl : 10338.dmlcz/501554
16. Бромвич, Томас Дж. (1916), «Нормальные координаты в динамических системах», Труды Лондонского математического общества , 15 : 401–448, doi :10.1112/plms/s2-15.1.401
17. Влиятельная книга: Гарднер, Мюррей Ф.; Барнс, Джон Л. (1942), Переходные процессы в линейных системах, изучаемые с помощью преобразования Лапласа , Нью-Йорк: Wiley
18. Дётч, Густав (1937), Theorie und Anwendung der Laplacesche Transformation [ Теория и применение преобразования Лапласа ] (на немецком языке), Берлин: Springerперевод 1943
19. Феллер 1971, §XIII.1.
20. Кумулятивная функция распределения представляет собой интеграл функции плотности вероятности.
21. Микусинский, Ян (14 июля 2014 г.). Операционный исчисление. Elsevier. ISBN 9781483278933.
22. Виддер 1941, Глава II, §1
23. Виддер 1941, Глава VI, §2
24. Корн и Корн 1967, стр. 226–227.
25. Брейсвелл 2000, Таблица 14.1, стр. 385
26. Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: Мэттук, Артур. «Откуда взялось преобразование Лапласа». YouTube .
27. Феллер 1971, стр. 432
28. Лоран Шварц (1966). Математика для физических наук . Эддисон-Уэсли., стр. 224.
29. Титчмарш, Э. (1986) [1948], Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.), Clarendon Press , стр. 6, ISBN 978-0-8284-0324-5
30. Такач 1953, стр. 93
31. Райли, К.Ф.; Хобсон, М.П.; Бенс, С.Дж. (2010), Математические методы для физики и техники (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 455, ISBN 978-0-521-86153-3
32. Дистефано, Дж. Дж.; Стабберуд, А. Р.; Уильямс, И. Дж. (1995), Системы обратной связи и управление , Очерк Шаума (2-е изд.), McGraw-Hill, стр. 78, ISBN 978-0-07-017052-0
33. Липшуц, С.; Шпигель, М. Р.; Лю, Дж. (2009). Математический справочник формул и таблиц . Серия Schaum's Outline (3-е изд.). McGraw-Hill. стр. 183. ISBN 978-0-07-154855-7.– дает случай для действительного q .
34. http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html – Wolfram Mathword предоставляет случай для комплексного q
35. Брейсвелл 1978, стр. 227.
36. Williams 1973, стр. 88.
37. Williams 1973, стр. 89.
38. Корн и Корн 1967, §8.1
39. RK Pathria; Paul Beal (1996). Статистическая механика (2-е изд.). Butterworth-Heinemann. стр. 56. ISBN 9780750624695.
40. Салем, М.; Ситон, М.Дж. (1974), «I. Континуальные спектры и контуры яркости», Monthly Notices of the Royal Astronomical Society , 167 : 493–510, Bibcode : 1974MNRAS.167..493S, doi : 10.1093/mnras/167.3.493и Салем, М. (1974), "II. Трехмерные модели", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society , 167 : 511–516, Bibcode : 1974MNRAS.167..511S, doi : 10.1093/mnras/167.3.511
    
41. Феллер. Введение в теорию вероятностей, том II, стр. 479-483 .
42. Феллер. Введение в теорию вероятностей, том II, стр. 479-483 .
43. S. Ikehara (1931), «Расширение теоремы Ландау в аналитической теории чисел», Журнал математики и физики Массачусетского технологического института , 10 (1–4): 1–12, doi :10.1002/sapm19311011, Zbl  0001.12902

Ссылки

Современный

• Брейсвелл, Рональд Н. (1978), Преобразование Фурье и его приложения (2-е изд.), McGraw-Hill Kogakusha, ISBN 978-0-07-007013-4
• Брейсвелл, Р. Н. (2000), Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.), Бостон: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-116043-8
• Феллер, Уильям (1971), Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том II. , Второе издание, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , MR  0270403
• Корн, GA; Корн, TM (1967), Математический справочник для ученых и инженеров (2-е изд.), McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-035370-1
• Виддер, Дэвид Вернон (1941), Преобразование Лапласа , Princeton Mathematical Series, т. 6, Princeton University Press , MR  0005923
• Уильямс, Дж. (1973), Преобразования Лапласа , Решатели проблем, Джордж Аллен и Анвин, ISBN 978-0-04-512021-5
• Такач, Дж. (1953), «Амплитуд Фурье мегатарозаса операторзамитассал», Magyar Hiradastechnika (на венгерском языке), IV (7–8): 93–96

Исторический

• Эйлер, Л. (1744), «Destructe aequationum» [Построение уравнений], Opera Omnia , 1-я серия (на латыни), 22 : 150–161.
• Эйлер, Л. (1753), «Methodus aequationes Differentiales» [Метод решения дифференциальных уравнений], Opera Omnia , 1-я серия (на латыни), 22 : 181–213.
• Эйлер, Л. (1992) [1769], «Institutiones Calculi Integralis, Том 2» [Институты интегрального исчисления], Opera Omnia , 1-я серия (на латыни), 12 , Базель: Birkhäuser, ISBN 978-3764314743, Главы 3–5
• Эйлер, Леонард (1769), Institutiones Calculi Integralis [ Институты интегрального исчисления ] (на латыни), том. II, Париж: Петрополи, гл. 3–5, стр. 57–153.
• Граттан-Гиннесс, И (1997), «Интегральные решения Лапласа для уравнений с частными производными», в Gillispie, CC (ред.), Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science , Принстон: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01185-1
• Лагранж, JL (1773), Mémoire sur l'utilité de la méthode , Œuvres de Lagrange, vol. 2, стр. 171–234.

Дальнейшее чтение

• Арендт, Вольфганг; Бэтти, Чарльз Дж. К.; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Франк (2002), Векторнозначные преобразования Лапласа и задачи Коши , Birkhäuser Basel, ISBN 978-3-7643-6549-3.
• Дэвис, Брайан (2002), Интегральные преобразования и их приложения (Третье изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-95314-4
• Дикин, МАБ (1981), «Развитие преобразования Лапласа», Архив истории точных наук , 25 (4): 343–390, doi :10.1007/BF01395660, S2CID  117913073
• Дикин, МАБ (1982), «Развитие преобразования Лапласа», Архив истории точных наук , 26 (4): 351–381, doi :10.1007/BF00418754, S2CID  123071842
• Дойч, Густав (1974), Введение в теорию и применение преобразования Лапласа , Springer, ISBN 978-0-387-06407-9
• Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970), Математические методы физики (2-е изд.), Нью-Йорк: WA Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1 
• Полянин, АД; Манжиров, А.В. (1998), Справочник по интегральным уравнениям , Бока-Ратон: CRC Press, ISBN 978-0-8493-2876-3
• Шварц, Лоран (1952), «Преобразование Лапласа в распределениях», Comm. Сем. Математика. унив. Лунд [Медд. Лундсский университет. Мат. Сем.] (на французском языке), 1952 : 196–206, MR  0052555.
• Шварц, Лоран (2008) [1966], Математика для физических наук, Dover Books on Mathematics, Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 215–241, ISBN 978-0-486-46662-0- См. Главу VI. Преобразование Лапласа.
• Siebert, William McC. (1986), Схемы, сигналы и системы , Кембридж, Массачусетс: MIT Press, ISBN 978-0-262-19229-3
• Виддер, Дэвид Вернон (1945), «Что такое преобразование Лапласа?», The American Mathematical Monthly , 52 (8): 419–425, doi :10.2307/2305640, ISSN  0002-9890, JSTOR  2305640, MR  0013447
• JACWeidman и Bengt Fornberg: «Полностью численные методы преобразования Лапласа», Numerical Algorithms, т. 92 (2023), стр. 985–1006. https://doi.org/10.1007/s11075-022-01368-x .

Внешние ссылки

• «Преобразование Лапласа», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Онлайн-вычисление преобразования или обратного преобразования, wims.unice.fr
• Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Вайсштейн, Эрик В. «Преобразование Лапласа». MathWorld .
• Хорошие объяснения теорем о начальном и конечном значении Архивировано 2009-01-08 на Wayback Machine
• Преобразования Лапласа в MathPages
• Computational Knowledge Engine позволяет легко вычислять преобразования Лапласа и обратные преобразования.
• Калькулятор Лапласа для легкого расчета преобразований Лапласа онлайн.
• Код для визуализации преобразований Лапласа и множество видеопримеров.